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广东省中山市2013-2014学年高一数学上学期期末统一考试试题新人教A版


中山市高一级 2013—2014 学年度第一学期期末统一考试 数学科试卷
本试卷分第 I 卷(选择题) 、第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 100 分钟。 注意事项: 1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上. 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净

后,再选涂其它答案,不能答在试题上. 3、不可以使用计算器. 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交. 5、参考公式:球的体积公式 V球 ? 锥体的体积公式 V
锥体

4 ? R 3 , ,其中 R 是球半径. 3

1 ? Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 1 台体的体积公式 V 台体 ? h( S ? SS ? ? S ?) ,其中 S ?, S 分别是台体上、下底面的面积,h 是 3
台体的高. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分,每小题给出的 4 个选项中,只有一选 项是符合题目要求的) 1 .已知集合 A ? {x | x 是平行四边形 } , B ? {x | x 是矩形 } , C ? {x | x 是正方形 } , D ? {x | x 是菱形 } ,则 A. A ? B B. C ? B C. D ? C D. A ? D 2.下列函数中,在区间 ? 0,1? 上是增函数的是( ) A. y ? x B. y ? 3 ? x
?x

C. y ?

1 x

D. y ? ? x ? 4
2

3.在同一坐标系中,函数 y= 2 y y

与 y=log2 x 的图象是( y

). y

O A

x

O B

x

O C

x

O D

x

4.如左图是一个物体的三视图,则 此三视图所描述的物体是下列几何 体中的( ) 正视图 左视图 俯视图

1

A

B

C

D ( D. a ? b ? b2 )

5.已知 lg 2 ? a, lg 3 ? b, 则 lg 45 的值用 a,b 表示为 A. 1 ? b 2 ? a B. 1 ? 2b ? a C. a ? 3b

6.若函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 2x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,得到 如下参考数据: f(1)=-2 f(1.25)=-0.984 f(1.438)=0.165 f(1.5)=0.625 f(1.375)=-0.260 f(1.4065)=-0.052

3 2 那么方程 x ? x ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0.1)为

A.1.2

B.1.3

C.1.4

D.1.5

2 a ?1 ? ( )3? 2 a , 则实数 a 的取值范围是 7.若 ( )

1 2

1 2

A. (1, ??)

B. ( , ??)

1 2

C. (??,1) )

D. (??, )

1 2

8.已知直线 y ? kx ? b 经过一、二、三象限,则有( A.k<0,b <0 B.k<0,b>0

C.k>0,b>0

D.k>0,b<0

9.已知两条直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下面四个命题: ① m // n, m ? ? ? n ? ? ③ m // n, m // ? ? n // ? 其中正确命题的序号是( A.①③ ) C.①④ D.②③ ). ② ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n ④ ? // ? , m // n, m ? ? ? n ? ?

B.②④

10.若 loga?2 x1 ? loga x2 ? log? a?1? x3 ? 0 ,则 x1 , x2 , x3 之间的大小关系为( A. x3 < x 2 < x1 B. x 2 < x1 < x3 C. x1 < x3 < x 2 D. x 2 < x3 < x1 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的横线上) 11.点 (1,1) 到直线 l : 3x ? 4 y ? 3 ? 0 的距离为 12.某同学利用 TI-Nspire 图形计算器作图作出幂函 数 f ( x) ? x 4 的图象如右图所示. 结合图象, 可得 到 f ( x) ? x 4 在区间 [1, 4] 上的最大值为
3 3

.

.
2

(结果用最简根式表示) 13.已知 f ( x) ? ?

?x 2 ? 1 ( x ? 0) ? ? 2x ( x ? 0)

,若 f ( x) ? 10 ,则 x =

.

14.过点 P(3,0)的直线 m,夹在两条直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 与 l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 之间的线 段恰被点 P 平分,那么直线 m 的方程为 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 12 分) (I)求值:

log2 3 ? log2 3 0 ; ? 2013 log2 9 ? log2 3

(Ⅱ)设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f ( x) ? f ( x ? 2) ,当 x∈[0,1]时,

3 f ( x) ? x ? 1 ,求 f ( ) 的值. 2
16. (本小题满分 14 分) (I)求两条平行直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 与 m x ? 8 y ? 6 ? 0 之间的距离; (Ⅱ)求两条垂直直线 2 x ? y ? 2 ? 0 与 nx ? 4 y ? 2 ? 0 的交点坐标.

17. (本小题满分 13 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 1 侧棱垂直底面, ∠ACB=90°,AC=BC= AA1, D 是棱 AA1 2 的中点 A1 (I)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积 的比. D C A C1

B1

B

18. (本小题满分 13 分)A、B 两城相距 100km,在两地之间距 A 城 xkm 处 D 地建一核电站给 A、B 两城供电,为保证城市安全.核电站距市距离不得少于 10km.已知供电费用与供电 距离的平方和供电量之积成正比,比例系数 ? ? 0.25 .若 A 城供电量为 20 亿度/月,B 城 为 10 亿度/月. (I)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数,并求定义域;
3

(Ⅱ)核电站建在距 A 城多远,才能使供电费用最小.

19. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? a ?

2 ,其中 a 为常数. 2 ?1
x

(I)当 a ? 1 时,讨论函数 f ( x) 的奇偶性; (Ⅱ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)当 a ? 3 时,求函数 f ( x) 的值域.

20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? log 1

1 ? kx 为奇函数. 2 x ?1

(I)求常数 k 的值; (Ⅱ)若 a ? b ? 1 ,试比较 f (a) 与 f (b) 的大小;
x (Ⅲ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ( ) ? m ,且 g ( x) 在区间 ?3, 4? 上没有零点,求实数 m 的

1 2

取值范围.

4

中山市高一级 2013—2014 学年度第一学期期末统一考试 数学科试卷参考答案

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.B 2.A 3.A 4.D 5.B 6.C 7.B 8.C 9.C 10.D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.2 12. 2 2 13. ? 3 14. y ? 8x ? 24

三、解答题(本大题共 5 小题,共 80 分) 15.解: (I)0; ………………………………………………………………(6 分)

(Ⅱ) f ( ) ? f ( ? 2) ? f (? ) ? f ( ) ?

3 2

3 2

1 2

1 2

1 3 ?1 ? . 2 2

……………………(12 分)

16.解: (I由平行知斜率相等,得 m ? 6 ; ……………………………………(3 分) 再由平行线的距离公式求得 d ? 3 ………………………………………………(7 分)

(Ⅱ)由垂直,得 n ? ?2 ;…………………………………………………………(10 分) 交点为(-1,0) ………………………………………………………………(14 分) 所以 BC⊥平面 AC C1A1, 又 DC1 ?

17.(I)证明:由题知 BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C, 平面 AC C1A1,所以 DC1⊥BC.
o

………………………………………………………(3 分)
o

由题知∠A1 DC1=∠A DC=45 ,所以∠CDC1=90 ,即 DC1⊥DC,

…………………(5 分)

又 DC∩BC=C , 所 以 DC1⊥ 平 面 BDC , 又 DC1 ? 平 面 BDC1 , 故 平 面 BDC1⊥ 平 面 BDC. ……………………………………………………………………………………(7 分)

(Ⅱ)解:设棱锥 B—DACC1 的体积为 V1,AC=1,由题意得 V1 = ?

1 1? 2 1 ? 1? 1 ? 3 2 2

…………………………(10 分)

又三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V=1,所以(V-V1):V1=1:1, 故平面 BDC1 分此棱柱为两部分体积的比为 1:1. 18.解. (I)y=5x + 分)
2

…………………………(13 分) …………(6

5 2 15 2 (100—x) = x -500x+25000 (10≤x≤90) ; 2 2

15 2 15 ? 50000 100 ? (Ⅱ)由 y= x -500x+25000= + . x? ? ? 2 2 ? 3 3 ?
则当 x=

2

……………………(10 分)

100 米时,y 最小. 3

…………………………………………(12 分)

5

故当核电站建在距 A 城

100 米时,才能使供电费用最小. …………………………(13 分) 3 2 19.解: (I) a ? 1 时, f ( x) ? 1 ? x ,函数的定义域为 R . ……………………(1 分) 2 ?1 2 2 f (? x) ? f ( x) ? (1 ? ? x ) ? (1 ? x ) …………………………………………(2 分) 2 ?1 2 ?1
=2?

2 2x 2 ? x ?x x (2 ? 1) 2 2 ?1
2(2 x ? 1) 2x ? 1
……………………………………………………………(5 分) ………………………………………………(6 分)

=2? =0

∴ a ? 1 时,函数 f ( x) 为奇函数. (Ⅱ)设 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?

2(2 x1 ? 2 x2 ) 2 2 = , …………(8 分) ) ? ( a ? ) 2x1 ? 1 2x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

x1 ? x2 , ?2x1 ? 2x2 ? 0, (2x1 ? 1)(2x2 ? 1) ? 0 ,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ……………………………(10 分)
所以不论 a 为何实数 f ( x) 总为增函数. (Ⅲ) a ? 3 时, ……………………………(11 分)

2 x ? 1 ? 1 ,? 0 ?

2 ? 2, 2 ?1
x

??2 ? ?

2 2 ? 0 ,?1 ? 3 ? x ?3. 2 ?1 2 ?1
x

∴ a ? 3 时,函数 f ( x) 的值域为 (1,3) . ………………………………………(14 分) 20. 解: (I)∵ f ( x) ? log 1 ∴ f ( ? x) ? ? f ( x) , 即 log 1
2

1 ? kx 为奇函数 2 x ?1

………………………………………………………………(1 分) ………………………………………(2 分)

1 ? kx 1 ? kx x ?1 ? ? log 1 ? log 1 ? x ?1 2 x ?1 2 1 ? kx

∴ ∴

1 ? kx x ?1 ? ,即 1 ? k 2 x 2 ? 1 ? x 2 ,整理得 k 2 ? 1 . ………………………(3 分) ? x ? 1 1 ? kx
k ? ?1 ( k ? 1 使 f ( x) 无意义而舍去)
…………………………………(4 分)

(Ⅱ) f ( x) ? log 1

1? x . 2 x ?1

6

1? a 1? a 1? b f (a) ? f (b) ? log 1 ? log 1 ? log 1 a ? 1 1? b a ? 1 b ? 1 2 2 2 b ?1
? log 1
2

……………………………………(5 分)

(1 ? a)(b ? 1) ab ? a ? b ? 1 ? log 1 ………………………………………(6 分) (a ? 1)(1 ? b) 2 ab ? a ? b ? 1

当 a ? b ? 1 时, ab ? a ? b ? 1 ? ab ? a ? b ? 1 ? 0 , ……………………………………(7 分) 所以 0 ?
ab ? a ? b ? 1 ab ? a ? b ? 1 ? log 1 1 ? 0 , ………………………(8 分) ? 1 ,从而 log 1 ab ? a ? b ? 1 2 ab ? a ? b ? 1 2

即 f (a) ? f (b) ? 0 . 所以 f (a ) ? f (b) . ………………………………………………(9 分) …………………………………………(10 分) …………………………………(11 分)

(Ⅲ)由(2)知, f ( x ) 在 (1, ??) 递增,
x 所以 g ( x) ? f ( x) ? ( ) ? m 在 ?3, 4? 递增.

1 2

∵ g ( x) 在区间 ?3, 4? 上没有零点, ∴ g (3) ? log 1

1?1 1 3 9 ?( ) ?m ? ? ?m ? 0 2 8 2 3 ?1

…………………………………(12 分)

或 g (4) ? log 1

1? 4 1 4 5 1 ? ( ) ? m ? log 1 ? ? m ? 0 , 2 16 2 4 ?1 2 3

……………………(13 分)

∴ m?

9 1 5 或m ? ? log 1 . 8 16 2 3

……………………………………………………(14 分)

7


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