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高三数学第一轮复习单元测试解析几何


高三数学第一轮复习单元测试解析几何

高三数学第一轮复习单元测试解析几何
说明:本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 150 分;答题时间 150 分钟.

第Ⅰ卷
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号 内(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分).

1.圆 2x2+2y2=1 与直线 xsinθ +y-1=0(θ ∈R,θ ≠

? 2

+kπ ,k∈Z)的位置关系是(



A.相交

B.相切

C.相离

D.不确定的 ( )

2.下列方程的曲线关于 x=y 对称的是 A.x2-x+y2=1 C.x-y=1 B.x2y+xy2=1 D.x2-y2=1

3.设动点 P 在直线 x=1 上,O 为坐标原点.以 OP 为直角边,点 O 为直角顶点作等腰 Rt△OPQ,则动点 Q 的轨迹是 A.圆 C.抛物线 4.已知双曲线 B.两条平行直线 D.双曲线 ( )

x2 3 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 的一条准线为 x ? ,则该双曲线的离心率为 ( 2 2 a
B.



A.

3 2

3 2

C.

6 2

D.

2 3 3

5.当θ 是第四象限时,两直线 x sin ? ? y 1? cos? ? a ? 0 和 x ? y 1? cos? ? b ? 0 的位置关系是 ( A.平行
2

) C.相交但不垂直 D.重合 ( )

B.垂直

6.抛物线 x ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离为 A.2 B.3
2 2

C.4

D.5 ( D. ? 3 )

7.设直线 l 过点 (?2,0) ,且与圆 x ? y ? 1相切,则 l 的斜率是 A. ? 1 B. ?

1 2

C. ?

3 3

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2 8.设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 关于原点对称的直线为 l ? ,若 l ? 与椭圆 x ?

y2 ? 1 的交点为 A、B、 P 为椭圆 ,点 4


上的动点,则使 ?PAB 的面积为 A.1 9.直线 y ? x ? 3 与曲线 A.1 B.2

1 的点 P 的个数为 2
C.3

( D.4

y2 x x ? ? 1 的公共点的个数是 9 4
B.2 C.3 D.4





10.已知 x,y 满足 ( x ? y ? 1)(x ? y) ? 0 ,则 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 的最小值是





A.0

B.

1 2

C.

2 2

D.2

2 2 1 2 2 11.已知 P 是椭圆 x ? y ? 1 上的点,Q、R 分别是圆 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 和圆 ( x ? 4) ? y ? 上的点,则 4 4 25 9 |PQ|+|PR|的最小值是 ( )

A. 89

B. 85

C.10

D.9

12.动点 P(x,y)是抛物线 y=x2 -2x-1 上的点,o 为原点,op2 当 x=2 时取得极小值,求,op2 的最小值 ( A. )

6 ? 11 3 4

B.

11? 6 3 4

C.

11? 6 3 4

D.

6 ? 11 3 4

第Ⅱ卷
二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分). 13.将直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 绕原点逆时针旋转 90? 所得直线方程是 14.圆心为(1,2)且与直线 5 x ? 12 y ? 7 ? 0 相切的圆的方程为_____________. 15.已知⊙M: x ? ( y ? 2) ? 1, Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点,求动弦 AB 的中点
2 2

.

P 的轨迹方程为 16.如图把椭圆

.

x2 y 2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 分,过每个 25 16

作x轴的垂线交椭圆的上半部分于 P , P ,…… P 七个点, 1 2 7 F 是椭圆的一个焦点,则 PF ? P F ? ...... ? P F ? ______. 1 2 7
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三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 74 分)。 17. 分) (12 设直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? kx ? my ? 4 ? 0 交于 M , N 两点, M , N 关于直线 x ? y ? 0 对 且

?kx ? y ? 1 ? 0 ? 称,求不等式组 ?kx ? m y ? 0 表示平面区域的面积. ?y ? 0 ?

18. (12 分)已知点 P 到两个定点 M(-1,0) 、N(1,0)距离的比为 直线 PN 的方程.

2 ,点 N 到直线 PM 的距离为 1.求

19. (12 分)已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C:x2+y2=1,动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常 数λ (λ >0).求动点 M 的轨迹方程,说明它表示什么曲线.

20. (12 分)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 两点在抛物线 y ? 2x 上, l 是 AB 的垂直平分线,
2

(I)当且仅当 x1 ? x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论; (II)当 x1 ? 1, x2 ? ?3 时,求直线 l 的方程.

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21. (12 分)已知动圆过定点 P(1,0) ,且与定直线 l:x=-1 相切,点 C 在 l 上. (I)求动圆圆心的轨迹 M 的方程; (II)设过点 P,且斜率为-

3 的直线与曲线 M 相交于 A、B 两点.

(i)问:△ABC 能否为正三角形?若能,求点 C 的坐标;若不能,说明理由; (ii)当△ABC 为钝角三角形时,求这种点 C 的纵坐标的取值范围.

22. (14 分)已知椭圆 C :

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,F 为椭圆在 x 轴正半轴上的焦点,M、N 2 3 a b

两点在椭圆 C 上,且 MF ? ? FN(? ? 0) ,定点 A(-4,0). (I)求证:当 ? ? 1 时 MN ? AF ; (II)若当 ? ? 1 时有 AM ? AN ?

106 ,求椭圆 C 的方程; 3

(III)在(2)的条件下,当 M、N 两点在椭圆 C 运动时,试判断 AM ? AN ? tan?MAN 是否有最大值, 若存在求出最大值,并求出这时 M、N 两点所在直线方程,若不存在,给出理由.

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参考答案(4)
一、选择题 1.C;2.B;3.B;4.A;5.B;6.D;7.D;8.B;9.C;10.B;11.D;12.C. 二、填空题 13. 2 x ? y ? 2 ? 0 ; 15. x ? ( y ? ) ?
2 2

14. ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ;

7 4

1 ( y ? 2). ; 16

16.35.

三、解答题 17.解:由题意直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? kx ? my ? 4 ? 0 交于 M , N 两点,且 M , N 关于直线 x ? y ? 0 对称,则 y ? kx ? 1 与 x ? y ? 0 两直线垂直,可求出 k, m ,又不等式组所表示的平面区域应用线性规划 去求,易得面积为

1 。 4

18.解:设点 P 的坐标为(x,y) ,由题设有

| PM | ? 2, | PN |



( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 .

整理得 x2+y2-6x+1=0. ① 因为点 N 到 PM 的距离为 1,|MN|=2, 所以∠PMN=30°,直线 PM 的斜率为±

3 , 3

直线 PM 的方程为 y=±

3 (x+1) .② 3

将②式代入①式整理得 x2-4x+1=0. 解得 x=2+

3 ,x=2- 3 .
; 3 ,1+ 3 )或(2- 3 ,-1+ 3 )(2+ 3 ,-1- 3 )或(2

代入②式得点 P 的坐标为(2+ - . 3 ,1- 3 )

直线 PN 的方程为 y=x-1 或 y=-x+1. 19.如图 7—15,设直线 MN 切圆于 N,则动点 M 组成的集合是:P={M||MN|=λ |MQ|}, (λ >0 为常数)因为 圆的半径|ON|=1,所以|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1. 设点 M 的坐标为(x,y) ,则

x 2 ? y 2 ? 1 ? ? ( x ? 2) 2 ? y 2

整理得(λ 2-1) 2+y2)-4λ 2x+(1+4λ 2)=0 (x
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当λ =1 时,方程化为 x=

5 5 ,它表示一条直线,该直线与 x 轴垂直,交 x 轴于点( ,0) ; 4 4
2

2 1 ? 3? 1 ? 3?2 它表示圆心在( 2?2 ,0) 当λ ≠1 时,方程化为(x- 2? )2+y2= ,半径为 的圆. 2 2 2 | ?2 ? 1 | ? ?1 ? ?1 (? ? 1)

20.解: (1)∵抛物线 y ? 2x 2 ,即 x ?
2

y 1 ,? p ? , 2 4

∴焦点为 F (0, ) 直线 l 的斜率不存在时,显然有 x1 ? x2 ? 0 直线 l 的斜率存在时,设为 k,截距为 b 即直线 l :y=kx+b,由已知得:
?y ? y ? 2 ? 1 ? k ? x1 x 2 ? b 2 ? 2 ? ?y y1 2 ? ? 1 ? ? x1 ? x 2 k ?
2 2 ? ? ? ? 2 x1 2 x 2 ? k ? x 1 x 2 ? b 2 2 ? ?? 2 2 ? 2 x1 ? 2 x 2 ? ? 1 ? k x1 ? x 2 ?

1 8

? 2 2 x1 ? x 2 ? b ? x1 ? x 2 ? k ? ? 2 ?? 1 ? x1 ? x 2 ? ? 2k ? ?

1 1 2 2 ? x1 ? x 2 ? ? ? b ? 0 ? b ? 4 4

即 l 的斜率存在时,不可能经过焦点 F (0, ) . 所以当且仅当 x1 ? x2 =0 时,直线 l 经过抛物线的焦点 F. (2)当

1 8

x ? 1, x
1

2

? ?3 时,直线 l 的斜率显然存在,设为 l :y=kx+b
1 ? ?k ? 4 ? ?? ?b ? 41 ? ? 4

则由(1)得:
? 2 2 x1 ? x 2 ? b ? x1 ? x 2 ? k ? ? 2 ? 1 ? x 1 ? x 2 ? ? 2k ? ?

? x1 ? x 2 ? b ? 10 ?k ? ? 2 ?? 1 ? ? ? ?2 ? 2k ?

所以,直线 l 的方程为 y ?

1 41 x ? ,即 x ? 4 y ? 41 ? 0 . 4 4

21. (1)解法一,依题意,曲线 M 是以点 P 为焦点,直线 l 为准线的抛物线,所以曲 线 M 的方程为 y2=4x. 解法二:设 M(x,y) ,依题意有|MP|=|MN|,
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图 7—12

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所以|x+1|=

( x ? 1) 2 ? y 2 .化简得:y2=4x.

(2) (i)由题意得,直线 AB 的方程为 y=- 由? ?

3 (x-1).

? y ? ? 3 ( x ? 1), ? y ? 4 x. ?
2

消 y 得 3x2-10x+3=0,

解得 x1=

1 ,x2=3. 3
,|AB|=x1+x2+2= 3)

所以 A 点坐标为( 1 , 2 3 ) 点坐标为(3,-2 ,B 3 3

16 . 3

假设存在点 C(-1,y) ,使△ABC 为正三角形,则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,即

16 2 ? 2 2 ?(3 ? 1) ? ( y ? 2 3 ) ? ( 3 ) , ? ? ?( 1 ? 1) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? (16 ) 2 . ? 3 3 3 ?
由①-②得 42+(y+2 解得 y=- 14 3 . 9 但 y=-

① ②

3 )2=(

4 2 ) +(y- 2 3 )2, 3 3

14 3 不符合①, 9

所以由①,②组成的方程组无解. 因此,直线 l 上不存在点 C,使得△ABC 是正三角形. (ii)解法一:设 C(-1,y)使△ABC 成钝角三角形,由 ?

? y ? ? 3 ( x ? 1), 得 y=2 3 , x ? ?1. ?

即当点 C 的坐标为(-1,2

3 )时,A、B、C 三点共线,故 y≠2 3 .

又|AC|2=(-1-

1 2 2 3 2 28 4 3 y 2 ) +(y- )= +y , ? 3 3 9 3

|BC|2=(3+1)2+(y+2 |AB|2=(

3 )2=28+4 3 y+y2,

16 2 256 )= . 3 9

当∠CAB 为钝角时,cosA= 即|BC|2 >|AC|2+|AB|2,即

| AB |2 ? | AC |2 ? | BC |2 <0. 2 | AB | ? | AC |

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28 ? 4 3 y ? y 2 ?

28 4 3 256 ,即 ? y ? y2 ? 9 3 9

y>

2 3 时,∠CAB 为钝角. 9

当|AC|2>|BC|2+|AB|2,即

10 28 4 3 256 ,即 y<- 3 时,∠CBA 为钝角. ? y ? y 2 ? 28 ? 4 3 y ? y 2 ? 9 3 9 3
又|AB|2>|AC|2+|BC|2,即

256 28 4 3 y ? ? ? y 2 ? 28 ? 4 3 y ? y 2 , 9 9 3

即y

2

?

4 4 2 2 3 y ? ? 0, ( y ? ) ? 0. 3 3 3

该不等式无解,所以∠ACB 不可能为钝角. 因此,当△ABC 为钝角三角形时,点 C 的纵坐标 y 的取值范围是

y??

10 3 2 3 或y ? ( y ? 2 3) . 3 9

解法二:以 AB 为直径的圆的方程为(x- 圆心( ,?

5 2 8 ) +(y+ 2 3 )2=( )2. 3 3 3

5 3

2 3 )到直线 l:x=-1 的距离为 8 , 3 3

所以,以 AB 为直径的圆与直线 l 相切于点 G(-1,- 2 3 ). 3 当直线 l 上的 C 点与 G 重合时,∠ACB 为直角,当 C 与 G 点不重合,且 A、B、C 三点不共线时,∠ACB 为锐角,即△ABC 中,∠ACB 不可能是钝角. 因此,要使△ABC 为钝角三角形,只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 过点 A 且与 AB 垂直的直线方程为 y ? 2 3 ? 3 ( x ? 1 ) .

3

3

3

令 x=-1 得 y= 2 3 . 9 过点 B 且与 AB 垂直的直线方程为 y+2 3 ? 3 (x-3).

3

令 x=-1 得 y=-

10 3. 3

又由 ?

? y ? ? 3 ( x ? 1), 解得 y=2 3 , ? x ? ?1.

所以,当点 C 的坐标为(-1,2

3 )时,A、B、C 三点共线,不构成三角形.
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因此,当△ABC 为钝角三角形时,点 C 的纵坐标 y 的取值范围是 y<- 10 3 或 y> 2 3 3 9 (y≠2

3 ).

22. (1)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ), F (c,0) ,则 MF ? (c ? x1 ,? y1 ), NF ? ( x2 ? c, y2 ) , 当 ? ? 1 时, MF ? FN,? ? y1 ? y2 , x1 ? x2 ? 2c ,
2 y12 y2 2 2 2 2 由 M,N 两点在椭圆上,? x ? a (1 ? 2 ), x 2 ? a (1 ? 2 ),? x1 ? x 2 b b 2 1 2

若 x1 ? ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ? 2c 舍,? x1 ? x2

? MN ? (0,2 y2 ), AF ? (c ? 4,0),? MN ? AF. 。
(2)当 ? ? 1 时,不妨设 M (c, 又 a2?

b2 b2 b4 ), N (c,? ),? AM ? AN ? (c ? 4) 2 ? 2 a a a

3 2 2 c2 5 106 , c , b ? ,? c 2 ? 8c ? 16 ? 2 2 6 3

?c ? 2 ,椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 。 6 2

(3) AM ? AN ? tan?MAN ? 2S ?AMN ?| AF || y M ? y N | , 设直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 2), (k ? 0)
? y ? k ( x ? 2) 2 2 2 联立 ? 2 ,得 (1 ? 3k ) y ? 4ky ? 2k ? 0 , ?x y2 ?1 ? ? 2 ?6

? y M ? y N |? |

24k 4 ? 24k 2 。 1 ? 3k 2

记t ?

24k 4 ? 24k 2 , s ? 1 ? 3k 2 , 2 1 ? 3k
24 ? ( s ?1 2 s ?1 ) ?( ) 2 6 1 2 3 3 ? ? 1? ? 2 s 3 s s

则t ?

?t ? 3 ,当 s ? 4 ,即 k ? ?1 时取等号 .
并且,当 k=0 时 AM ? AN ? tan?MAN ? 0 , 当 k 不存在时 | y M ? y N |?

2 6 ? 3 3
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综上 AM ? AN ? tan?MAN 有最大值,最大值为 6 3 此时,直线的 MN 方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,或 x ? y ? 2 ? 0 。

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