kl800.com省心范文网

【步步高】届高三数学大一轮复习 数系的扩充与复数的引入学案 理 新人教A版


学案 72

数系的扩充与复数的引入

导学目标: 1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表 示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的 几何意义.

自主梳理 1.数系的扩充 数系扩充的脉络是:________→________→_______

_,用集合符号表示为 ________ ? ________? ________,实际上前者是后者的真子集. 2.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如 a +bi (a ,b ∈R) 的数叫复数,其中 a ,b 分别是它的________和 ________.若 ________,则 a+bi 为实数,若________,则 a+bi 为虚数,若________________,则 a+ bi 为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di?____________(a,b,c,d∈R). (3)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?____________(a,b,c,d∈R). (4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面, 叫做复平面. ______叫做实轴, ______叫做虚轴. 实 轴上的点表示 ________ ;除原点外,虚轴上的点都表示 ________ ;各象限内的点都表示 ____________. 复数集 C 和复平面内________组成的集合是一一对应的,复数集 C 与复平面内所有以 ________为起点的向量组成的集合也是一一对应的. (5)复数的模 → 向量OZ的模 r 叫做复数 z=a+bi 的模,记作______或________,即|z|=|a+bi|= ____________. 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=______________; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=________________; ③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=________________; z1 a+bi ? a+bi? ? c-di? ④除法: = = z2 c+di ? c+di? ? c-di? =________________________(c+di≠0). (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1、z2、z3∈C,有 z1+z2=________,(z1+ z2)+z3=______________________. 自我检测 2-i 1.(2011·山东)复数 z= (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) 2+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(2011·广东)设复数 z 满足(1+i)z=2,其中 i 为虚数单位,则 z 等于( ) A.1+i B.1-i C.2+2i D.2-2i 3.(2011·大纲全国)复数 z=1+i, z 为 z 的共轭复数,则 z z -z-1 等于( )
1

B.-i D.2i 2 3 4 i +i +i 4.(2011·重庆)复数 等于( ) 1-i 1 1 1 1 A.- - i B.- + i 2 2 2 2 1 1 1 1 C. - i D. + i 2 2 2 2 5 .(2011·江苏 )设复数 z 满足 i(z +1)=- 3+ 2i(i 为虚数单位) ,则 z 的实部是 ________.

A.-2i C.i

探究点一 复数的基本概念 2 例 1 设 m∈R,复数 z=(2+i)m -3(1+i)m-2(1-i). (1)若 z 为实数,则 m=________; (2)若 z 为纯虚数,则 m=________. a2-7a+6 2 变式迁移 1 已知复数 z= 2 +(a -5a-6)i (a∈R),试求实数 a 分别取什么值 a -1 时,z 分别为: (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

探究点二 复数的四则运算 例2 (2010·全国Ⅱ)复数?

?3-i?2 等于( ? ?1+i?

) C.3-4i D.3+4i

A.-3-4i B.-3+4i 变式迁移 2 计算: ? -1+i? ? 2+i? (1) ; 3 i 2 ? 1+2i? +3? 1-i? (2) ; 2+i (3) ? 1- 3i 3+i?
2

.

2

例3

-2 3+i ? 2 ?2 012 ? 4-8i? -? -4+8i? (2011·唐山模拟)计算: +? ? + 1+2 3i ?1+i? 11- 7i
2

2

.

变式迁移 3 (1)(2010·四川)i 是虚数单位,计算 i+i +i 等于( ) A.-1 B.1 C.-i D.i 1+i 4 (2)(2010·福建)i 是虚数单位,( ) 等于( ) 1-i A.i B.-i C.1 D.-1 1+i 1- i (3)i 是虚数单位, ) 2+ 2等于( ? 1-i? ? 1+i? A.i B.-i C.1 D.-1 探究点三 复数的点坐标表示 例 4 如图所示,平行四边形 OABC,顶点 O,A,C 分别表示 0,3+2i,-2+4i,试求:

2

3

→ → (1)AO所表示的复数,BC所表示的复数; → (2)对角线CA所表示的复数; (3)求 B 点对应的复数.

3

变式迁移 4 (2011·江苏苏北四市期末)复数 z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i 在复 平面内对应的点分别为 A, B, C, 若∠BAC 是钝角, 则实数 c 的取值范围为________________.

?实数? b=0? 1.复数? a+bi? ? ? b≠0? ― → 纯虚数? a=0? ?虚数 ―
2 . 乘 法 法 则 : (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i ; 除 法 法 则 : ?

a+bi = c+di

a+bi? ? c-di? ac+bd bc-ad 2 2 2 = 2 + i(c+di≠0).特别地:(a±bi) =a ±2abi-b 2 2 c +d c +d2 c2+d2 2 2 2 2 =a -b ±2abi,(a+bi)(a-bi)=a +b .
3.进行复数运算时,熟记以下结果有助于简化运算过程: 4n 4n+1 4n+2 4n+3 n n+1 n+2 n+3 (1)i =1,i =i,i =-1,i =-i,i +i +i +i =0 (n∈N); 1+i 1-i 2 2 (2)(1+i) =2i,(1-i) =-2i, =i, =-i. 1-i 1+i

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1+2i 1.(2011·江西)若 z= ,则复数 z 等于( ) i A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i 2.(2010·北京)在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应的复数是( ) A.-4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i 3π 5π 3. (2011·平顶山调研)若 θ ∈( , ), 则复数(cos θ +sin θ )+(sin θ -cos θ )i 4 4 在复平面内所对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2+i 4.(2011·课标全国)复数 的共轭复数是( ) 1-2i 3 3 A.- i B. i 5 5 C.-i D.i 5.下面四个命题: ①0 比-i 大; ②两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数; ③x+yi=1+i 的充要条件为 x=y=1; ④如果让实数 a 与 ai 对应,那么实数集与纯虚数集一一对应. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)
4

z1 z1 7.已知复数 z1=m+2i,z2=3-4i,若 为实数,则实数 m=________. z2 8.(2011·上海九校联考)复数 z=x+yi (x,y∈R)满足|z-1|=x,则复数 z 对应的点 Z(x,y)的轨迹方程为__________.
三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)已知|z|-z=1-2i,求复数 z.

i+z2 6.已知 z1=2+i,z2=1-3i,则复数 的虚部为______.

10.(12 分)(2011·上海)已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数

z2 的虚部为 2,且 z1·z2 是实数,求 z2.

m? m-2? 2 +(m +2m-3)i,当 m 为何值时,(1)z∈R; m-1 (2)z 是纯虚数;(3)z 对应的点位于复平面第二象限;(4)z 对应的点在直线 x+y+3=0 上.
11.(14 分)已知 m∈R,复数 z=

5

学案 72

数系的扩充与复数的引入

自主梳理 1.自然数系 有理数系 实数系 N Q R 2.(1)实部 虚部 b=0 b≠0 a=0 且 b≠0 (2)a=c,b=d (3)a = c , b =- d (4)x 轴 y 轴 实数 纯虚数 非纯虚数 所有的点 原点 O (5)|z| |a+bi| a2+b2 3 . (1) ① (a + c) + (b + d)i ② (a - c) + (b - d)i ③ (ac - bd) + (ad + bc)i ④ ? ac+bd? +? bc-ad? i c2+d2 (2) z2+z1 z1+(z2+z3) 自我检测 2 2-i ? 2-i? 4-4i-1 3 4 1.D [∵z= = = = - i, 2+i ? 2+i? ? 2-i? 5 5 5 3 4 ∴复数 z 对应的点的坐标为( ,- ),在第四象限.] 5 5 2.B [方法一 设 z=x+yi, 则(1+i)(x+yi)=x-y+(x+y)i=2, ? ? ?x-y=2, ?x=1, 故应有? 解得? 故 z=1-i. ?x+y=0, ?y=-1, ? ? 2 2? 1-i? 方法二 z= = =1-i.] 1+i ? 1+i? ? 1-i? 3.B [∵z=1+i,∴ z =1-i,∴z· z =|z| =2, ∴z· z -z-1=2-(1+i)-1=-i.] i +i +i -1-i+1 -i ? -i? ? 1+i? 4.C [ = = = 1-i 1-i 1-i ? 1-i? ? 1+i? 1-i 1 1 = = - i.] 2 2 2 5.1 解析 设 z=a+bi(a、b∈R),由 i(z+1)=-3+2i, 得-b+(a+1)i=-3+2i,∴a+1=2,∴a=1. 课堂活动区 例 1 解题导引 根据复数 z 为实数、虚数及纯虚数的概念,利用它们的充要条件可分 别求出相应的 m 值.利用概念解题时,要看准实部与虚部. 1 (1)1 或 2 (2)- 2 2 2 解析 z=(2m -3m-2)+(m -3m+2)i. 2 (1)若 z 为实数,则 m -3m+2=0.∴m=1 或 2. 2 ? ?2m -3m-2=0, (2)若 z 为纯虚数,则? 2 ?m -3m+2≠0, ? 1 解得 m=- . 2 变式迁移 1 解 ∴?
? ?a=-1或a=6 ?a≠±1 ? ? ?a -5a-6=0 (1)当 z 为实数时,则有? 2 ?a -1≠0 ?
2 2 3 4 2



,∴a=6,即 a=6 时,z 为实数.

(2)当 z 为虚数时,
6

则有 a -5a-6≠0 且 a -1≠0, ∴a≠-1 且 a≠6 且 a≠±1.∴a≠±1 且 a≠6. ∴当 a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时, z 为虚数.

2

2

a -5a-6≠0 ? ?a -7a+6 =0 (3)当 z 为纯虚数时,有? a -1 ? ?a -1≠0
2 2 2

2

a≠-1且a≠6 ? ? ,∴?a=6 ? ?a≠±1

.

∴不存在实数 a 使 z 为纯虚数. 例 2 解题导引 复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(合并同类项), 复 2 2 数的乘除运算是复数运算的难点,在乘法运算中要注意 i 的幂的性质,区分(a+bi) =a + 2 2 2 2 2abi-b 与(a+b) =a +2ab+b ;在除法运算中,关键是“分母实数化”(分子、分母同乘 2 2 2 2 以分母的共轭复数),此时要注意区分(a+bi)(a-bi)=a +b 与(a+b)·(a-b)=a -b , 防止实数中的相关公式与复数运算混淆,造成计算失误. ?3-i?2=?? 3-i? ? 1-i? ?2=?2-4i?2 A [? ? ? ? ? 2 ? 2 ?1+i? ? ? ? ? 2 =(1-2i) =-3-4i.] ? -1+i? ? 2+i? -3+i 变式迁移 2 解 (1) = =-1-3i. 3 i -i 2 ? 1+2i? +3? 1-i? -3+4i+3-3i (2) = 2+i 2+i i i? 2-i? 1 2 = = = + i. 2+i 5 5 5 (3) ? 1- 3i 3+i?
2

= ?

?

3+i? ? 3+i?

-i?
2



-i

= 3+i

?

-i? ? 4

3-i?

1 3 =- - i. 4 4 n 4k+1 4k+2 4k+3 4k 例 3 解题导引 注意 i (n∈N)的周期性,i =i,i =-1,i =-i,i =1 (其 1+i 1-i 2 2 中 k∈N),以及(1+i) =2i,(1-i) =-2i, =i, =-i 等运算结果在解题中的 1-i 1+i 应用,运算的最后结果化为 a+bi (a,b∈R)的形式. 2 2 2 ? -2 3+i? ? 1-2 3i? ? 4-8i? -? 4-8i? ? ? 1 006 解 原式= +? + 2? 2 2 ?? 1+i? ? 1 +? 2 3? 11- 7i 13i ?1?1 006 +? ? +0 13 ?i? 1 006 2 =i+(-i) =i+i =i-1=-1+i. 变式迁移 3 (1)A (2)C (3)D 2 3 解析 (1)i+i +i =i+(-1)+(-i)=-1. 1+i 4 1+i 2 2 2i 2 (2)( ) =[( ) ] =( ) =1. 1-i 1-i -2i 1+i 1-i 1+i 1-i (3) + 2+ 2= ? 1-i? ? 1+i? -2i 2i -1-i+1-i -2i = = =-1. 2i 2i 例 4 解题导引 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某个 向量对应的复数,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论即可. → → → 解 (1)∵AO=-OA,∴AO所表示的复数为-3-2i. =
7

→ → → ∵BC=AO,∴BC所表示的复数为-3-2i. → → → → (2)∵CA=OA-OC,∴CA所表示的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. → → → → → (3)∵OB=OA+AB=OA+OC, → ∴OB表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i, 即 B 点对应的复数为 1+6i. 49 变式迁移 4 c> 且 c≠9 11 解析 在复平面内三点坐标分别为 A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由∠BAC 是钝角得 49 → → AB·AC<0 且 B、A、C 不共线,由(-3,-4)·(c-3,2c-10)<0,解得 c> ,其中当 c=9 11 → → 时,AC=(6,8)=-2AB,三点共线,故 c≠9. 课后练习区 1+2i ? 1+2i? i 1.D [∵z= = =2-i, i -1 ∴ z =2+i.] 2.C [复数 6+5i 对应 A 点的坐标为(6,5),-2+3i 对应 B 点的坐标为(-2,3).由中 点坐标公式知 C 点坐标为(2,4),∴点 C 对应的复数为 2+4i.] 3π 5π 3.B [由三角函数线知识得当 θ ∈( , )时, 4 4 sin θ +cos θ <0,sin θ -cos θ >0,故选 B.] 2+i ? 2+i? ? 1+2i? 2+i+4i-2 4.C [方法一 ∵ = = 1-2i ? 1-2i? ? 1+2i? 5 =i, 2+i ∴ 的共轭复数为-i. 1-2i 2 2+i -2i +i i? 1-2i? 方法二 ∵ = = =i. 1-2i 1-2i 1-2i 2+i ∴ 的共轭复数为-i.] 1-2i 5.A [(1)中实数与虚数不能比较大小; (2)两个复数互为共轭复数时其和为实数, 但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是 共轭复数; (3)x+yi=1+i 的充要条件为 x=y=1 是错误的,因为没有标明 x,y 是否是实数; (4)当 a=0 时,没有纯虚数和它对应.] 6.-1 i+z2 i+1-3i ? 1-2i? ? 2-i? 解析 = = =-i, z1 2+i 5 故虚部为-1. 3 7.- 2 z1 m+2i ? m+2i? ? 3+4i? 解析 = = z2 3-4i 25 3m-8+? 6+4m? i 3 = 是实数,∴6+4m=0,故 m=- . 25 2 2 8.y =2x-1 解析 由|z-1|=x 得|(x-1)+yi|=x,
8

故(x-1) +y =x ,x≥0,整理得 y =2x-1. 9.解 设 z=a+bi (a、b∈R), 2 2 则 a +b -(a+bi)=1-2i.(5 分) 由两复数相等的充要条件得

2

2

2

2

? a2+b2-a=1, ? ?-b=-2,
3 ? ?a= 解得? 2 ? ?b=2, .(10 分)

3 所以所求复数为 z= +2i.(12 分) 2 10.解 (z1-2)(1+i)=1-i? z1=2-i.(4 分) 设 z2=a+2i,a∈R, 则 z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. ∵z1·z2∈R,∴a=4.∴z2=4+2i.(12 分) 2 11.解 (1)当 z 为实数时,则有 m +2m-3=0 且 m-1≠0 得 m=-3,故当 m=-3 时,z∈R.(2 分)

m? m-2? ? ? =0 (2)当 z 为纯虚数时,则有? m-1 ? ?m2+2m-3≠0.
解得 m=0,或 m=2. ∴当 m=0 或 m=2 时,z 为纯虚数.(4 分)

m? m-2? ? ? <0. (3)当 z 对应的点位于复平面第二象限时,则有,? m-1 ? ?m2+2m-3>0
解得 m<-3 或 1<m<2,故当 m<-3 或 1<m<2 时,z 对应的点位于复平面的第二象限.(8 分) (4)当 z 对应的点在直线 x+y+3=0 上时, m? m-2? 2 则有 +(m +2m-3)+3=0, m-1 m? m2+2m-4? 得 =0, m-1 解得 m=0 或 m=-1± 5. ∴当 m=0 或 m=-1± 5时, 点 Z 在直线 x+y+3=0 上.(14 分)

9


【步步高】届高三数学大一轮复习 数系的扩充与复数的引入学案 理 新人教A版

【步步高】届高三数学大一轮复习 数系的扩充与复数的引入学案 新人教A版 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 学案72 数系的扩充与复数的引入 导学目标: 1...

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案72 数系的扩充与复数的引入

2016届《步步高高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案72 数系的扩充与复数的引入_数学_高中教育_教育专区。学案 72 数系的扩充与复数的引入 导学目标:...

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案72 数系的扩充与复数的引入

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,)总复习学案:学案72 数系的扩充与复数的引入_数学_高中教育_教育专区。学案 72 数系的扩充与复数的引入 导学目标: 1...

山东省沂水县第一中学高考数学一轮复习 数系的扩充与复数的引入学案 新人教A版必修5

高考数学轮复习 数系的扩充与复数的引入学案 新人教A版必修5_数学_高中教育...自然数系 有数系 实数系 N Q R 2.(1)实部 虚部 b=0 b≠0 a=0 ...

2013版高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(单元总结与测试)精品学案 新人教A版

2013版高考数学轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(单元总结与测试)精品学案 新人教A版 隐藏>> 第四章单元总结与测试 【章节知识网络】 平面向...

2011版高三数学一轮精品复习学案:数系的扩充与复数的引入

2011 版高三数学精品复习学案:数系的扩充与复数的引入【高考目标定位】一、考纲点击:1、理解复数的基本概念;2、理解复数相等的充要条件;3、了解复数的代数表示...

【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)数系的扩充与复数的引入教学案

【三维设计】2014届高考数学轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)数系的扩充与复数的引入学案_数学_高中教育_教育专区。数系的扩充与复数的引入 [知识能否忆...

2013版高三数学一轮复习单元评估检测(4) 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 理 新人教A版

2013版高三数学轮复习单元评估检测(4) 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 新人教A版 隐藏>> 单元评估检测(四) (第四章)(120 分钟 150 分) 一...

2014届高考数学一轮复习教学案数系的扩充与复数的引入 2

2014届高考数学轮复习学案数系的扩充与复数的引入 2_高考_高中教育_教育专区...则 a+bi 为实数;若 b≠0,则 a+bi 为虚数;若 a=0,b≠0,则 a+bi ...