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高中数学 2-1-1《椭圆及其标准方程》同步课件 新人教A版选修1-1


●课程目标
1.双基目标 (1)掌握椭圆的定义,椭圆标准方程的两种形式及其推 导过程. (2)能够根据条件确定椭圆的标准方程,会运用待定系

数法求椭圆的标准方程.
(3)掌握椭圆的几何性质,掌握标准方程中的a、b、c、 e的几何意义,以及a、b、c、e之间的相互关系.

(4)了解双曲线的定义,并能根据双曲线定义

恰当地选
择坐标系,建立及推导双曲线的标准方程. (5)会用待定系数法求双曲线标准方程中的a、b、c, 能根据条件确定双曲线的标准方程. (6)使学生了解双曲线的几何性质,能够运用双曲线的 标准方程讨论它的几何性质,能够确定双曲线的形状特 征. (7)了解抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过

程,能根据条件确定抛物线的标准方程.
(8)了解抛物线的几何性质,能运用抛物线的标准方程 推导出它的几何性质,同时掌握抛物线的简单画法.

(9)通过抛物线四种不同形式标准方程的对比,培养学
生分析归纳能力. (10)通过根据圆锥曲线的标准方程研究其几何性质的 讨论,加深曲线与方程关系的理解,同时提高分析问题和 解决问题的能力,培养学生的数形结合、方程思想及等价

转化思想.
(11)能够利用圆锥曲线的有关知识解决与圆锥曲线有 关的简单实际应用问题.

2.情感目标
通过对椭圆、双曲线、抛物线概念的引入教学,培养 学生的观察能力和探索能力,通过画圆锥曲线的几何图形, 让学生感知几何图形曲线美、简洁美、对称美,培养学生 学习数学的兴趣,通过圆锥曲线的统一性的研究,对学生

进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育.

●重点难点
本章重点:椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几 何性质,在生产和科学技术中有着广泛的应用,也是今后 进一步学习数学的基础.椭圆、双曲线、抛物线的定义、 方程、几何性质,以及坐标法是这一章的重点.

本章难点:坐标法是借助坐标系,以代数中数与式的
知识为基础来研究几何问题的一种数学方法.因此,学习 这一章时需要一定的代数知识作为基础.特别是对数式变 形和解方程组的能力要求较高.例如,在求椭圆和双曲线 的标准方程时,会遇到比较复杂的根式化简问题,在解某

些题目时,还会遇到由两个二元二次方程组成的方程组的
问题等等,这都是本章难点.

●学法探究
圆锥曲线可以看成是符合某种条件的点的轨迹,在本 章中通过坐标法,运用代数工具研究曲线问题体现得最突 出,它把数学的两个基本对象——形与数有机地联系起来, 在学习中,要深刻领会数形结合这一重要数学方法.

圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线问题的出发点,要明
确基本量a、b、c、e的相互关系、几何意义及一些概念的 联系.

圆锥曲线中最值求法有两种:(1)几何法:若题目中条
件与结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性 质来解决.(2)代数法:若题目的条件和结论能体现明确的 函数关系,则可建立目标函数,再求这个函数的最值. 定点与定值问题的处理方法:(1)从特殊入手,求出定

点或定值,再证明这个点(值)与变量无关.(2)直接推理、
计算,并在计算过程消去变量,从而得到定点(定值).

2.1

椭 圆

1.知识与技能
掌握椭圆的定义,会推导椭圆的标准方程. 2.过程与方法 会用待定系数法求椭圆的标准方程.

本节重点:椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式.
本节难点:椭圆标准方程的建立和推导. 1.对于椭圆定义的理解,要抓住椭圆上的点所要满足 的条件,即椭圆上点的几何性质,可以对比圆的定义来理 解.

2.在理解椭圆的定义时,要注意到对“常数”的限定,
即常数要大于|F1F2|.这样就能避免忽略两种特殊情况,即: 当常数等于|F1F2|时轨迹是一条线段;当常数小于|F1F2|时点 不存在.

3.观察椭圆的图形,发现椭圆有两条互相垂直的对称
轴,以这两条对称轴作为坐标系的两轴建立平面直角坐标 系,在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简,这类方 程的化简方法:(1)方程中只有一个根式时,需将它单独留 在方程的一侧,把其它项移到另一侧;(2)方程中有两个根

式时,需将它们放在方程的两侧,并使其中一侧只有一个
根式.

1.对椭圆的定义要正确理解、熟练运用,解决过焦点
的问题时,要结合图形看能否运用定义. 2.用待定系数法来求椭圆的标准方程时,要“先定型, 再定量”,不能确定焦点的位置,可进行分类讨论或设为 mx2+ny2=1(m>0,n>0)的形式.

1.平面内与两个定点F1 、F2 的距离之和等于定长(大
于|F1F2|)的点的轨迹叫做 椭圆 .这两个定点 F1 、 F2 叫做 椭圆的 焦点 ,两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的 焦距 . 2 . 在 椭 圆 定 义 中 , 条 件 2a>|F1F2| 不 应 忽 视 , 若 2a<|F1F2|,则这样的点不存在;若2a=|F1F2|,则动点的轨

迹是 线段



[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点坐标分别是(-3,0)、(3,0),椭圆经过点 (5,0);

(2)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0,-5),椭圆上一点P
到两焦点的距离和为26.

[解析] (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准 x2 y2 方程为a2+b2=1(a>b>0). ∵2a= (5+3)2+0+ (5-3)2+0=10,2c=6. ∴a=5,c=3, ∴b2=a2-c2=52-32=16. x2 y2 ∴所求椭圆的方程为: + =1. 25 16

(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上,所以设它的标准方程为: y2 x2 a2+b2=1(a>b>0). ∵2a=26,2c=10,∴a=13,c=5. ∴b2=a2-c2=144. y2 x2 ∴所求椭圆方程为:169+144=1.

[点评]

x2 y2 y2 x2 在椭圆的标准方程a2+b2=1 和a2+b2=1 中,

一般规定 a>b>0.如果给出具体的方程可由 x2、 2 的分母的 y 大小确定焦点所在的坐标轴.x2 的分母大时,焦点在 x 轴 上,y2 的分母大时,焦点在 y 轴上;反过来,如果焦点在 x 轴上,则 x2 的分母为 a2,如果焦点在 y 轴上,则 y2 的分 母为 a2.

(1)如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 则 k 的取值范围是________. x2 y2 (2)方程2m- =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆, m 则 m-1 的取值范围是________.

[解析]

x2 y2 (1)将方程整理,得 2 + 2 =1; k

?2 ? >2 依题意? k ,解得 0<k<1. ?k>0 ? x2 y2 (2)将方程化为:2m+ =1, 1-m ?2m>0 ? 依题意?1-m>0 ?2m>1-m ? 1 ,解得3<m<1.

[点评]

在遇到形如 Ax2+By2=C 的方程中,只要

A、B、C 同号,就是椭圆方程,解决此类问题时应将方 x2 y2 程化为椭圆的标准方程形式 C + C =1. A B

[例2] 根据下列条件,求椭圆的标准方程.
(1)坐标轴为对称轴,并且经过两点A(0,2),B. (2)经过点(2,-3)且与椭圆9x2 +4y2 =36有共同的焦 点.

[解析]

x2 y2 (1)设所求椭圆的方程为m+ n =1(m>0,n>0),
?1 A(0,2),B?2, ? ? 3?. ?

∵椭圆过

?0 4 ?m+n=1 ∴? ? 1 +3=1 ?4m n

?m=1 ? ,解得? ?n=4 ?



y2 即所求椭圆方程为 x2+ 4 =1.

(2)∵椭圆 9x2+4y2=36 的焦点为(0, 5), ± 则可设所 x2 y2 求椭圆方程为m+ =1(m>0), m+5 4 9 又椭圆经过点(2,-3),则有 + =1, m m+5 解得 m=10 或 m=-2(舍去), x2 y2 即所求椭圆的方程为10+15=1.

[点评]

1.求椭圆方程时,若没有指明焦点位置,一般
=1(m>0,n>0).再根据条件确

可设所求方程为 定m、n的值.

2.当椭圆过两定点时,常设椭圆方程为Ax2 +By2 = 1(A>0,B>0).将点的坐标代入解方程组求得系数.

[例3]

已知圆A:(x+3)2 +y2 =100,圆A内一定点 根据两圆内切的特点,得出|PA|+|PB|=10,

B(3,0),圆P过B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程. [分析]

由于A点的坐标为(-3,0),B点的坐标为(3,0),所以点P的
轨迹方程是以A、B为焦点的椭圆的标准方程,这就把求点 P的轨迹方程的问题转化成了求a2、b2的问题.

[解析] 设圆P的半径为r,又圆P过点B,∴|PB|=r,
又∵圆P与圆A内切,圆A的半径为10. ∴两圆的圆心距|PA|=10-r, 即|PA|+|PB|=10(大于|AB|). ∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆.

∴2a=10,2c=|AB|=6,
∴a=5,c=3.∴b2=a2-c2=25-9=16.

[点评] 在求动点的轨迹方程时,要对动点的运动规
律仔细分析,去伪存真,当发现有动点到两定点的距离之 和为定值时,要马上和椭圆的定义进行联系.若符合椭圆 的定义,即可直接写出对应的椭圆方程,这种方法也叫定 义法求轨迹方程.

已 知 F1 、 F2 是两点 ,|F1F2| =8,动点M 满足|MF1| + |MF2|=10,则点M的轨迹是____________. 动 点 M 满 足 |MF1| + |MF2| = 8 , 则 点 M 的 轨 迹 是

__________.
[答案] 以F1、F2为焦点,焦距为8的椭圆 线段F1F2

[解析 ]

因为|F1F2|=8且动点 M 满足|MF1| +|MF2| =

10>8=|F1F2|,

由椭圆定义知,动点M的轨迹是以F1 、F2 为焦点,焦
距为8的椭圆.其方程为

因为|MF1|+|MF2|=8=|F1F2|,所以动点M的轨迹是线
段F1F2.

[例4] 如图所示,已知点P是椭圆

=1上的点,

F1和F2是焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积.

[解析]

y2 x2 在椭圆 5 + 4 =1 中,a= 5,b=2,∴c=

a2-b2=1, 又∵点 P 在椭圆上,∴|PF1|+|PF2|=2a=2 5① 由 余 弦 定 理 知 |PF1|2 + |PF2|2 - 2|PF1|· 2|· |PF cos30° = |F1F2|2=(2c)2=4② ①式两边平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|· 2|=20③ |PF ③-②得(2+ 3)|PF1|· 2|=16, |PF ∴|PF1|· 2|=16(2- 3), |PF 1 ∴S△PF1F2=2|PF1|· 2|· |PF sin30° =8-4 3.

已知椭圆

=1上一点P,F1、F2为椭圆的焦点,

若∠F1PF2=θ,求△F1PF2的面积.

[解析] 由椭圆的定义,有
|PF1|+|PF2|=2a,而在△F1PF2中,由余弦定理有 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cosθ =|F1F2|2=4c2, ∴(|PF1|+|PF2|)2 -2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cosθ=4c2 ,

即4a2-4c2=2|PF1|·|PF2|(1+cosθ)

[点评] 椭圆上一点P与两焦点F1、F2构成的三角形
PF1F2我们通常称其为焦点三角形,在这个三角形中,既可 运用到椭圆定义,又能用到正、余弦定理.上述解答过程 中还运用了整体思想直接求出|PF1|·|PF2|,没有单独求|PF1|、 |PF2|,以减少运算量.

[例5] 设P为椭圆

=1上任意一点,F1为它

的一个焦点,求|PF1|的最大值和最小值. [解析] 设F2 为椭圆的另一焦点,则由椭圆定义得: |PF1|+|PF2|=2a, ∵||PF1|-|PF2||≤2c,

∴-2c≤|PF1|-|PF2|≤2c,
∴2a-2c≤2|PF1|≤2a+2c, 即a-c≤|PF1|≤a+c ∴|PF1|的最大值为a+c,最小值为a-c.

[点评]

椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是

长轴的两个端点,应掌握这一性质.

已知椭圆的焦点F1、F2在x轴上,它与y轴的一个交点 为P,且△PF1F2为正三角形,且焦点到椭圆上的点的最短 距离为 ,则椭圆的方程为__________.

[解析]

x2 y2 ∵椭圆的焦点在 x 轴上, 则设方程为 2+ 2 a b

=1(a>b>0),两焦点 F1(-c,0),F2(c,0),P(0,b). 不妨设 x 轴与椭圆的一个交点为 A(a,0), ∴c= a2-b2, 由△PF1F2 为正三角形可知: |PF1|=|PF2|=|F1F2|, ∴a=2c① 又焦点到椭圆上的点的最短距离为 a-c,

于是 a-c= 3② 由①②可得:a=2 3,b=3,c= 3, x2 y2 ∴所求椭圆方程为12+ 9 =1.

[例 6]

x2 y2 方程 2+ =1 表示焦点在 y 轴上的椭 m (m-1)2

圆,求实数 m 的取值范围. [误解 1]
2

x2 y2 方程 2+ =1 表示焦点在 y 轴上的 m (m-1)2
2

1 椭圆,则 m <(m-1) ,解得 m<2,所以实数 m 的取值范围
? 1? 是?-∞,2?. ? ?

[辨析] 上述解法只注意了焦点在y轴上,而没有考虑
到m2>0且(m-1)2>0,这是经常出现的一种错误,一定要避 免.

[误解 2]

x2 y2 方程m2+ =1 表示焦点在 y 轴上的 (m-1)2

?a2=(m-1)2, ? 椭圆,则? 2 ?b =m2, ? ?a=m-1, ? 所以? ?b=m. ?

又因为在椭圆中 a>b>0,所以 m-

1>m>0,即-1>0,这是不可能的,即所求的 m 的值不存 在.

[辨析] 由a2=(m-1)2及b2=m2,应得a=|m-1|及b=
|m|,m-1与m不一定是正值,上述解法误认为m-1与m是 正值而导致错误.

[正解]

x2 y2 方程 2+ =1 表示焦点在 y 轴上的椭 m (m-1)2 ?m≠0, ? 解得? 1 ?m<2. ?

?m2>0, ? 2 圆,则?(m-1) >0, ?(m-1)2>m2, ? 所以所求 m

? 1? 的取值范围为(-∞,0)∪?0,2?. ? ?

一、选择题
1.(2009·陕西文,7)“m>n>0”是“方程mx2 +ny2 =1 表示焦点在y轴上的椭圆”的 ( A.充分而不必要条件 )

B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] C

[解析] 件的概念.

本小题主要考查椭圆的基本概念和充要条

方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 ? 1 > n 1 >0?m>n>0.故选 C. m

2.已知椭圆

=1上一点P到其一个焦点的距

离为3,则点P到另一个焦点的距离为 ( A.2 [答案] D B.3 C.5 D.7 )

[解析]

设椭圆的两个焦点分别为F1 、F2 ,由椭圆定

义知,|PF1|+|PF2|=2a=10,点P到另一个焦点的距离为7.

3.两个焦点的坐标分别为(-2,0),(2,0),并且经过
?5 3? P?2,-2?的椭圆的标准方程是 ? ?

( x2 y2 A. + =1 10 6 x2 y2 C. 9 +25=1 4 4
[答案] A

)

y2 x2 B. + =1 10 6 y2 x2 D. 9 +25=1 4 4

[解析]

设 F1(-2,0),F2(2,0),

x2 y2 设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0),由题意得, |PF1|+|PF2|= =2 10=2a, ∴a= 10, x2 y2 又 c=2,∴b2=6,椭圆的方程为 + =1. 10 6
?5 ? 9 ? +2?2+ + 4 ?2 ? ?5 ? 9 ? -2?2+ 4 ?2 ?

4.椭圆

=1的焦点坐标是
( )

A.(±5,0) C.(0,±12) [答案] C

B.(0,±5) D.(±12,0)

[解析] ∵椭圆方程为
∴椭圆焦点在y轴上, 又∵a=13,b=5,∴c=12, ∴椭圆焦点坐标为(0,±12).

=1,

二、填空题
5.(2009·北京文,13)椭圆 的大小为________. [答案] 2 120° =1的焦点为F1, F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=______;∠F1PF2

[解析]

考查椭圆定义及余弦定理.

由椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF2|=2, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos∠F1PF2= 2|PF ||PF |
1 2

16+4-28 1 = =- . 16 2 ∴∠F1PF2=120° .

6.椭圆
________. [答案] 5或3 [解析]

= 1 的 焦 距 是 2 , 则 m 的 值 为

由题意得2c=2,c=1,当焦点为x轴上时,a2

=m,b2=4,c2=m-4=1,∴m=5,

当焦点在y轴上时,a2=4,b2=m,c2=4-m=1,
∴m=3.

三、解答题 7.求焦点在坐标轴上,且经过 A(- 3,-2)和 B(- 2 3,1)两点的椭圆的标准方程.

[解析]

设所求椭圆方程为: 2+By2=1(A>0, Ax B>0)

将 A(- 3,-2)和 B(-2 3,1)的坐标代入方程得 1 ? ?3A+4B=1 ?A=15 ? ? ,解得? ?12A+B=1 ? ?B=1 5 ?

.

x2 y2 所求椭圆的标准方程为: + =1. 15 5


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