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2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题05


平面向量
【典型例题】 例 1(填空题) (1)给出下列命题: ① 0 a =0; ② 对于实数 m 和向量 a, b (m∈R) ,若 ma ? mb ,则 a ? b ; ③ 若 a ? 0, a ? b ? a ? c ,则 a ? c ; ④ (a ? b)c ? a(b ? c) 对任意 a, b, c 向量都成立; ⑤对任意向量 a ,有 a ? a 2 .

其中不正确的序号是 .

(2)设 a 与 b 是两个不共线的向量,且向量 a ? ?b 与 ?(b ? 2a) 共线,则 ? 的值 为 . . (3)平面向量 a 与 b 的夹角为 600 , a ? (2, 0),| b |? 1 ,则

| a ? 2b |?

? 1 ???? ??? 2 ??? 1 ???? ???? ? ? 2 ??? (5) 如图, P、 为△ABC 内的两点, AP ? AB ? AC , AQ = AB + AC , 设 Q 且 3 4 5 5 则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 .

C Q N P A
(6)如图,半圆的直径 AB=6,O 为圆心,C 为半圆 上不同于 A、B 的任意一点,若 P 为半径 OC 上的动点,则 ??? ??? ??? ? ? ? ( PA ? PB) ? PC 的最小值为 .

M

B

C
P A

O

B

1 1 (8)已知 a ? 2 b ? 0 ,且关于 x 的函数 f ( x) ? x3 ? a x 2 ? (a ? b) x 在 R 上有极值, 3 2

则 a 与 b 的夹角范围为 . (9) 如图, ?ABC 中,?BAC ? 120?, AB ? 2, AC ? 1, D 是边 BC 上一点,DC ? 2BD, 在
5-1

???? ??? ? 则 AD ? BC ? __________ .
(10) 定义 f (M ) ? (m, n, p) ,其中 M 是△ ABC 内一 点, m 、 n 、 p 分别是△ MBC 、△ MCA 、△ MAB 的面
??? ???? ? 积,已知△ ABC 中, AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30? ,

A B D C

1 4 1 f ( N ) ? ( , x, y) ,则 ? 的最小值是 x y 2



sin sin 例 2 已知 a ? ? cos ?, ? ?,b ? ?cos ? , ? ? ,其中 0 ? ? ? ? ? ? .

(1)求证: a+b 与 a-b 互相垂直; (2)若 ka ? b 与 ka ? b ( k ? 0 )的长度相等,求 ? ? ? . 解: (1)因为 (a ? b)? a ? b) ? a 2 ? b2 ?| a |2 ? | b |2 ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? (

? 1 ? 1 ? 0 , 所以 a+b 与 a-b 互相垂直. (2)∵| ka ? b |=| ka ? b |,∴| ka ? b |2=| ka ? b |2,展开可得 a ? b =0.
∵ k ? 0 ,∴ cos?? ? ? ? ? 0 , 又∵ 0 ? ? ? ? ? ?, 0 ? ? ? ? ? ? ,∴ ? ? ? ? . 2 ??? ? ???? 例 3 已知向量 AB ? (2 ? k , ? 1) , AC ? (1 , k ) . (1)若△ ABC 为直角三角形,求 k 值; (2)若△ ABC 为等腰直角三角形,求 k 值. ??? ? ???? ??? ???? ??? ? ? 解:(1) AB ? (2 ? k , ?1), AC ? (1, k ) ? BC ? AC ? AB ? (k ? 1, k ? 1) , ??? ???? ? 若 ?A ? 900 ,则 AB ? AC ? k ? 1 ; ??? ??? ? ? 若 ?B ? 900 ,则 AB ? BC ? k 2 ? 2k ? 3 ? 0 无解; ???? ??? ? 若 ?C ? 900 ,则 AC ? BC ? k 2 ? 2k ? 1 ? 0 ? k ? ?1 ? 2 , 综上所述,当 k ? 1 时,△ ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形; 当 k ? ?1 ? 2 时,△ ABC 是以 C 为直角顶点的直角三角形. ??? ? ???? ???? ???? ? (2)当 k=1 时, AB ? (1, ?1), AC ? (1,1) ? | AB | ?| AC | ? 2 ;
???? 2 ??? 2 ? ???? ??? ? 当 k ? ?1 ? 2 时, AC ? (1, ?1 ? 2), BC ? (?2 ? 2, ? 2) ? AC ? 4 ? 2 2, BC ? 8 ? 4 2

?

5-2

???? ??? ? ? AC ? BC ;
???? 2 ??? 2 ? ???? ??? ? 当 k ? ?1 ? 2 时, AC ? (1, ?1 ? 2), BC ? (?2 ? 2, ? 2) ? AC ? 4 ? 2 2, BC ? 8 ? 4 2

???? ??? ? ? AC ? BC .

综上所述,当 k=1 时,△ ABC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形.
??? ? ??? ? 例 4 已知向量 OA ? ( λ cos α, λ sin α)( λ ? 0) , OB ? (? sin β ,cos β ) ,其中 O 为坐标原点.

(1)若 β ? α ?

??? ? ??? ? π ,求向量 OA 与 OB 的夹角; 6

??? ? ??? ? (2)若 | AB | ≥ 2 | OB | 对任意实数 α, β 都成立,求实数 λ 的取值范围.

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OA ? OB ? sin(? ? ? ) ? ? ? 解: (1)设向量 OA 与 OB 的夹角为 ? ,则 cos? ? ??? ??? ? , ? |? | 2|? | | OA? | OB |
当 ? ? 0 时, cos? ?

1 ? 1 2? , ? ? ;当 ? ? 0 时, cos? ? ? , ? ? . 2 3 2 3

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 2? ? 故当 ? ? 0 时,向量 OA 与 OB 的夹角为 ;当 ? ? 0 时,向量 OA 与 OB 的夹角为 . 3 3
??? ? ??? ? (2) | AB |? 2 | OB | 对任意的 ? , ? 恒成立,
即 (? cos ? ? sin ? )2 ? (? sin ? ? cos ? )2 ? 4 对任意的 ? , ? 恒成立, 即 ? 2 ? 1 ? 2? sin( ? ? ? ) ? 4 对任意的 ? , ? 恒成立,

?? ? 0 ?? ? 0 所以 ? 2 或? 2 ,解得 ? ? 3 或 ? ? ?3 . ? ? ? 2 ? ? 1 ? 4 ? ? ? 2? ? 1 ? 4
故所求实数 ? 的取值范围是 (??,?3] ∪ [3,??) . ???? ???? ???? ???? ???? | | 1| 另 解 : 由 | A B |? | O B? O A| ? | | O B? | O A?|? | | ?| , 可 得
C

??? ? | AB | 的 最 小 值 为 || ? | ?1| , 然 后 将 已 知 条 件 转 化 为

Q

|| ? | ?1|? 2 ,由此解得实数 ? 的取值范围.
AB 例 5 如图 ?ABC 中, ? 2, BC ? 3, CA ? 3, PQ 是以 A
A B

5-3

P

为圆心,以 1 为半径的圆的一条直径.问: BC 与 PQ 的夹角 ? 为何值时, BP ? CQ 有最大 值和最小值. ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? 1 ??? ??? ??? ???? ???? 1 ??? ???? 解:∵ BP ? AP ? AB ? ? PQ ? AB, CQ ? AQ ? AC ? PQ ? AC , 2 2 ∴ BP ? CQ ? ? ? PQ ? AB ?? PQ ? AC ? ? ? PQ ? AB ? AC ? PQ AC ? AB
? ? ? ? ? ? ? 1 ??? 2 ??? ???? 1 ??? ???? ??? ? 1 ??? ??? ?? 1 ??? ???? ? 4 2 ? 2 ?? 2 ? ??? ??? ? ? 1 1 1 1 ? ? (2r )2 ? bc cos A ? PQ ? BC ? ?r 2 ? (b2 ? c 2 ? a 2 ) ? ? 2r ? a cos ? 4 2 2 2 ??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

?

?

1 ? ar cos ? ? (b2 ? c 2 ? a 2 ) ? r 2 , 2 ??? ??? ? ? 当 cos? ? 1 ,即 ? ? 0 时, BP ? CQ

?

?

max

1 1 ? (b2 ? c2 ? a 2 ) ? r 2 ? ar ? (2 ? 3 ? 9) ? 1 ? 3 ?1 ? 0 ; 2 2

当 cos? ? ?1 ,即 ? ? π 时,

1 1 ? (b2 ? c2 ? a 2 ) ? r 2 ? ar ? (2 ? 3 ? 9) ? 1 ? 3 ?1 ? ?6 . 2 2 例 6 如图,在边长为 1 的正三角形 ABC 中, E , F 分别是边 AB, AC 上的点,若 ??? ? ??? ??? ? ? ???? AE ? mAB, AF ? nAC , , n? (0,1) . EF 的中点为 M , 设 m BC A
min

? BP ? CQ?

??? ??? ? ?

的中点为 N . ⑴若 A, M , N 三点共线,求证 m ? n ; ???? ? ⑵若 m ? n ? 1 ,求 | MN | 的最小值.
???? ???? ? 解:⑴由 A, M , N 三点共线,得 AM / / AN ,
???? ? ???? ? ? 1 ??? ???? ? 1 ??? ??? 设 AM ? ? AN ( ? ? R) ,即 ( AE ? AF ) ? ? ( AB ? AC ) , 2 2 ??? ? ???? ??? ???? ? 所以 mAB ? nAC ? ? ( AB ? AC ) ,所以 m ? n .

F 学科网 E M

B

C N

???? ???? ???? ? ? 1 ??? ???? 1 ??? ??? ? ? ? ??? 1 ? ???? 1 ⑵因为 MN ? AN ? AM = ( AB ? AC ) ? ( AE ? AF ) ? (1 ? m) AB ? (1 ? n) AC , 2 2 2 2 ???? 1 ? ??? 1 ???? ? 又 m ? n ? 1 ,所以 MN ? (1 ? m) AB ? mAC , 2 2 ???? ? ??? 2 1 ???? 2 1 ? ??? ???? ? 1 所以 | MN |2 ? (1 ? m)2 AB ? m2 AC ? (1 ? m)mAB ? AC 4 4 2

1 1 1 1 1 3 = (1 ? m)2 ? m2 ? (1 ? m)m ? (m ? )2 ? , 4 4 4 4 2 16 ???? ? 3 1 故当 m ? 时, | MN |min ? . 4 2

5-4

【新题备选】 1.定义 a * b 是向量 a 和 b 的“向量积” ,它的长度 a ? b ?| a | ? | b | ? sin ?, 其中 ? 为 向量 a 和 b 的夹角,若 u ? (2,0), u ? v ? (1, ? 3), 则 | u ? (u ? v ) | = 解:由条件 v ? (1, 3) ,则 u ? v ? (3, 3) , cos ? u, u ? v ?? 所以 sin ? u, u ? v ??
1 1 , u ? (u ? v ) ? 2 ? 2 3 ? ? 2 3 . 2 2
3 , 2



??? ? ??? ? ???? 2.已知 A 、 B 、 C 是直线 l 上的不同的三点, O 是外一点,向量 OA 、 OB 、 OC 满

??? 3 ? ??? ? ???? 足:OA ? ( x2 ? 1) ? OB ? [ln(2 ? 3x) ? y] ? OC ? 0 ,记 y ? f ( x) ,则函数 y ? f ( x) 的解析式 2 为 . ??? 3 ? ??? ? ???? 解:? OA ? ( x2 ? 1) ? OB ? [ln(2 ? 3x) ? y] ? OC ? 0 , 2 ??? ? 3 2 ??? ? ???? ∴ OA ? ( x ? 1) ? OB ? [ln(2 ? 3x) ? y] ? OC . 2

又? A 、B、C 在同一条直线上, ∴ ( x ? 1) ? [ln(2 ? 3x) ? y ] ? 1 , ∴ y ? ln(2 ? 3x) ?
2

3 2

3 2 x . 2
D C

即 f ( x) ? ln(2 ? 3x) ?

3 2 x . 2

3. 如图, 在正方形 ABCD 中, 已知 AB ? 2 , M 为 BC
???? ???? ? 的中点, N 为正方形内 若 (含边界) 任意一点, AM ? AN 的 则
N M

最大值是 . 解:以 AB 所在的直线为 x 轴,AD 所在的直线为 y 轴, 建立直角坐标系, ???? ???? ? ???? ???? ? 设 N(x,y)则 AN ? ( x, y ) , AM ? (2,1) ,则 AM ? AN ? 2 x ? y
???? ???? ? ?0 ? x ? 2 因为 ? ,由线性规划的知识可得 AM ? AN ? 2 x ? y ? 6 . ?0 ? y ? 2

A

B

4.在 ?OAB 中,

??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? OA ? ?OB (1)若 C 为直线 AB 上一点,且 AC ? ?CB(? ? ?1) ,求证: OC ? ; 1? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? (2)若 OA ? OB ? 0 , OA ? OB ? a ,且 C 为线段 AB 上靠近 A 的一个三等分点,求
5-5

???? ??? ? OC ? AB 的值;
??? ? ??? ? (3)若 OA ? 1 , OB ? 3 ,且 P1 , P2 , P3 ,?, Pn ?1 为线段 AB 的 n(n ? 2) 个等分

???? ??? ???? ??? ? ? ? ?????? ??? ? 点,求 OP ? AB ? OP2 ? AB ? ? ? OPn ?1 ? AB 的值. 1

???? ??? ? ??? ???? ? ??? ? ??? ? 解: (1)由 AC ? ?CB ,得 OC ? OA ? ?(OB ? OC ) , ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? OA ? ?OB 即 (1 ? ?)OC ? OA ? ?OB ,因为 ? ? ?1 ,所以 OC ? ; 1? ? ??? ? ??? ? ???? ??? OA ? ?OB ??? ??? 1 ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 2 1 ??? 2 (2) OC ? AB ? (OB ? OA) ? OA ? OB ? OB ? OA , 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ? ? 1 2 ? ??? ? ??? ? 因为 OA ? OB ? 0 , OA ? OB ? a , 所以 OC ? AB ? a . ? ?1 ???? ??? ? 1 1 由于 C 为线段 AB 上靠近 A 的一个三等分点,故 ? ? ,所以 OC ? AB ? ? a 2 . 3 2 ???? ??? ???? ??? ? ? ? ????? ??? ??? ???? ???? ? ? ? ? ????? ? (3) OP ? AB ? OP2 ? AB ? ? ? OPn ?1 ? AB = AB(OP ? OP2 ? ? ? OPn ?1 ) 1 1
??? ? ? ??? ? ? ? ? n ? 1 ??? 1 ??? ??? 2 ??? OA ? OB OA ? OB OA ? OB ??? ? n ? (n ? 1) n ?1 n?2 ? ?? ? ) = AB ( 1 2 n ?1 1? 1? 1? n ?1 n?2 n ? (n ? 1)

??? n ? 1 n ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 1 ??? 1 2 n ? 1 ??? n ? 1 ??? ??? ??? ??? = AB[( ? ? ? ? )OA ? ( ? ? ? )OB] = (OB ? OA)(OB ? OA) 2 n n n n n n ? ? n ? 1 ??? 2 ??? 2 = (OB ? OA ) = n ? 1 . 2

5-6

【专题训练】 一、填空题
??? ? ??? ? 1. e1 , e2 是平面内不共线的两个向量,已知 AB ? e1 ? k e 2 , CB ? 2e1 ? e2 ,
??? ? CD ? 3e1 ? e2 ,若 A, B, D 三点共线,则 k 的值是

. . . . . .

2.已知向量 a ? (?2,1), b ? (?3,0) ,则 a 在 b 方向上的投影为 3.已知向量 p ?
a b ,其中 a 、 b 均为非零向量,则 | p | 的取值范围是 ? |a| |b|

4. 已知向量 a =(1, b =(2, 若 a +2 b 与 3 a +λ b 平行, λ 的值等于 3), 1), 则 5.已知向量 a = ? 2,,b = ?11? .若向量 b ? (?a + b) ,则实数 ? 的值是 4? , 6.若向量 a, b 满足 | a |? 2,| b |? 1, a ? (a ? b) ? 1 ,则向量 a, b 的夹角大小为 7.设向量 a 与 b 的模分别为 6 和 5,夹角为 120° ,则 | a ? b | 等于 ??? 1 ???? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 8. 如图, 在△ABC 中,BD ? DC , AE ? 3ED , 若AB ? a, AC ? b, 2 .

??? ? 则BE =

. (用 a , b 表示)

??? ? ???? ? ??? ??? ??? ? ? ? 足 PA ? 2 PM ,则 PA ? ( PB ? PC ) 等于

9.在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满 .

??? ??? ? ? ??? ? ??? ? 10. 在 ?ABC 中, OA ? ? 2cos ? , 2sin ? ? , OB ? ? 5cos ? ,5sin ? ? ,若 OA ? OB ? ?5 ,则

S ?ABO ?



??? ? ??? ? ??? ? 11.已知 P 是 ?ABC 内一点,且满足 PA ? 2PB ? 3PC ? 0,记 ?ABP 、 ?BCP 、 ?ACP

的面积依次为 S1 , S2 , S3 ,则 S1 : S2 : S3 等于



A M B H C

12. 如图,在△ABC 中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°, AH⊥BC, 垂足为 H, 为 AH 的中点, AM ? ? AB ? ? BC, 则? ? ? M 若 的值等于 . 13.如图,在直角 ?ABC 中,已知 AC ? BC ? 3 , M 为 AB 的 靠近 A 点的三等分点,若 N 为直角 ?ABC 内(含边界)任意一点, ???? ???? ? 则 CM ? CN 的最大值是 .

B N M A

C
5-7

14.设函数 f ( x) ?

1 ,点 A0 表示坐标原点,点 An (n, f (n)) n(n ? N ? ) ,若向量 x ?1

n ??????? n an ? ? Ak ?1 Ak , i ? (1,0) , ?n为an与i 的夹角,设 Sn ? ? tan ? k ,则 Sn ? k ?1 k ?1



二.解答题 15.已知向量 a ? (sin x,1), b ? (cos x, ? ) . (1)当 a ? b 时,求 a ? b 的值; (2)求函数 f ( x) ? a ? (b ? a) 的最小正周期. 16.已知向量 u ? ( x, y) 与 v ? ( y,2 y ? x) 的对应关系用 v ? f (u) 表示. (1)设 a ? (1,1), b ? (1,0) ,求向量 f (a ) 及 f (b) 的坐标; (2)求使 f (c) ? ( p, q) , p, q 为常数)的向量 c 的坐标; ( (3)证明:对于任意向量 a, b 及常数 m, n 恒有 f (ma ? nb) ? mf (a) ? nf (b) 成立
? 3 ??? ???? 5

1 2

17. 如图, 平面四边形 ABCD 中, AB=13, AC=10, AD=5,cos ?DAC ? , AB ? AC =120. (1)求 cos∠BAD; (2)设 AC ? xAB ? y AD ,求x 、y 的值.
???? ??? ? ???? ?

18.已知向量 a =(cos -sin

若 f (x)= a ? b -2 ? ︱ a + b ︱的最小值为-7,求实数 ? 的值.

x ? ), 且 x∈[0, ], 2 2

3x 3x x ,sin ), b =(cos , 2 2 2

19.已知等边三角形 ABC 的边长为 2,⊙ A 的半径为 1, PQ 为⊙ A 的任意一条直径. (1)判断 BP ? CQ ? AP ? CB 的值是否会随点 P 的变化而变 化,请说明理由;
??? ??? ? ? (2)求 BP ? CQ 的最大值.
P A Q

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

B
5-8

C

??????? ??????? ???? ???? ? 20. 已知 i 、j 分别是 x 轴, 轴方向上的单位向量, 1 ? j , OA2 ? 10 j , 且 An ?1 An ? 3 An An ?1 y OA ???? ? (n=2, 4.., 3, .) 在射线 y ? x ( x ? 0) 上从下到上依次有 Bi (i ? 1, 2,3, ???) ,OB1 ? 3i ? 3 j, 且
??????? Bn ?1 Bn ? 2 2 (n ? 2,3, 4 ?) .

(1)求 A4 A5 ; (2)求 OAn , OBn ; (3)四边形 An An?1 Bn?1 Bn 面积的最大值.

【专题训练参考答案】 1.2 8. ? 2.2 3. [0,1] 9. 4.6 10.
5 3 2

5. ? 11. 3:1: 2

1 3
12.

6.
2 3

3? 4

7. 31 14.
n n ?1

1 1 a? b 2 4

4 9

13.6

15.解:(1)由已知得 a ? b ? 0 ,
| a ? b |? (a ? b)2 ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ? a 2 ? b 2 = sin x ? 1 ? cos x ?
2 2

1 3 ? 4 2

(2)?

f ( x) ? a ? b ? a 2 ? sin x cos x ?

1 ? sin 2 x ? 1 2

?

2 ? 1 1 ? cos 2 x 3 ? sin(2 x ? ) ? 2 ,∴函数 f ( x) 的周期是 π. sin 2 x ? ? 2 4 2 2 2

16.解: (1)由已知得 f (a ) =(1,1) f (b) =(0,-1)(2)设 c =(x,y) , ; ,则 . f (c) ? ( y, 2 y ? x) ? ( p, q) ,所以 y=p,x=2p-q,即 c =(2p-q,p) (3)设 a ? (a1 , a2 ), b ? (b1, b2 ) ,则 ma ? nb ? (ma1 ? nb1 , ma2 ? nb2 ) , 故 f (ma ? nb) ? (ma2 ? nb2 , 2ma2 ? 2nb2 ? ma1 ? nb1 ) ? m(a2 , 2a2 ? a1 ) ? n(b2 , 2b2 ? b1 ) , ∴ f (ma ? nb) ? mf (a) ? nf (b) . 17.解: (1)设 ?CAB ? ? , ?CAD ? ? ,
5-9

??? ???? ? AB ? AC 120 12 3 5 4 ? cos ? ? ??? ???? ? ? ,cos ? ? ,∴ sin ? ? ,sin ? ? , 5 13 5 | AB | ? | AC | 130 13

12 3 5 4 16 ? ? ? ? . 13 5 13 5 65 ???? ??? ? ??? 2 ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ? AC ? AB ? xAB ? y AD ? AB ?120 ? 169 x ? 16 y ? (2)由 AC ? x AB ? y AD得 ????? ???? ??? ???? ? ???? 2 ,∴ ?30 ? 16 x ? 25 y ? ? ? AC ? AD ? xAB ? AD ? y AD

∴ cos ?BAD ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

解得: x ?

40 50 . ,y? 63 63

本题第(2)小题也可用坐标法完成. 18.解:f (x)= a ? b -2 ? ︱ a + b ︱=cos2x-2 ? (2cosx)=2cos2x-4 ? cosx-1 =2(cosx- ? )2-2 ? 2-1, 若 ? <0,当 cosx=0 时,f (x)取得最小值-1,不合题意; 若 ? >1,当 cosx=1 时,f (x)取得最小值 1-4 ? ,由题意有 1-4 ? =-7,得 ? =2; 若 0≤ ? ≤1,当 cosx= ? 时,f (x)取得最小值-2 ? 2-1,由题意有-2 ? 2-1=-7, 得 ? =± 3 (舍去).综上所述: ? =2. 19.解: (1)∵ BP ? CQ ? AP ? CB ? ( AP ? AB) ? ( AQ ? AC ) ? AP ? ( AB ? AC ) , = ( AP ? AB) ? (? AP ? AC ) ? AP ? ( AB ? AC ) ? ? AP ? AB ? AC ∵ AB ? AC ? AB AC cos ?ABC ? 2 , AP ? AP ? 1 , ∴ BP ? CQ ? AP ? CB ? ? AP ? AB ? AC ? 1 , B Q A?B ? 即 PC? PC (2)∵ BP ? CQ ? AP ? CB ? 1 ,∴ BP ? CQ ? 1 ? AP ? CB . 又∵ AP ? CB ? AP CB cos ? AP, CB ? , ∴ AP ? CB ? AP CB ? 2 (当且仅当 AP 与 CB 同向 时等号成立) .∴ BP ? CQ 的最大值为 3. 20. (1) ∵ An?1 An ? 3 An An?1 , ? An An?1 ?
??? ??? ? ?
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ???? ? ??? ???? ?
??? 2 ? ??? 2 ?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

??? ??? ? ?

???? ????

??? ??? ???? ? ?

??? ??? ? ?

??? ???? ?

??? ??? ???? ? ?

??? 2 ?

??? ???? ?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

??? 2 ?

??? ???? ?

??? ?? ? ? ? ??

的值不会随点 P 的变化而变化.

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

1 An?1 An , 3

????? 1 ????? ? ? 1 ????? ? 1 ????? 1 ???? ???? 1 ? ∴ A4 A5 ? A3 A4 ? ( )2 A2 A3 ? ( )3 A1 A2 ? (OA2 ? OA1 ) ? j . 3 3 3 27 3 ??????? ????? 1 1 (2)∵ An An ?1 ? n ?1 A1 A2 ? n?3 j (n ? 3), 3 3

5-10

1 29 ? ( ) n ? 4 ???? ???? ????? ? ??????? 1 3 j, ∴ OAn ? OA1 ? A1 A2 ? ? An ?1 An ? j ? 9 j ? 3 j ? ? ? n ? 4 j ? 3 2 ??????? ??????? 又∵ Bn ?1 Bn ? 2 2, 由条件得 Bn ?1 Bn ? 2i ? 2 j ,

???? ???? ????? ? ? ??????? ∴ OBn ? OB1 ? B1 B2 ? ? ? Bn ?1 Bn ? 3i ? 3 j ? (n ? 1)(2i ? 2 j ) ? (2n ? 1)i ?(2n ? 1) j .

(3) 记四边形 An An+1 Bn+1 Bn 面积为 Sn, An An?1 ? ∵

1 且△An An+1 Bn+1 中边 An An+1 上的 3 n ?3

高为 h1=2n+3, n Bn Bn+1 中 Bn Bn?1 △A

1 29 ? ( ) n?4 3 点 , ? 2 2 , An 到边 Bn Bn+1 的距离为 h2= 2 2

1 29 ? ( ) n ?4 1 1 1 29 n 3 则 S n ? ? (2n ? 3) ? n ?3 ? ? 2 2 ? ? ? n ?3 . 2 2 2 3 3 2 2
而 S n ? S n?1 ?

? 2n ? 3 ? 0(n ? 2), 3 n ?3
∴ S max ? S1 ?

∴ S1 ? S 2 ? S 3 ? S 4 ? ? ? S n ? ?,

47 . 2

5-11


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