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空间向量的线性运算导学案


空间向量的线性运算导学案
课前预习
一、有关平面向量的一些知识: 1.什么叫做向量?向量是怎样表示的呢?

2. 向量的加减以及数乘向量运算:

3. 向量的运算运算律:

二、空间向量的基本概念 1. 空间向量: 2. 相等向量: 3. 零向量: 4. 向量的模: 5. 相等向量: 三、空间向量的加法、减法、数乘运算

四、空间向量与平面向量的关系

1

课后拓展
1.在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若

A1 B = a ,A1 D1 = b ,A1 A = c .则下列向量中与 B1 M 相等的向
量是( )

1 1 a? b?c 2 2 1 1 C. a ? b ? c 2 2
A. ?

1 1 a? b?c 2 2 1 1 D. ? a ? b ? c 2 2
B.



OB OC ? c ,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA, 2.已知空间四边形 ABCD 中,OA ? a, ? b,
N 为 BC 中点,则 MN = ( )

1 2 1 a? b? c 2 3 2 1 1 1 C. a ? b ? c 2 2 2
A.

2 1 1 a? b? c 3 2 2 2 2 1 D. a ? b ? c 3 3 2
B. ?

3.已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB、AC,M、N 分别是对边 OA、BC 的中点, 点 G 在线段 MN 上,且 MG ? 2GN ,现用基组 OA, OB, OC 表示向量 OG ,有

?

?

OG =x OA ? yOB ? zOC ,则 x、y、z 的值分别为



4 . 已 知 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , 点 E 为 底 面 A1C1 的 中 心 , 若

??? ???? ??? ? ? ???? AE ? AA1 ? x AB ? y AD ,则 x,y 的值分别为(
A.1,1 B.

) D.

1 1 , 2 4 ???? ??? ? ???? AB AC 5.在空间平移 △ABC 到 △ A1 B1C1 ,连结对应顶点,设 AA1 ? a, ? b, ? c , M 是
C.

1 ,1 2

1 1 , 2 2

???? ? BC1 中点, N 是 B1C1 的中点,则 AM ?

, AN ?

????



2

课内探究
一、基础知识
1、 空间向量的基本概念

2、

空间向量的加法、减法、数乘运算

3、

空间向量的线性运算的运算律

二、应用举例 例 1:已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
??? ??? ? ? (1) AB ? BC ??? ???? ???? ? (2) AB ? AD ? AA1 ? 1 ??? ???? ???? (3) ( AB ? AD ? AA1 ) 3 ??? ???? 1 ???? ? ? (4) AB ? AD ? CC1 2
D' A' G C B' C'

M

D

A

B

3

例 2 已知空间四边形 ABCD ,连结 AC , BD ,设 M , G 分别是 BC , CD 的中点,化简下 列各表达式,并标出化简结果向量: (1) AB ? BC ? CD ; (2) AB ?

??? ??? ??? ? ? ?

??? 1 ??? ??? ? ? ? ???? 1 ??? ???? ? (3) AG ? ( AB ? AC ) . ( BD ? BC ) ; 2 2

A

B M C G

D

三、课堂练习
1.空间四边形 OABC 中, M,N 分别是 OA BC 的中点,点 G 在线段 MN 上,且 ,

???? ??? ? ??? ? ???? MG ? 2GN ,设 OG ? xOA ? yOB ? zOC ,则(



1 1 1 3 3 3 1 1 1 B. x ? ,y ? ,z ? 3 3 6 1 1 1 C. x ? ,y ? ,z ? 3 6 3 1 1 1 D. x ? ,y ? ,z ? 6 3 3
A. x ? ,y ? ,z ? 2、已知空间四边形 ABCD 中,如 E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、 DA 边上的中点,则下列各式中成立的是

??? ??? ???? ???? ? ? A、 + BF + EH +GH ? 0 EB ??? ??? ???? ??? ? ? ? B、 + FC + EH +GE ? 0 EB ??? ??? ???? ???? ? ? C、 + FG + EH +GH ? 0 EF ??? ??? ??? ???? ? ? ? D、 ? FB +CG +GH ? 0 EF
???? ??? ???? ? ?

3、 已知空间四边形 ABCD, 连接 ACBD, MG 分别是 BCCD 的中点, MG ? AB + AD 设 则 等于

? 3 ??? A、 DB 2

???? ? B、MG 3

???? ? C、GM 3
4

???? ? D、MG 2

4.如图,在空间四边形 ABCD 中, E , F 分别 是 AD 与 BC 的中点, 求证: EF ?

A E

??? ?

? 1 ??? ???? ( AB ? DC ) . 2
B F C

D

5.已知 2 x ? 3 y ? ?3a ? b ? 4c , ?3x ? y ? 8a ? 5b ? c ,把向量 x, y 用向量 a , b , c 表示.

?

?

? ?

?

? ?

?

? ?

? ?

? ? ?

6.如图,在平行六面体 ABCD ? A?B?C?D? 中,设 AB ? a , AD ? b , AA? ? c , E , F 分 别是 AD?, BD 中点,

??? ?

?

????

? ????

?

???? ??? ? ? ? ? ? ??? ???? ??? ????? ???? ? ? ? (2)化简: AB ? BB? ? BC ? C ?D? ? 2D?E ;
(1)用向量 a , b , c 表示 D?B, EF ;

D' A' E C F A B B'

C'

D

5


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