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2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义


2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
一、教学分析
前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些 几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运 算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量 关系的基本量.我们需要一

个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知, 向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力 F 的作用 下产生位移 s(如图 1),那么力 F 所做的功

图1 W=|F||s|cosθ 功 W 是一个数量,其 中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量 F,s 有关.熟悉的数的运 算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义 a· b=|a||b|cosθ. 这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它 来更加简洁地表述几何中的许多结果. 向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的 物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.

二、教学目标
1、知识与技能: 掌握平面向量的数量积及其几何意义; 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 了解 用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;掌握向量垂直的条件。 2、过程与方法: 通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义;体会平面向量的 数量积与向量投影的关系。 3、情感态度与价值观: 通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积,培养学生的抽象概括能力。

三、重点难点
教学重点:平面向量数量积的定义. 教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.

四、教学设想 (一)导入新课
思路 1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、 速度、 位移以及几何中的有向线 段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学 、运动学等有着天然的联系, 将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决 物理许多问题的有利工具 ,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象 ,研究相关物理问题 ,

可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量, 这些物理现象都可以用向量来研究. 在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s,那么力 F 所 做的功 W 可由下式计算: W=|F||s|cosθ 其中 θ 是 F 与 s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念. 思路 2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差 仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地 会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢?如果能,其运算结果是什么呢?
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(二)推进新课、新知探究、提 出问题
①a· b 的运算结果是向量还是数量?它的名称是什么? ②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运 算,它是否满足实数的乘法运算律? ③我们知道,对任意 a,b∈R,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.对任意向量 a、b,是否 也有下面类似的结论? (1)(a+b)2=a2+2a· b+b2; (2)(a+b)· (a-b)=a2-b2. 活动:已知两个非零向量 a 与 b,我们把数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a· b,即 a· b=|a||b|cosθ(0≤θ≤π). 其中 θ 是 a 与 b 的夹角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影.如 图 2 为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是 0°≤θ≤180°.

图2 在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意: (1)两个非零向量的数量积是个数量 ,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的 余弦的乘积; (2)零向量与任一向量的数量积为 0,即 a· 0=0; (3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替; (4)当 0≤θ<

? ? 时 cosθ>0,从而 a· b>0;当 <θ≤π 时,cosθ<0,从而 a· b<0.与学生共同探究并证 2 2

明数量积的运算律. 已知 a,b,c 和实数 λ,则向量的数量积 满足下列运算律: ①a· b=b· a(交换律); ②(λa)· b=λ(a· b)=a·(λb)(数乘结合律); ③(a+b)· c=a· c+b· c(分配律). 特别是:(1)当 a≠0 时,由 a· b=0 不能推出 b 一定是零向量.这是因为任一与 a 垂直的非零向 量 b,都有 a· b=0.

图3 (2)已知实数 a、b、c(b≠0),则 ab=bc ? a=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即 a· b=b· c 不能推出 a=c. 由图 3 很容易看出,虽然 a· b=b· c,但 a≠c. (3)对于实数 a、b、c 有(a· b)c=a(b· c);但对于 向量 a、b、c,(a· b)c=a(b· c)不成立.这是因为 (a· b)c 表示一个与 c 共线的向量,而 a(b· c)表示一个与 a 共线的向量,而 c 与 a 不一定共线,所 以(a· b)c=a(b· c)不成立. 讨论结果:①是数量,叫数量积. ②数量积满足 a· b=b· a(交换律); (λa)· b=λ(a· b)=a·(λb)(数乘结合律); (a+b)· c=a· c+b· c(分配律). 2 ③(1)(a+b) =(a+b)· (a+b) =a· b+a· b+b· a+b· b=a2+2a· b+b2; (2)(a+b)· (a-b)=a· a-a· b+ b· a-b· b=a2-b2. 提出问题 ①如何理解向量的投影与数量积?它们与向量之间有什么关系? ②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗? 活动 :教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的 定义,从数与形两个角度进行探索研究 .教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影” 的概念,如图 4.

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图4 ? 定义:|b|cosθ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影.并引导学生思考: 1° 投影也是一个数量,不是向量; 2° 当 θ 为锐角时投影为正值;当 θ 为钝角时投影为负值;当 θ 为直角时投影为 0;当 θ=0 ° 时投影为|b|;当 θ=180°时投影为-|b|. 教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义: 数量积 a· b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cosθ 的乘积. 让学生思考:这个投影值可正、 可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实 数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1° e· a=a· e=|a|cosθ. 2° a⊥b ? a· b=0. 3° 当 a 与 b 同向时,a· b=|a||b|;当 a 与 b 反向时,a· b=-|a||b|. 特别地 a· a=|a|2 或|a|= a ? a . 4°cosθ=

a?b . | a || b |

5° |a· b|≤|a||b|. 上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导 过程中理解并记忆这些性质. 讨论结果:①略(见活动). ②向量的数量积的几何意义为数量积 a· b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cosθ 的乘 积.

(三)应用示例
思路 1 例 1 已 知 平 面 上 三 点 A 、 B 、 C 满 足 | AB |=2,| BC |=1, | CA |=

3 ,求

AB · BC + BC · CA + CA AB 的值.
活动 :教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解 ,先分析题设然后找 到所需条件.因为已知 AB 、 BC 、 CA 的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之 间的夹角.结合勾股定理可以注意到△ A BC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果. 解:由已知,| BC |2+| CA |2=| AB |2,所以△ ABC 是直角三角形.而且∠ACB=90° , 从而 sin∠ABC=

1 3 ,sin∠BAC= . 2 2

∴∠ABC=60° ,∠BAC=30° . ∴ AB 与 BC 的夹角为 120° , BC 与 CA 的夹角为 90° , CA 与 AB 的夹角为 150° . 故 AB · BC + BC · CA + CA ·AB =2× 1× cos120° +1× 3 cos90° + 3× 2cos150° =-4. 点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是 简单地看成两条线段的夹角,如例题中 AB 与 BC 的夹角是 120° ,而不是 60° .? 变式训练 已知|a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹角为 60° ,求(a+2b)· (a-3b).? 解:(a+2b)· (a-3b)=a· a-a· b-6b· b 2 2 =|a| -a· b-6|b| 2 =|a| -|a||b|cosθ-6|b|2 =62-6× 4× cos60° -6× 42 =-72. 例 2 已知|a|=3,|b|=4,且 a 与 b 不共线,当 k 为何值时,向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直? 解:a+kb 与 a-kb 互相垂直的条件是(a+kb)· (a-kb)=0,

即 a2-k2b2=0. ∵a2=32=9,b2=42 =16, ∴9-16k2=0. ∴k=± . 也就是说,当 k=± 时,a+kb 与 a-kb 互相垂直. 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件. 变式训练 已知向量 a、b 满足:a2=9,a· b=-12,求|b|的取值范围. 解:∵|a|2=a2=9, ∴|a|=3. 又∵a· b=-12, ∴|a· b|=12. ∵|a· b|≤|a||b|, ∴12≤3|b|,|b|≥4. 故|b|的取值范围是[4,+∞). 思路 2 例 1 已知在四边形 ABCD 中, ABCD 的形状如何? 解:∵ AB + BC + CD + DA =0, 即 a+b+c+d=0, ∴a+b=-(c+d). 由上可得(a+b)2=(c+d)2, 即 a2+2a· b+b2=c2+2c· d+d2. 又∵a· b=c· d,故 a2+b2=c2+d2. 同理可得 a2+d2=b2+c2. 由上两式可得 a2=c2,且 b2=d2, 即|a|=|c|,且|b|=|d|,也即 AB=CD,且 BC=DA, ∴ABCD 是平行四边形.
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3 4

3 4

AB =a, BC =b, CD =c, DA =d,且 a· b=c· d=b· c=d· a,试问四边形

故 AB = ? CD ,即 a=-c. 又 a· b=b· c=-a· b, 即 a· b=0,∴a⊥b,即 AB ⊥ BC . 综上所述,ABCD 是矩形. 点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题 ,然后 结合四边形的特点进而判断四边形的形状.
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例 2 已知 a,b 是两个非零向量,且|a|-|b|=|a+b|,求向量 b 与 a-b 的夹角. 活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以 a,b 为邻边的

ABCD,若

,b 与 DB 所成角是 150° . AB =a, CB =b,则 CA =a+b, DB =a-b.由|a|-|b|=|a+b|,可知∠ABC=60° 我们还可以利用数量积的运算,得出向量 b 与 a-b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采 用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由 cos〈b,a-b〉= 切入点,进行求解. 解:∵|b|=|a+b|,|b|=|a|,∴b2=(a+b)2. ∴|b|2=|a|2+2a· b+|b|2. ∴a· b=-

b ? ( a ? b) 作为 | b || a ? b |

1 2 |b| . 2


1 2 2 3 |b| -|b| = ? |b|2, 2 2 1 由(a-b)2=a2-2a· b+b2=|b|2-2× ( ? )|b|2+|b|2=3|b|2, 2
而 b· (a-b)=b· a-b2= ? 而|a-b|2=(a-b)2=3|b|2, ∴|a-b|=3|b|. ∵cos〈b,a-b〉=

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b ? ( a ? b) , | b || a ? b |
3 | b |2 3 . ?? 2 |b|? 3|b| 2

代入①②,得 cos〈b,a-b〉 =又∵〈b,a-b〉∈[0,π], ∴〈b,a-b〉=

5? . 6

点评 :本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题 ,解完后教师及时引导学 生对本解法进行反思、总结、体会. 变式训练 设向量 c=ma+nb(m,n∈R),已知|a|=2 2 ,|c|=4,a⊥c,b· c=-4,且 b 与 c 的夹角为 120° ,求 m,n 的值. 解:∵a⊥c,∴a· c=0. 又 c=ma+nb,∴c· c=(ma+nb)· c, 2 2 即|c| =ma· c+nb· c.∴|c| =nb· c. 2 由已知|c| =16,b· c=-4, ∴16=-4n.∴n=-4. 从而 c=ma-4b. ∵b· c=|b||c|cos120° =-4, ∴|b|· 4· (?

1 )=-4.∴|b|=2. 2
① ②

由 c=ma-4b,得 a· c=ma2-4a· b, ∴8m-4a· b=0,即 a· b=2m. 再由 c=ma-4b,得 b· c=ma· b-4b2. ∴ma· b-16=-4,即 ma· b=12.

联立①②得 2m2=12,即 m2=6. ∴m=± 6 .故 m=± 6 ,n=-4.

(四)课堂小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量 积的运算律. 2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在 领悟数学思 想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.

(五)作业


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