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高中数学第22讲(必修3)随机事件的概率、古典概型与几何概型


第22讲
随机事件的概率、古典概型与几何概型

1.了解随机事件发生的不确定性和频率 的稳定性. 2.了解概率的意义和概率与频率的区别. 3.掌握古典概型及其概率计算公式. 4.了解几何概型的意义及概率的计算方 法,能计算简单的几何概型的概率. 5.了解随机数的意义,能运用模拟方法 估计概率.

1.下列说法中正确的是( C

) ①频数和频率都能反映一个对象在试验中出现 的频繁程度; ②每个试验结果出现的频数之和等于试验的样 本总数; ③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1; ④概率就是频率. A.① B.①②④ C.①② D.③④

2.下列试验是古典概型的有( A )

A.从装有大小相同的红、绿、白色各一球 的袋子中任意取出一球,观察球的颜色 B.在适宜的条件下种下一粒种子,观察它 是否发芽 C.连续抛掷两枚硬币,观察出现正面、反 面、一正面一反面的次数 D.从一组直径为(100±0.2)mm的零件中取 出一个测量它的直径
选项B中,不发芽与发芽的两个结果出 现的概率不相等;选项D中,基本事件有无数个, 故选A.

3.掷两颗骰子,事件“点数之和为6” 的概率为( ) C A.
1 11

B.

1 9

5 C. 36

D.

1 6

掷两颗骰子,每颗骰子可能有6种结果, 所以共有6×6=36(种)结果,即基本事件 数为36;事件“点数之和为6”包括的基本事 件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2), 5 (5,1)共5个,则P= 36 ,故选C.

4.在区间[1,3]上任取一数,则这个数大于 1.5的概率为( D ) A.0.25 B.0.5

C.0.6
P=

D.0.75
3 ? 1.5 3 ?1

=

1.5 2

=0.75.

5.把[0,1]内的均匀随机数a1转化为[-2,6] 内的均匀随机数a,需要实施的变换为( C ) A.a=a1*8 C.a=(a1-0.25)*8 B.a=(a1+0.25)*8 D.a=a1*6

由a=(a1-0.25)*8,a1∈[0,1],得 a∈[-2,6],故选C.

6.如右图所示,在一个边长为2 cm 的正方形内随机投一点,则该点 ? 落入内切圆内的概率为 .
4

事件发生的总区域为正方形的 面积,S正方形=22=4;记“所投的点落 在圆内”为事件A,S 圆 =π·2=π,得P 1 ? (A)= .
4

1.事件 (1)必然事件:在条件S下,① 一定会发生 的事件 称为相对于条件S的必然事件. (2)不可能事件:在条件S下,② 一定不会发生的 事件称为相对于条件S的不可能事件. (3) 随 机 事 件 : 在 条 件 S 下 , ③ 可能发生也可能不发生 .的事件称为相对于条 件S的随机事件.

2.随机试验 如果试验满足下列三个特性:(1)可以在相 同的条件下重复进行;(2)每次试验的结果具有 多种可能性,试验前可以明确知道所有的可能 结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结 果会出现,则称该试验为随机试验. 3.频率和概率 (1)频数与频率:在相同的条件下重复n次 试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中 事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事 件A出现的比例④ n A 为事件A出现的频率.
n

(2)概率:在相同的条件下,大量重复进 行同一试验时,随机事件A发生的频率会在 某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频 率具有稳定性.这时,把这个常数叫做随机 P(A) 事件A的概率,记作⑤ . 4.随机事件的概率
任何事件的概率是⑥ 0到1 之间的一个数, 它度量该事件发生的可能性.小概率(接近0) 事件很少发生,而大概率(接近1)事件则 经常发生.

5.基本事件 基本事件是试验中不能再分的最简单 的随机事件,每次试验只出现其中的一个 基本事件,其他事件可以用它们来表示. 6.古典概型

把具有下列两个特征的随机试验的数 学模型称为古典概型:
(1)试验的所有可能结果(基本事件)只有 有限个,每次试验只出现其中的一个结果;

(2)每一个试验结果出现的可能性⑦ 相同 . 7.古典概型的概率计算公式

对于古典概型,若试验的所有基本事件 数为n,随机事件A包含的基本事件数为m, m 则事件A的概率为⑧ P(A)= . n 8.模拟方法
可以向一个图形中撒芝麻,通过计算芝 麻数计算一些面积、长度、体积等的概率; 也可以用随机数表模拟一些事件概率的求法.

9.几何概型 如果事件A发生的概率只与构成该事件 区域的长度(面积、体积)成比例,则称 这样的概率模型为几何概型.

10.几何概型的两个特点 一是⑨ 无限性 ,即每次试验的基本事件 个数可以是无限的;二是⑩ 等可能性 ,即每 个基本事件的发生是等可能的.

11.几何概型的概率计算公式 P(A)= 11
构成事件A的区域长度(面积或体积) . 试验全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

12.随机数的含义

随机数就是在一定范围内随机产生的数, 并且得到这个范围内的每一个数的机会一样.

典例精讲
题型一 必然事件、不可能事件、随机事件的概念

例1 指出下列事件是必然事件、不可能事件
还是随机事件? (1)从分别标有号数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张 号签中任选一张,得到4号签; (2)当a>1时,函数y=ax在定义域R上是增函数; (3)当0<a<1时,函数y=ax在定义域R上是增函数; (4)若a、b∈R,则a+b=b+a.

分析 准确掌握随机事件、必然事件、不
可能事件的概念是判断事件性质的关键. (1)取到4号签,可能发生,也可能不 发生,故此事件是随机事件. (2)当a>1时,函数y=ax在定义域R上一定是增 函数,故此事件是必然事件. (3)当0<a<1时,函数y=ax在定义域R上一定不 是增函数,故此事件是不可能事件. (4)对任意两个实数,满足加法的交换律,故 此事件是必然事件.

点评 对于(1),从10张号签中任取一张,
能取到哪一张号签是不能事先预测的; 对于(2)与(3),其条件不同,显 然事件的性质不同,即条件改变,事件 的性质也可能发生变化,但有时候事件 的性质不一定发生变化,如把(2)的 条件改为“a>2”,其事件的性质是不会 发生变化的.

题型二 随机事件的概率

例2 (1)某人有甲、乙两只电子密码箱,
欲存放A、B、C三份不同的重要文件, 3 则两个密码箱都不空的概率是 .
4

分析 直接列举容易造成混乱,因
此考虑借助图表来列举.

A、B、C三份文件放入甲、乙两个密码 箱所有的结果如下表所示:
C 甲密 A,B, A,B A A,C B,C B 空 码箱 C C B,C B A A,C A,B A,B, 乙密 空 C 码箱

共有8种不同的结果,其中两个密码箱都不空(记 6 3 为事件A)的结果共有6种,所以P(A)= = .
8 4

点评 借助表格,不但直观形象、简便易
行,而且不重不漏.

(2)已知|p|≤3,|q|≤3,当p、q∈Z时,则方程 x2+2px-q2+1=0有两个相异实数根的概 率是 44 .
49

分析 根据一元二次方程有实数根的条
件找出p、q的约束条件,作出图形和网 格线,利用网格中的结点来列举.

由方程x2+2px-q2+1=0的两个相异根都 是实数,可得Δ=(2p)2-4(-q2+1)>0,即p2+q2>1. 当p、q∈Z时,设点M(p,q),如图,直线 x=-3,-2,-1,0,1,2,3和直 线y=-3,-2,-1,0,1,2,3 的交点,即为点M, 共有49个,其中在圆 p2+q2=1上和圆p2+q2=1 内的共有5个(图中黑点).

当 点 M(p,q) 落 在 圆 p2+q2=1 外 时 , 方 程 x2+2px-q2+1=0有两个相异实数根.

所以方程x2+2px-q2+1=0有两个相异实数根
的概率P=
49 ? 5 49

=

44 49

.

点评 这里把方程根的问题转化为研究
坐标系中的点的问题,利用图象解题更 加直观形象.

题型三 古典概型与几何概型

例3 (1)假设车站每隔10分钟发一班车,若
某乘客随机到达车站,求其等车时间不超过 3分钟的概率. 要使得等车的时间不超过3分钟,即 到达的时刻应该是下图中A包含的时间点.
3 A的长度 故P= 乘客随机地到达,即在这个长度是10 = =0.3. 点评 10 S的长度

的区间[0,10]里,任何一个点都是等可 能发生的,符合长度型几何概型问题.

(2)如图,在一个边长为a(a>0)的正方形内
a 画一个半圆,其半径为r(0<r≤ 2 ),向该

正方形内随机投一点,求所投的点落在

半圆内部的概率.

1 2 ? r2 因为S正方形=a2,S半圆= πr = , 2 2 2 ?r ? r2 . 所以P(A)= 2 = 2 a 2a

记A={所投的点落在半圆内部}.

故所投的点落在半圆内部的概率是

? r2
2a
2

.

点评 所求概率问题转化为求半圆面积
与正方形面积之比的问题,符合面积型 几何概型问题.

方法提炼
1.利用古典概型的概率公式求概率时, 关键是求出基本事件的总个数和事件A包 含的基本事件数. 用列举法把基本事件一一列举出来, 是一个形象、直观的好方法,但列举时必 须按某一顺序做到不重复、不遗漏. 可用集合的观点来 探求事件A的概率,如 下图所示.

注意基本事件的两个特点:(1)任 何两个基本事件是互斥的;(2)任何基 本事件都可以表示成基本事件的和. 2.对于几何概型的应用题,关键是构造 出随机事件A对应的几何图形,利用几何 图形的度量来求随机事件的概率,根据实 际问题的具体情况,合理设置参数,建立 适当的坐标系.在此基础上将试验的每一个 结果一一对应于该坐标系的一点,便可构 选出度量区域.

古典概型与几何概型的联系与区别,就 是古典概型与几何概型中基本事件发生的可 能性都是相等的,但古典概型要求基本事件有 有限个,而几何概型则是无限个. 3.必然事件、不可能事件、随机事件是 在一定条件下发生的,当条件变化时,事件 的性质也发生变化. 4.正确理解“频率”与“概率”之间的 关系.概率可看作频率在理论上的期望值,它 从数量上反映了随机事件发生的可能性的大 小.频率在大量重复试验的前提下可近似地作 为这个事件的概率.

课后再做好复习巩固.
谢谢!

再见!
王新敞 特级教师 源头学子小屋
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新疆奎屯
·2007·

王新敞
奎屯

新疆


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