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2.1.2 不等式的基本性质 【杨高】


第二章 不等式

2.1.1 不等式的基本性质

2.1.2 不等式的基本性质

例 已知非零实数 a , b 满足 a ? b , 3 3 试比较 a 与 b 的大小. 解法一: ab ? 0 因此把 a ? b 细分为 a ? b ? 0, a ? 0 ? b , 0 ? a ? b 三种情形 ①a?b?0? a

?b
3 3

② a ? 0 ? b ? a ? 0, b ? 0 ? a ? b
3 3
3

3

③ 0 ? a ? b ? ?b ? ? a ? 0 ? (?b) ? (? a )
3

3

? ?b ? ? a ? a ? b
3 3

3

3

综上,总有 a 3 ? b 3

例 已知非零实数 a , b 满足 a ? b , 3 3 试比较 a 与 b 的大小. 解法二: 3 ? b 3 ? ( a ? b )( a 2 ? ab ? b 2 ) a
? ( a ? b )( a ? a b ?
2

b

2

?
2

3 4

b )

2

? ( a ? b )[( a ?

b 2

) ?
2

4 3

b ]

( a ? b ) ? ab
2

4

这样配方行吗?

显然 a ?

b 2

? 0, b ? 0 不可能同时成立 b 2 ) ?
2

因此 ( a ?

3 4

b ?0
2

即a ? b
3

3

一、作差比较实数或代数式的大小 例1. 根据已知条件比较下列两个数的大小. (1) x 2 ? 1 与 x (2) a 2 ? b 2 与 2 a ? 2 b ? 2

(3) a ? 1, b ? 1, ab ? 1 与 a ? b
(4) a , b ? 0, a ? b 与 a b ? a b
5 5
3 2 2 3

(5) a ? 0,

1 1? a

与 1 ? a (6) a b ? 0, a ? b ,
a ?b
2 2 2

1 a



1 b

(7) a ? b ? 0,

a ?b
2



a?b a?b

例1. 根据已知条件比较下列两个数的大小. (1) x 2 ? 1 与 x 解:x ? 1 ? x ? ( x ?
2

1

) ?
2

3

?0

? x ?1 ? x
2

2 4 (2) a 2 ? b 2 与 2 a ? 2 b ? 2

解: 2 ? b 2 ? 2 a ? 2 b ? 2 ? ( a ? 1) 2 ? ( b ? 1) 2 ? 0 a
a 当 a ? b ? 1 时, ? b ? 2 a ? 2 b ? 2
2 2

a 当 a ? 1 或 b ? 1 时, ? b ? 2 a ? 2 b ? 2
2 2

配方法是比较大小中常用的变形方法

例1. 根据已知条件比较下列两个数的大小. (3) a ? 1, b ? 1, ab ? 1 与 a ? b 解: b ? 1 ? ( a ? b ) ? ( a ? 1)( b ? 1) ? 0 a
? ab ? 1 ? a ? b

(4) a , b ? 0, a ? b 与 a b ? a b 5 5 3 2 2 3 解:a ? b ? a b ? a b ? ( a 3 ? b 3 )( a 2 ? b 2 )
5 5
3 2 2 3

? ( a ? b ) ( a ? b )( a ? ab ? b )
2 2 2

a 当 a ? b 时, ? b ? a b ? a b
5 5 3 2 2

3 3

a 当 a ? b 时, ? b ? a b ? a b
5 5 3 2 2

要熟练掌握因式分解

例1. 根据已知条件比较下列两个数的大小. (5) a ? 0,
1 1? a

与1 ? a
a
2

解:

1

1? a

? (1 ? a ) ? 1

1? a
? 1? a ? 1? a

当 a ? ? 1 时,

当 a ? ? 1 时,

1? a 1 1? a

注意: 一般出现的表达式 必有意义,本题中
a ? ?1

例1. 根据已知条件比较下列两个数的大小. (6) a b ? 0, a ? b ,
1 a



1 b

解: ?
a

1

1 b

?

b?a ab

,显然 b ? a ? 0
1 a 1 b 1 b

当 a , b 同号,即 ab ? 0 时, ? 当 a , b 异号,即 ab ? 0 时, ?
a 1

分式比大小,通分后化简是基本方法

例1. 根据已知条件比较下列两个数的大小. (7) a ? b ? 0,
a ?b
2 2 2

a ?b
2



a?b a?b
a ?b
2 2 2

解:由不等式正数的平方性质,可以平方后作差
(
?
?

a ?b
2

2 2

a ?b
2

) ?(
2

a?b a?b
2

) ?

2

a ?b
2

?

a?b a?b

a ? b ? (a ? b)
2 2

a ?b
2

2

?

?2ab ( a ? b )( a ? b )

? 0

a ?b
2

2 2

a ?b
2

?

a?b a?b

二、含参数的一元一次不等式 例2.解关于 x 的不等式 m ( x ? 2 ) ? x ? m

解: m ? 1) x ? ? m (
0 当 m ? 1 时, ? x ? ? 1 因此 x ? R
m m ?1 m m ?1

当 m ? 1 时,x ? ?
当 m ? 1 时,x ? ?

解毕

思考 请说出 a x ? b 的解集

(选用)三、不等式解集的区间表示(自学书P33) 不等式的解集经常用区间表示 当 a , b ? R ,且 a ? b 时,规定:
{ x | a ? x ? b } 写为 [ a , b ] { x | a ? x ? b } 写为 ( a , b ) { x | a ? x ? b } 写为 ( a , b ]

闭区间 开区间

半开半闭区间

{ x | x ? a } 写为 ( a , ? ? ) 开区间 { x | x ? b } 写为 ( ? ? , b ) 开区间

(选用)例3.把下列不等式(组)的解集符合条件的用 区间表示: (1) ? 2 ? 2 x ? 6
x ? ( ? 1, 3]

(2) x ? 2 ? 3
x ? (1, ? ? )

(3) 3 x ? 1 ? 3
x ? (?? , 2 3 ]

(4) | x |? 1
x ? ( ?? , ? 1) ? (1, ?? )

(5) 2 x ? 4 或 2 x ? 0
x ? {0} ? [ 2 , ? ? )

(6) x 2 ? 0
x ? ( ?? , 0) ? (0, ?? )


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