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甘肃省天水一中2009届高三数学普通高校招生网上阅卷模拟考试(理)


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2009 年普通高校招生网上阅卷模拟考试试题 理 科 数 学

注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答

案标号涂黑。如需改动用 橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号, 非选择题用黑色墨水的签字笔或铅笔直接答在答题卡 上。答在试题上无效。 3.考试结束后,监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的 概
k 率 Pn(k)= Cn P k (1 ? P) n?k

一、选择题:本大题共 12 小题,每小 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.若 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ? 1, 则f (i) = A. 2i B.0 ( )

C.— 2i D.—2 3 ? 2.已知 cos ? ? ? , a ? ( , ? ) ,则 tanα 等于 5 2 3 3 4 4 A. B. ? C. D. ? 4 3 4 3 ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? 3.在 △ ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD ?









2 1 5 2 2 1 b? c B. c ? b C. b ? c 3 3 3 3 3 3 4.函数 f ( x) ? ln | x ? 1| 的单调递减区间为 A. ?1,??? B. (1,??) C.(0,1)
A.

D. b ? ( )

1 3

2 c 3

D. (??,1) ( )

1? ? 5. ? x 2 ? ? 的二项展开式中的常数项为 2x ? ?
3 15 C. 16 2 2 6.已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin x, x ? R ,则 f ( x ) 是
A. B. A.最小正周期为 ? 的偶函数 C.最小正周期为 ? 的奇函数 B. 最小正周期为

6

15 16

D.

15 4
( )

? 的奇函数 2 ? D. 最小正周期为 的偶函数 2

7.若 P 从点 O 出发,按逆时针方向沿周长为 l 的图形运动
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一周,O、P 两点连线的距离 y 与点 P 走过的路程 x 的 函数关系如图,那么点 P 所走的图形是 ( )

A

B

C

D

8..设 1+(1+x)2+(1+2x)2+(1+3x)2+…+(1+nx)2=a0+a1x+a2x2,则 lim ( ) B.

a0 的值是 n?? a 1

2

2 0 0 9. 已知直线 l 、m,平面α 、β ,则下列命题中假命题是 ( ) 8 A.若α ∥β , l ? α ,则 l ∥β 0 B.若α ∥β , l ⊥α ,则 l ⊥β 5 C.若 l ∥α ,m ? α ,则 l ∥m 0 D.若α ⊥β ,α ? β = l ,m ? α ,m⊥ l ,则 m⊥β 8 10.从 1,2,3,4 中选择数字,组成首位数字为 1,有且只有两个位数上数字相同的四位 数,这样的四位数的个数共有 ( ) A.27 B.36 C.45 D.54 A.0

1 2

C.2

D.1

11.已知函数 f ( x) ? a log 2 x ? b log 3 x ? 2, 且f ( A.2
2

1 ) ? 4, 则f (2008 ) 的值为 2008
D.—4





B.0

C.—2

12.设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,过点 M (?1, 0) 的直线在第一象限交抛物线与 A、B , 使 AF ? BF ? 0 ,则直线 AB 的斜率 k ? A. ? B. ?

???? ??? ?

( C. ? 3 D. ? 3



2

2 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上。 13.在等比数列 {an } , 若a5 ? a1 ? 15, a4 ? a2 ? 6, 且公比q ? 1, 则q = 中 14.不等式 。

1 2 ? 1 ? 的解集为 x x
2 2



15.若圆 C : ( x ? a) ? ( y ?1) ? 1(a为正常数)被y 轴截得弦所对圆心角为 a= 。

? ,则正实数 2

16.已知 f ( x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对任意 a, b ? R 满足下列关系式:

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f (a ? b) ? af (b) ? bf (a), f (2) ? 2 , an ?

f (2n ) f (2n ) (n ? N ? ) , bn ? (n ? N ? ) ,考察 n n 2

下列结论:① f (0) ? f (1) ② f ( x) 为偶函数 ③数列 ?an ? 为等比数列 ④数列 ?bn ? 为等差 数列,其中正确的结论是:___________ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,边 a﹑b﹑c 的对角为 A﹑B﹑C;且 b ? 4, A ?

?
3

, 面积 s ? 2 3

sin 2 (
(1)求 a 边的长度; (2)求

A ? ? ) ? cos 2 B 4 4 的值 C C cot ? tan 2 2

18.(本小题满分 12 分) 如图,在边长为 a 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中 M、N、P、Q 分别为

AD, CD, BB1, C1D1 的中点。 (1)求点 P 到平面 MNQ 的距离; (2)求直线 PN 与平面 MPQ 所成角的正弦值.

19.(本小题满分 12 分) 某工厂在试验阶段大量生产一种零件。这种零件有 A 、 B 两项技术指标需要检测,设 5 各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为 ,至少一 12 11 项技术指标达标的概率为 .按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品. 12 (Ⅰ)求一个零件经过检测为合格品的概率是多少? (Ⅱ) 任意依次抽出 5 个零件进行检测, 求其中至多 3 个零件是合格品的概率是多少? (Ⅲ)任意依次抽取该种零件 4 个,设 ? 表示其中合格品的个数,求 E? 与 D? .

20.(本小题满分 12 分)

a ? 的前n项和, = ?Sn ,1? , b = ? 1,2an ? 2n?1 , a ? b 已知Sn为数列 an ?
(1)求证: ?

?

?

?

?

?

?

2 0 0 珠海培优家教 www.pyjjw.net 苏州思敏家教 www.dnzhijia.com 广州家教 www.dxc020.com 9 0 3 1

? an ? 为等差数列; n ? ?2 ?

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(2)若 bn ?

n ? 2011 a n ,问是否存在 n0 , 对于任意 k ( k ? N ? ),不等式 bk ? bn0 成立. n ?1

21.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ( x 2 ? a)e x (1)若 a=3,求 f(x)的单调区间和极值; (2)若 x1 , x2为f ( x)的两个不同的极值点, e x2 f ( x1 ) ? e x1 f ( x2 ) ? 4e x1 ? x2 x12 x2 ? x1 x2 2 , 且 若 3 f (a ) ? a ?
3

3 2 a ? 3a ? b 恒成立,求 实数b的取值范围 . 2

22.(本小题满分 12 分)

, 如图,已知点 F (1 0) ,直线 l : x ? ?1 , P 为平面上的动点,
过 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q ,且 QP ? QF ? FP ? FQ. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A,B 两点, 交直线 l 于点 M . (1)已知 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,求证: ?1 ? ?2 =0; (2)求 | MA | ? | MB | 的最小值.

l

y

F

?1 O

1

x

????

??? ?

????

??? ?

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理科数学参考答案
一、选择题 1—5 BDADA 6—12 ACDCB BB 二、填空题 13.2 14. {x | x ? 1} 三、17.解:在 ?ABC 中 15.

2 2

16.①③④

1 3 2 3 ? ? 4? c? 2 2 c?2 ???? 2 分 1 ???? 4 分 a ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 16 ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 ? ? 2 3 2

1 S ? bc sin A 2

a b ? sin A sin B

A ? ? ? ) ? cos 2 B sin 2 ? cos ? 3 1 1 4 4 3 (2) = ? ( ? 1) sin C ? ? ……..10 分 C C C C 4 2 16 cot ? tan cos sin 2 2 2 ? 2 C C sin cos 2 2 18.解: (1)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, M 、 N 、 P 、Q 分别为 AD 、 DC 、 BB1 、 C1D1 中点 ? PB / /QN 即 PB / / 平面 MNQ ? P 到平面 MNQ 的距离即 B 到平面 MNQ 的距离. 在平面 ABCD 中,连结 BD 则 BD ? MN 3 2a 3 3 2a 故 B 到 MN 之距为 ? 2a ? , 因此 P 到平面 MNQ 的距离为 ………6 分 4 4 4 1 1 2 3 2a a 3 (2)在四面体 N ? MPQ 中, Vp ? MNQ ? ? ( ? a ? a) ? ? 3 2 2 4 8 6 又底面三角形 MPQ 是正三角形, MQ ? PQ ? MP ? a 2 3 6 2 3 3 2 S?MPQ ? ( a) ? a : 4 2 8 设 N 到 MPQ 之距为 d sin 2 (
1 Vn? M P Q ? S ? ? 3

2 3 4 ? 3 sin B 2

sin B ? 1

0 ? B ??

B?

?
2

C?

?
6

….6 分

3 a 1 3 32 a3 PN ? a ?d ? ?P Q ? ? d a? ? d M 3 8 8 2 3 a 3 ? 2 …………12 分 故 PN 与平面 MPQ 所成角 ? 的正弦值 sin ? ? 3 3 a 2

19.解:(Ⅰ)设 A 、 B 两项技术指标达标的概率分别为 P1 、 P2
5 ? 1 1 ? P ? (1 ? P2 ) ? (1 ? P ) ? P2 ? 12 ? 由题意得: ? ?1 ? (1 ? P ) ? (1 ? P )? ? 11 1 2 ? ? 12

……………………2 分

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1 3 2 2 3 解得: P ? , P2 ? 或 P ? , P2 ? ,∴ P ? P P2 ? . 即,一个零件经过检测为合 1 1 1 2 4 3 3 4 1 格品的概率为 ……………………………….. 3分 2 (Ⅱ)任意抽出 5 个零件进行检查,其中至多 3 个零件是合格品的概率为
13 ?1? 5?1? 1 ? C54 ? ? ? C5 ? ? ? ……………………………….8 分 2? 2 ? 16 ? ? 1 1 1 1 (Ⅲ)依题意知 ? ~B(4, ), E? ? 4 ? ? 2 , D? ? 4 ? ? ? 1 2 2 2 2
5 5

…………12

分 20.解(1)? a ? b ? ? S n ? 2an ? 2 n?1 ? 0
? ?

? S n?1 ? 2an?1 ? 2 n?2 ? 0 。…………………………………………………2 分 ? an?1 ? 2an ? 2n?1 a a ? n ?1 ? n ? 1 …………………………………………………………….4 分 n ?1 2 2n ?a ? ???? 6 分 ? ? n ? 为等差数列 n ?2 ? a (2) n ? ?2 ? (n ? 1) ? ?(n ? 1) 2n ? bn ? ? 2011 ? n ? 2n 令bn ?1 ? bn

? 2010 ? n ? 2n?1 ? ? 2011 ? n ? 2n
n ? 2009 bn的最大值为b2010 ? b2009 ? n0 ? 2009或2010......................................12分
21.解:(1) f ( x) ? ( x ? a)e ? ( x ? 3)e
2 x 2 x

………………10 分

f ?( x) ? ( x 2 ? 2x ? 3)e x ? ?x ? 3??x ? 1?e x x -3 (- ? ,-3) (-3,1) ' + 0 f ( x) 增 极大值 减 f (x)

1 0 极小值

???? 2 分 (1,+ ? )
+ 增

???? 6 分 f (?3) ? 6e?3 f (1) ? ?2e (2) x1 , x2为f ( x)的两个极值点, x x1x2 ? ?a x1 , x2为f ?( x) ? x 2 ? 2x ? a)e x ? 0的两个根,1 ? x2 ? ?2 (
? e x2 f ( x1 ) ? e x1 f ( x2 ) ? 4e x1 ? x2 x12 x2 ? x1 x2 2 e x2 ( x12 ? a)e x1 ? e x1 ( x2 2 ? a )e x2 ? 4e x1 ? x2 x12 x2 ? x2 2 x1

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 4 ( x1 ? x2 ) x1x2 1 ?a ? ?2 ? 4 ?a 2 3 ? 3 f ( a ) ? a 3 ? a 2 ? 3a ? b 恒成立 2 3 ? 3 ?a 2 ? a ?e a ? a 3 ? a 2 ? 3a ? b 恒成立 2

???? 9 分

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3 ? ? ? b ? 3?a 2 ? a ?e a ? ? a 3 ? a 2 ? 3a ? 恒成立…………………………..10 分 2 ? ? 3 ? ? ? 令h(a) ? 3?a 2 ? a ?e a ? ? a 3 ? a 2 ? 3a ? 2 ? ? 2 a 2 h?(a) ? 3?a ? a ? 1?e ? ?3a ? 3a ? 3? ? 3?a 2 ? a ? 1??e a ? 1?
当?

?当a ? 0时,h(a) ? 0, ???? 12 分 b?0 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 22.解法一:(Ⅰ)设点 P( x,y ) ,则 Q(?1 y) ,由 QP? , QF ? FP?FQ 得:
( x ? 1, ? , y) ? ( x ?1,y)? ?2,y) ,化简得 C : y 2 ? 4x .……………….3 分 0) (2 ? ( (Ⅱ)(1)设直线 AB 的方程为: x ? my ? 1(m ? 0) . 2? ? 设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,又 M ? ?1 ? ? , , m? ?
联立方程组 ?

1 1 ? a ? 0时, h?( x) ? 0, h( x)为增函数,当 ? a ? 0时, h?( x) ? 0, h( x)为减函数 2 2

? y 2 ? 4 x, ,消去 x 得: y 2 ? 4my ? 4 ? 0 , ? ? (?4m)2 ? 12 ? 0 , ? x ? my ? 1,

? y1 ? y2 ? 4m, ……………………………………6 分 ? ? y1 y2 ? ?4. ???? ??? ???? ? ??? ? 由 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF 得: 2 2 y1 ? ? ??1 y1 , y2 ? ? ??2 y2 ,整理得: m m Q 2 2 , ?2 ? ?1 ? , ?1 ? ?1 ? my1 my2
? ?1 ? ?2 ? ?2 ?
? ?2 ?

y P B O A F

2 y1 ? y2 M ? m y1 y2 2 4m ? ?2 ? ? m ?4 ? 0 .……………………………………………………………9 分 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? 解法二:(Ⅰ)由 QP? QF ? FP?FQ 得: FQ? PQ ? PF ) ? 0 , ( ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ?( PQ ? PF )? PQ ? PF ) ? 0 , ( ??? ? ??? ? ??? 2 ??? 2 ? ? ? PQ ? PF ? 0 ,? PQ ? PF .
所以点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的方程为: y ? 4 x .
2

2? 1 1 ? ? ? ? m ? y1 y2 ?

x

???? ??? ???? ? ??? ? (Ⅱ)(1)由已知 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,得 ?1 ? 2 ? 0 . ? ???? ??? ? MA ?1 AF 则: ???? ? ? ??? .…………① ? MB ?2 BF
过点 A,B 分别作准线 l 的垂线,垂足分别为 A , B1 , 1

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???? ???? ??? ? MA AA1 AF 则有: ???? ? ???? ? ??? .…………② ? MB BB1 BF ??? ? ??? ? ??? 2 ??? 2 ? ? ? PQ ? PF ? 0 ,? PQ ? PF .
所以点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的方程为: y 2 ? 4 x . (Ⅱ)(1)由已知 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,得 ?1 ? 2 ? 0 . ?

????

??? ?

????

??? ?

???? MA ?1 则: ???? ? ? MB ?2

??? ? AF ??? .…………① ? BF

过点 A,B 分别作准线 l 的垂线,垂足分别为 A , B1 , 1

???? ???? ??? ? MA AA1 AF 则有: ???? ? ???? ? ??? .…………② ? MB BB1 BF ??? ? ??? ? AF AF ? 由①②得: ? 1 ??? ? ??? ,即 ?1 ? ?2 ? 0 . ? ? ?2 BF BF ???? ???? 2 (Ⅱ)(2)解:由解法一, MA ?MB ? 1 ? m

?

?

2

y1 ? yM y2 ? yM

2 ? (1 ? m 2 ) y1 y2 ? yM ( y1 ? y2 ) ? yM ? (1 ? m2 ) ?4 ?

2 4 ? 4m ? 2 m m

? 1 1 ? 4 ? ? ? (1 ? m2 ) ? 4 ? 2 ? ? 4(2 ? m 2 ? 2 ) ≥ 4 ? 2 ? 2 m 2 ? 2 ? ? 16 . ? m m ? m ? ? ? ? ???? ???? 1 2 当且仅当 m ? 2 ,即 m ? ?1 时等号成立,所以 MA ?MB 最小值为 16 .…………..12 分 m

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