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两角和与差的三角函数单元自编自创


两角和与差 二倍角的三角函数练习 1 已知α ,β ? [0,2π ],以下三个命题(1)若 sinα =sinβ ,则 sin2α =sin2β (2)若 sinα =sinβ ,则α =β 或α +β =π (3) α ?β ) 若 sinα =sinβ ,则 sin =0 中真命题的个数是( 2 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 2.等式|sinxcosx|+ (A)kπ

? 3.已知 ? 是第二象限的角,且满足 cos ? sin ? 1 ? sin? , 那么 是( ) 2 2 2 (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角 (D)第一象限角或第三象限角 1 ? ? 4.已知 cos3θ = ,那么 12cosθ cos( +θ )cos( -θ )的值是( ) 4 3 3 1 1 3 3 (A)(B) (C)(D) 4 4 4 4 5.sin50°(1+ 3 tg10°)的值是( )
(A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2 6. cos 75? ? cos 15? 的值等于( )

1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 成立的充要条件是 x 等于( 2 2 k? k? k? . (B) (C) (D) 2 4 8
? ?

)

(其中 k∈Z)

?? ? ?? ? cos? ? x ? ? sin ? ? x ? ?4 ? ?4 ? 16.化简 的结果是( ?? ? ?? ? cos? ? x ? ? sin ? ? x ? ?4 ? ?4 ? x A. tan B.tan2x C.-tanx 2



D.cotx )

17.若 ? 为锐角,那么 sin ? +cos ? 的取值范围是(

A. 1, 2 B. 1, 2 C.[0,1] D. ?0,1? 18. ? ABC 中,若 0<tanAtanB<1,则 ? ABC 是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 19.sin68 sin22 +cos112 sin428 等于( A.
0 0 0 0

? ?
3 2

?

?

D.以上均有可能

) D.0 )

B.

1 2

C.1

20.若 ? 、 ? 为锐角,且 cos? ? A.45 0 A.0
0

5 10 ,则 ? + ? 的值是( , cos ? ? 5 10
C.120 0 ) D.72 0 C.36
0

B.60 0 B.18
0

D.135 0

6 (A) 2

2 2 (C) ? (D) 2 2 ? 3 4 7.已知 0 ? ? ? ? ? ? ? , 又 sin ? ? , cos( ? ? ? ) ? ? , 则 sin ? 等于( 2 5 5 24 24 24 (A)0 (B)0 或 (C) (D)0 或 ? 25 25 25 8.已知 sin ? sin ? ? 1, 那么 cos(? ? ? ) 的值等于( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D) ? 1 ? 3 ? 4 ? 9.若 sin ? , cos ? ? ,则 是( ) 2 2 5 2 5
A.第一象限角

6 (B) ? 2

21.适合 sin2xsin3x=cos2xcos3x 的一个 x 的可能值是(

)

1 ? tan A ? 2 ? 3 ,则 cot(45? ? A) 等于( ) 1 ? tan A (A) ? 2 ? 3 (B) ? 2 ? 3 (C) 2 ? 3 (D) 2 ? 3
22.若 23.若 A,B 是三角形 ABC 的内角,并且(1+tanA)(1+tanB)=2,则 A+B 等于(

5? ? (D) k? ? , k ? z 4 4 24.在 ? ABC 中,tanA?tanB>1,则 ? ABC 的形状是( )
(A)

? 4

)

(B)

3? 4

(C)

A.锐角三角形 25.化简 sin 2 A. sin

1 ? ,那么 cos ? 的值是( 10.如果 tan ) 2 3 4 3 3 A. B. C. ? 5 5 5 5 ? ? 5 ? ? ? cos 2 ? cos cos 的值等于( 11. cos 2 12 12 12 12 3 5 2 A. B. C. 2 4 2
12.若 tan ? +cot ? =m,则 sin2 ? 等于( A. )

?

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

?

D. ? )

4 5

? 2

4

? cos 2

?
4

B.钝角三角形 等于( ) C. ? sin

C.直角三角形

D.任意三角形

B. cos

?
2

?
2

D. ? cos

?
2


D. 1 ?

3 4

1 m

B.

2 m

C.2m

D.

5 ? 13.若 sin ? ? , ? 是第二象限角,则 tan 的值等于( ) 13 2 1 1 A.5 B.-5 C. D. ? 5 5 2 14.已知 cot ? ? 2, tan ?? ? ? ? ? ? ,则 tan( ? -2 ? )的值等于( ) 5 1 1 1 1 A. B. ? C. D. ? 4 8 8 12 ? 2? 3? 4? cos cos 15.化简 cos cos 的结果为( ) 9 9 9 9 1 1 1 1 A. ? B. C. ? D. 8 16 8 16

1 m2

1 ,且 ? ? ? , ? ,则 cos ? -sin ? 的值是( 4 ?4 2? 3 3 3 3 A. B. C. ? D. ? 4 4 2 2 3? ? ? 3? ? 4 ? ? ? ? ,则 tan 等于( 27.已知 ? ? ? ? ,且 sin ? 2 2 ? 2 ? 5
26.设 sin 2? ? A.-3 B.-2 C.2 28.已知 2sin ? =1+cos ? ,则 tan A.

?? ? ?



?

D.3 ) C.2 D.2 或不存在

2

等于(

1 2

B.

29.若 cos ? ? A. ?

15 5

1 5? ? , ? ? ? 3? ,那么 sin 的值等于( ) 5 2 2 10 10 15 B. ? C. D. 5 5 5
) 。

1 或不存在 2

30.化简 sin119 0 sin181 0 -sin91 0 sin29 0 等于( A.

1 1 3 3 B. ? C. D. ? 2 2 2 2 31. ? ABC 中,若 cosAcosB>sinAsinB,则 ? ABC 是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形

32. tan10? tan20? ? 3 tan10? ? tan20? 的值为( A.

?

?



33. ? ABC 中,若 cosAcosB+cosAsinB+sinAcosB+sinAsinB=2,则 ? ABC 是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 34. 已 知 cos ?? ? ? ? ? ? ( A.-1 ) B.

3 3

A. ?

B.1

C. 3

D. 6

26 26
B.0

B.

26 26
C.

C.

5 26 26
D.1 )

D. ?

5 26 26
)

47.若 sinα sinβ +cosα cosβ =0,那么 sinα cosα +sinβ cosβ 的值等于( A.-1

2 2
C.7 7

4 4 , cos ?? ? ? ? ? , 90 ? ? ? ? ? ? 180 ? , 270? ? ? ? ? ? 360? , 那 么 cos2 ? 的 值 等 于 5 5
C.

48.(tan22.5°+cot22.5°) log 2 7 的值是( A.7 B.

7

D.log27 )

3 5

4 5

D.1

49.函数 f(x)=cos2x+cos(x+ A.0 B.2

35.已知 ? 、 ? 均为锐角,且 cos ? ?

? A. 3

36.下列关系式中,使 ? 存在的关系式是(

2? B. 3

1 11 , cos ?? ? ? ? ? ? ,则角 ? 为( 7 14 5? ? C. D. 6 6




? ? )+sin(x+ )+3sin2x 的最小值是( 3 6 9 C. D.3 4
) D.a ) C.

50.已知 log2a=b,则(cos15°sin15°)b 等于( A.a2 B.

1 a

1 a2

5 A. sin ? ? cos ? ? 3
C. 1 ? cos2? ? ? 2 cos? ` 37. 1 ? sin 10 等于( A.cos5+sin5 38.已知 ) B.-cos5-sin5

B. ?cos? ? sin ? ??cos? ? sin ? ? ? D. 1 ? cos 2a ? log1 2
2

51.若方程 sec2x+2tanx-3=0 有两根α 、β ,则 cot(α +β )=(

2

A.-cot2

B.-

2 3

C.-

3 2

D.

3 2
)

52.已知 sinθ +cosθ = A.±

C. 2 cos5

D.cos5-sin5

1 1 ? ? 1 ,则 sin2a 等于( ) cos ? sin ? A. 2 ? 1 B. 1 ? 2 C. 2 2 ? 2 D. 2 ? 2 2 2? ?? ?? ? ?? ? 39.若 cos? ? ? ? cos? ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ,则 sin2 ? 等于( ) 6 ? 2? ?4 ? ?4 ?

3 2

2 (0<θ <π ) ,则 cos2θ 的值为( 2 1 3 3 B.C. D.2 2 2

53.已知 cos78°约等于 0.20,那么 sin66°约等于( ) A.0.92 B.0.85 C.0.88 D.0.95 54.若 0<2α <90°<β <180°,a=(sinα )cosβ ,b=(cosα )sinβ ,c=(cosα )cosβ 则( ) A. a>c>b B. a>b>c C. b>a>c D. c>a>b 55.化简

2 7 7 34 A. B. C. D. 3 3 6 6 40.设 f ?tan x ? ? tan2 x ,则 f(2)等于( ) 4 4 2 A. B. ? C. ? D.4 5 3 3 sin ? 1 ? ,则(5sin ? -3)(3tan ? +1)的值等于( ) 41.若 1 ? cos ? 2
A.2
0 0

1 ? sin 40? ? cos 40? 的结果应为( 1 ? sin 40? ? cos 40?
B.-cot20°

) D.cot20° )

A.-tan20°

C.tan20°

56.若实数 x、y 满足 x 2 ? y 2 ? 4 ,则 A.-2 B.-

2 xy 的最小值为( x? y?2

B.3
0 0

C.4 )

D.5

42.sin20 cos70 +sin10 sin50 的值为( A.

1 4

B.

3 2
1 2

C.

1 2


D.

3 4
D. ?

43.cos40 0 +cos80 0 +cos160 0 的值为( A.0 B.

C.2cos20 0

3 2


44.若 cos ?? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? A. ?

2 3

B. ?

1 3

1 ,则 cos2? ? sin 2 ? 的值等于( 3 2 1 C. D. 3 3
)

4 C.2-2 2 D.2+2 2 3 ?? ? 57.函数 y ? 3 sin ? ? 2 x ? ? cos 2 x 的最小值是( ) ?3 ? (A) ? 3 ? 1 (B)-1 (C) ? 3 (D)0 ?? 5 ? 58.已知 sin? x ? ? ? ? ) 则 sin2x 的值等于( 4? 13 ? 120 119 120 119 (A) (B) (C) ? (D) ? 169 169 169 169 sin 7? ? cos 15 ? sin 8? sin 15 ? cos 9? ? cos 66? ? 59. ) 的值等于( cos 7? ? sin 15 ? sin 8? cos 15? cos 9? ? sin 66? 2? 3 2? 3 A. 2 ? 3 B. C. 2 ? 3 D. 2 2
60.求下列各式的值: (1) cos15 0 cos75 0 -sin15 0 sin75 0 =______ (3) cos80 cos35 +sin80 cos55 =______
0 0 0 0

45.cos250 0 +sin220 0 +sin20 0 cos50 0 的值为(

(2) sin70 0 cos25 0 -sin20 0 sin25 0 =______ (4)

3 A. 8
46.设 sin a ?

1 B. 2

5 ?? a ? ,且 ? 是第二象限角,则 sin ? ? ? 等于( 13 ? 2 2?

3 C. 4

3 D. 4


1 ? tan30

0 0

(5) tan 10? tan 20? ? tan 20? tan 60? ? tan 60? tan 10? ? ______ (6) tan18? ? tan42? ? 3 tan18? tan42? ? ______

1 ? tan30

cot15 =______

0

1 ? tan 7? ? tan 8? ? tan 7? tan 8? = 1 ? tan 7? ? tan 8? ? tan 7? tan 8? (9) sin 10? sin30 0 sin50 0 sin70 0 =____ cos 40 ? cos 10 ? ? 3 sin 10 ?
(7) (11)

(8)

?

cos 10 ?

? =______

2 sin 20? (cot5°-tan5°) =______ 1 ? cos 20? (10) sin 2 20? ? cos2 80? ? 3 sin 20? cos80? =

77.化简 sin(x-y)cosy+cos(x-y)siny 得 。 ? ? ? ? ? ? 78.tan =2,tan =3,且 、 都是锐角,则 + 的值是 79.设 tan?



(12) (1+tan20 0 )(1+tan25 0 ) =______

1 1 3 ? 4 cos 70? _______ (14) ? ? tan 70? sin 10? cos10? 2? 4? 6? ? ? cos cos ? 3 cos ? (15) cos =______ (16) sin 7 7 7 12 12 cos 15? ? sin 15? ? 2? ? ______ ? ____________ (17) (18) cos ? cos cos 15? ? sin 15? 5 5 (19) (1 ? tan1? )(1 ? tan2? )(1 ? tan3? ) ? ? ? (1 ? tan44? ) ? ______ . 2 cos 10? ? sin 20? 1 (20) =______ (21) +tan10°= ______ cos 20? cos 50?
(13)

?2?

2 sin 50? ? sin80? 1 ? 3 tan10? 1 ? 2 sin 50? cos 50?
2 cos ?

?

?. =______

(23) 求值:cot10°-4cos10°=______

61.化简 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? ,? ? ?0, ? ? 62.求证:

2 1 1 63.已知 sin ? ? sin ? ? , cos ? ? cos ? ? ,求 tan?? ? ? ?的值。 4 3 8 sin ? ? 5 cos ? ? 6 , 8 cos ? ? 5 sin ? ? 10,则 sin ?? ? ? ? = ______ 64.已知 3 12 65. ? ABC 中, cos A ? ? , cos B ? ,则 sinC= ______ 。 5 13 1 ? tan ? ? ? ______ 66.已知 ? ? ? ? ,则简化 。 1 ? tan ? 4 tan a 2 1 ? ______ 67.若 sin ?? ? ? ? ? , sin ?? ? ? ? ? ,则 。 tan ? 3 5
68.已知 sin(x+y)cosy-cos(x+y)siny=0,则 sin(x+2y)+sin(x-2y)= ______ 。

cot

?

2

? tan

?

?

1 sin 2? 4



1 ? tan 2? ?? ? ? ? ? ? 10 ,则 等于 。 1 ? tan 2? ?4 ? 4 ? ?? 80.已知 ? , ? ? ? 0, ?, sin ? ? , cot?? ? ? ? ? ?3 ,求 cos ? 的值。 5 ? 2? 4 12 ? ?? 81.已知 ? 为钝角, ? 为锐角,且 sin ? ? , sin ? ? ,求 cos 的值。 5 13 2 cos2 x ? sin 2 x 82.已知 4 sin 2 x ? 6 sin x ? cos2 x ? 3 cos x ? 0 ,求 ?1 ? cos2 x ??1 ? tan2 x ? 的值。 cos? 1 1 2 ? ? 83.已知 ,且 ? ? 2k? , k ? Z ,求 ? 的值。 cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) cos? cos 2 3 ? 84.已知 sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ?sin ? ? ,则 的终边所在的象限是 。 5 2 4 4 ? 3? ? ? ? ? ? 2? , 则 cos2 ? 等于 85.若 cos(? ? ? ) = , cos(? ? ? ) = ? 且 ? ? ? ? ? ? , 5 2 5 2 3x x 2 sin x ? tan ? 86.求证: tan 2 2 cos x ? cos 2 x ? 2 cos2 ? sin ? ? 1 2 87.已知 tan2? ? ?2 2 , ? ? 2? ? 2? ,求 的值。 ?? ? 2 sin ? ? ? ? ?4 ? ? ?? ? ?? ? cos 2 88.求证: sin ? sin ? ? cos 2 2 2 ? ?? 89.试求函数 y ? sin x ? cos x ? 2 sin x cos x ? 2 的最大值和最小值,又若 x ? ?0, ? 呢? ? 2? 2 90.若 sinα +sinβ = . ,则 cosα +cosβ 的取值范围是 2 1 11 91. ? , ? 为锐角,且 cos ? ? , cos( ? ? ? ) ? ? ,则角 ? ? 。 7 14
92.函数 y=sinx-cos2x 的值域是 。



1 ? sin ? 1 ? 69.若 ? 是第二象限角,且 cos ? ? ,则 ______ ? ? 2 2 cos ? sin 2 2 70.已知 ? ABC 中, tan B ? tanC ? 3 tan B tanC ? 3 ,又 3 tan A ? 3 tan B ? 1 ? tan A tan B ,试判断 ? ABC

?

的形状。 71.若 tan ? ,tan ? 是方程 x 2 ? 6x ? 7 ? 0 的两根,求 sin?? ? ? ?cos?? ? ? ? ? 8 cos2 ?? ? ? ? 的值。

1 10 ? , ? , 均为锐角,求 ? ? 2? 的值。 , sin ? ? 7 10 ? ? ?? 73.已知 3 sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 1,3 sin 2? ? 2 sin 2? ? 0, ? , ? ? ? 0, ? ,求证: ? ? 2 ? ? 2 ? 2? ? 2 cos2 ? sin ? ? 1 ? 2 74.已知 tan 2? ? ?2 2 , ? 2? ? ? ,求 的值。 ?? ? 2 2 sin ? ? ? ? ?4 ? 2 2 75.已知 cos a ? cos ? ? 1 ? sin a ? sin ? ? 1 ? 0 ,求 tana ? tan ? 的值。 2 4 ? ?? 76.设 a, ? ? ? 0, ? ,且 sin a ? sin ? ? 3?cos? ? cosa? ,试求 sin 3a ? sin 3? 之值。 ? 2?
72.已知 tan? ?

?

? ?

?

1 ? sin ? cos ? , 当 ? 在区间 ?0, ? ?上分别取何值时,y 取到最大值和最小值? 93.设 y ? 1 ? sin ? cos ? sin ? ? ? ?) ? 94.已知 sin ? ? a sin(? ? ? )(a ? 1), 求证: tan( cos ? ? a sin(2? ? ? ) k? 96.已知 tanα -tanβ =2tan2α tanβ ,且α 、β 均不等于 (k∈Z),试求 的值. sin ? 2 ? ? ?) 95.已知 sin(2? ? ? ) ? 2 sin ? ? 0, ,求证 tan? ? 3 tan( ? 3? ? ? 3 3? 5 96. 已知: <α < ,0<β < cos( -α )= ,sin( +β )= ,求 sin(α +β ) 4 5 4 13 4 4 4 1 1 1 tan( n ? 1)? 97. 求证: + +…… = . cos n? cos(n ? 1)? cos 0? cos 1? cos 1? cos 2? sin 1? sin 1? sin 1? sin 1? ,tan2°-tan1°= ,…,tan(n+1)°-tann°= ,上面各式相 证明:tan1°-tan0°= cos n? cos(n ? 1)? cos 0? cos 1? cos 1? cos 2? sin 1? sin 1? sin 1? + +……+ 加,得 tan(n+1)°-tan0°= cosn? cos(n ? 1) cos 0? cos 1? cos 1? cos 2? 1 1 1 tan( n ? 1)? + +…+ = ∴ cos n? cos(n ? 1)? cos 0? cos 1? cos 1? cos 2? sin 1?

例5

sin( 2? ? ? ) sin ? -2cos(α +β )= sin ? sin ? sin(? ? ? )·cos ? ? cos(? ? ? ) sin ? -2cos(α +β ) sin ?

证明:∵2α +β =(α +β )+α ∴左边 =

=sin(α +β )cotα +cos(α +β )-2cos(α +β ) =sin(α +β )cotα -co(α +β )

1 [sin(α +β )cosα -cos(α +β )sinα ] sin ? 1 sin ? = sin[(α +β )-α ]= sin ? sin ? 98. 3 csc20°-sec20°= .
= 99. 1.求证:cscα +csc2α +……+csc2n-1α =cot (提示 cscx=cot

? -cot2nα . 2

x -cotx,令 x=α ,2α ,……2n-1α ,迭加即可.) 2 2 ,求 cosx+cosy 的取值范围. 3
A?C 1 1 2 ,求 cos 的值. ? ?? 2 cos A cos C cos B

99.(1)已知 sinα -cosβ +sinγ =0,cosα +sinβ -cosγ =0,求 sin(α -β )的值. (2)已知 sinx+siny=

100. 例 4 已知△ABC 中的三内角 A、B、C 成等差数列,且


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