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对数及指数、对数、幂函数


LTMI 专用理科学案【 数学 】

函数(2)学案
主备人:_________ 编号:___005______

【本课概论】 1、对数的定义:在方程 a 2、指数函数 f(x )

x

? N 中,已知底数和幂,定义指数 x ? log a N

? a x ,对数

函数 f(x ) ? log a x ,幂函数 f(x ) ? x a

【概念应用】 1、利用对数的降次特征化简大数据运算。 2、利用指数函数、对数函数和幂函数刻画数学模型。 【知识点及习题剖析】 对数 1、对数的定义与转化。 在x

? log a N 中,a 叫做底数,N 叫做真数,该式读作“x 等于 N 以 a 为底的对数”
x

其中 a>0 且 a≠1,真数 N>0(若 N=0 或 N<0 则无意义) 指数式 a

? N 与对数式 x ? log a N 可相互转化。
?6

例:将指数式 2

?

1 ,对数式 log 1 16 ? ?4 分别转为对数式和指数式。 64
2

1 ? ?6 解:① log 2 64

?1? ②? ?2? ? ? ?

?4

? 16

剖析:指数式和对数式底数相等,真数与幂相等,指数与对数相等,不要搞混。 2、对数的运算法则(请自行用对数的定义推导) 。 推导过程: 公式:① log a ② log a

M ? loga N ? loga MN
M - log a N ? log a M N

③ log a

M n ? n log a M
n

log a

M ?

log a M

n



a

loga x

? log a a x ? x

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例 1:求

3 ? log10 125 的值。 log 2 30 ? log 2 3

解:由公式②④③⑤得 原式= 3 ?

1 ? 3 log10 5 ? 3 (log 10 2 ? log10 5) ? 3 log10 10 ? 3 log 2 10

剖析:合理运用公式。记住从对数里提为降次,放到对数里为升次。 *例2(应用) :已知 log 2 16777216 ? 24 ,log 2 23170 .5 ? 14.5

16777216 的近似值。 23170 .5 16777216 ? 24 ? 14.5 ? 9.5 , 解: log 2 23170 .5


1 6 7 7 7 2 1 6 9.5 210 1000 ? 2 ? ? ? 714 .3 (实际724左右,误差2%以内) 2 3 1 7. 0 5 1.4 2
剖析:合理运用对数及编制好的对数表可以极大地简化问题。 3、常用对数与自然对数。 定义: lg

M ? log10 M

,称为常用对数。 , 称为自然对数, 其中自然对数的底数 e=2.718281828459??

ln M ? loge M
例 1:求 lg5 100

lg 100 2 ? 解: lg 5 100 ? 5 5
剖析:lg 和 ln 只是一种简写的记法,对数公式完全可以套用。
2 例 2:计算(lg 5) ? lg 2 ? lg 50

解:

原式 ? (lg 5)2 ? lg 2 ? (lg 5 ? 1) ? (lg 5)2 ? lg 2 ? lg 5 ? lg 2 ? lg 5 ? (lg 2 ? lg 5) ? lg 2 ? lg 5 ? lg 2 ? 1
剖析:遇到与 lg 有关的问题,想尽一切办法将真数靠近 10 的幂(尤其是看到 2 和 5) 。 注意辨别: lg 2 ? lg 5 ? 1 ,lg 2 ? lg 5 ? 1 !

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4、换底公式(请同学们自己证明)

指数形式:

ax ? b

logb a ? x

对数形式: log a

b ?

logc b logc a

例:计算 log 2 解:log 2

3 ? log3 4 ? log 4 5 ? log5 6 ? log 6 7 ? log7 8
log 2 4 ? log 2 4 类推得原式= log 2 8 ? 3 log 2 3

3 ? log 3 4 ? log 2 3 ?

剖析: 当参与计算的若干个对数的底数不同时, 应用换底公式将其变为同一个底数然后计算。 由换底公式有

1 ? log a b 及 log 1 b ? ? log a b (待会习题要用) log b a a

指数函数、对数函数和幂函数 指数函数 1、指数概念的推广。

1


1

( a) ? a ?
p

n

n

(a n )n

得,

n

a ?

an
n

由此可定义 a (p

? Q) : 设p ?
p

m (m ,n ? Z,n ? 0),则a p ? n
q ?p

am

对于 p 为无理数的情况,定义 a
3 6 例:求(
3 6

? lim aq(q ? Q ),即无限接近于该数的有理数。

a 9 )4 ? (
9 4

63

a 9 )4
9 4 1 1 ? ?9? 4 a3 6

解:(

a ) ?(

63

a ) ?

?

1 1 ? ?9? 4 a6 3

? a2 ? a2 ? a4

剖析:合理运用根号和分数次幂的转化,将若干次幂转为一次幂运算。 指数的运算法则在实数范围内通用。 2、指数函数的定义、定义域、值域。

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定义:形如 f(x )

? a x 的函数称为指数函数,其中 a ? 0且a ? 1 。
+

由定义易推知,指数函数的定义域为 R,值域为(0,+∞) 例:下列函数中,值域不为 R 的是( D )

(A)y=5

1 2? x

1 1-x (B) y=( ) 3

1 (C) y= ( ) x ? 1 2

(D) y= 1 ? 2 x

解:前三项都为指数函数,且指数的定义域都为 R,因此其值域为(0,+∞) (第三项中对 (0,+∞)开根号仍为(0,+∞) ) 。排除法可知选 D。 剖析:注意指数函数的值域为(0,+∞)当且仅当定义域为 R!因此看到指数函数一定要先判 断指数的定义域再解答。 3、指数函数的图象与性质。 利用描点法作图可得:

观察图象有以下结论: ①指数函数不为奇函数、偶函数。 当 a>1 时,函数在 R 内单调递增;当 0<a<1 时,函数在 R 内单调递减。 ②所有的指数函数都经过(0,1)(想想这是为什么?) ③指数函数的图像始终在 x 轴上方,即值域为(0,+∞) 。 当 a>1 时,函数向左收敛于 0,向右发散;当 0<a<1 时,函数向右收敛于 0,向左发散。 例:已知 0<a<1,b<-1,则函数 y=a +b 的图像必定不经过(A) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 解:首先观察 0<a<1,得知函数图像在 R 上单调递减。 然后观察 b<-1,因为指数函数必定经过(0,1) ,所以该函数与 y 轴交点必定在负半轴。 考虑到它是减函数,因此当 x>0 时,y 必定小于 0,即函数不可能经过第一象限。 剖析:一定要分清 a 的范围。不同的 a 对应的图象的增减性、敛散性不同。 指数函数的图象经过点(0,1)也是常用的隐含条件之一。 *4、指数函数的导数。 一般地,指数函数 y 当 a=e 时,函数 y
x

? a x 的导数为 y '? a x ln a (证明过程略)

? e x 的导数为它本身,即 y'? y ? e x

这是自然对数许多神奇性质中的一个,有许多的应用。

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对数函数 1、对数函数的定义、定义域与值域。 形如 f(x )

? log a x 的函数称为对数函数,其中 a>0 且 a≠1。

由对数函数的定义可推知:对数函数定义域为(0,﹢∞) ,值域为 R。 特别地,对数函数和指数函数互为逆函数。即若 f(x ) 则有 f[g(x )]

? a x ,g(x ) ? log a x

? x ,g[f(x )] ? x ,即f ?1 ? g ,g ?1 ? f

2、对数函数的图象及其性质。 用描点法作出对数函数的图象。

观察图象可得对数函数的几个性质: ①对数函数不为奇函数、偶函数。 当 a>1 时,函数在(0,+∞)内单调递增;当 0<a<1 时,函数在(0,+∞)内单调递减。 ②所有的对数函数都经过(1,0)(这又是为什么?) ③对数函数的图像始终在 y 轴右方,即定义域为(0,+∞) 。 对数函数在趋于 0 时或趋于+∞时皆发散。 ④底数相同,指数函数的图象与对数函数的图象关于 y=x 对称(逆函数的特征) 例:已知函数 f(x )

? log a x (0<a<1)在[a,2a]上的最大值是最小值的 3 倍,求 a 的值。
1

解:由 0<a<1 可知 f 在区间[a,2a]上是减函数,故 x=a 处即为最大值,x=2a 处为最小值。

1 2 代入得 f(a)=1, f (2a ) ? log a 2a ? ,即 a 3 ? 2a ,解得 a ? 0或 ? 3 4
考虑到 a>0,解得 a ?

2 。 4

剖析:同样关注指数函数中 a 的取值。不管做什么题目,当看到指数函数的时候,首先要想 到定义域为正实数集! (这点非常重要, 因为这涉及到复杂函数中整个函数的定义域) *3、对数函数的导数。 一般地,对数函数 y

? loga x 的导数为 y '?

1 x ln a

(证明过程略)

当 a=e 的时候,函数 y

? ln x 的导数为 y '?

1

x

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幂函数 1、幂函数的定义、定义域、值域与图象。 形如 f(x )

? x a 的函数称为幂函数。

幂函数的图象、定义域与值域随 a 的不同而不同。下面列出的是其中常见的几种:

观察图象可以发现,所有的幂函数都过点(1,1) (为什么?) 例:函数 y

?

1

x 2?m ?m
2

2

在第二象限单调递增,求 m 的最大负整数。

解: y

? xm

? m ?2

,观察到 m 为负整数,因此枚举 m 即可。

当 m=-1 时, m 2 ?

m ? 2 =-2, y ? x ?2 在第二象限递增。因此 m=-1。

剖析:幂函数的性质不可能全部学习,但它们并不算难。做到题目时简单推推即可。 枚举法指将可能情况一个个列出来的方法,有时候没有头绪时可能很有用。 2、幂函数的导数 一般地,幂函数 y

? x a 的导数为 y '? ax a ?1
x
8

可以证明,对于 a≠0 的其它所有实数,上述关系都是成立的。 例:求函数 y ?

8

x

2

?

在(0,+∞)内的最小值。

解:令 y '?

? 16

x3

?

1 ? 0 ,解得 x ? 8

3

128 ? 43 2 ,代入得 y min ?

23 2

? ?

1

2

?

3

2 2

【习题】 选择 2 x 1.函数 f(x)=(a -1) 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是( (A) a ? 1 (B) a ? 2 (C)a< 2 (D)1< a ?



2

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2、函数 y=

1 的值域是( 2 ?1
x



(A) (- ? ,1 )

(B) (- ? , 0) ? (0,+ ? )

(C) (-1,+ ? ) (D) (- ? ,-1) ? (0,+ ? ) x 3.若方程 a -x-a=0 有两个根,则 a 的取值范围是( ) (A) (1,+ ? ) (B) (0,1) 4.下列关系中正确的是(
2 2

(C) (0,+ ? ) (D) ?


1

1 1 1 (A) ( ) 3 <( ) 3 <( ) 3 2 5 2
(C) (

1 1 1 (B) ( ) 3 <( ) 3 <( ) 3 2 2 5
(D) (

1

2

2

1 3 1 1 ) <( ) 3 <( ) 3 5 2 2

2

1

2

1 3 1 1 ) <( ) 3 <( ) 3 5 2 2
) D、4 或 1

2

2

1

5、 2loga (M ? 2N ) ? loga M ? loga N ,则 A、

M 的值为( N

1 4
n?1? n

B、4 ( n+ 1- n )等于( B、-1 C、2

C、1 )

6、 log A、1 填空

D、-2

3

1.化简 5

x x

?3

x
5

5

x

×2

x x

3

=



2、若 logax=logby=- 则 xy=________

1 logc2,a,b,c 均为不等于 1 的正数,且 x>0,y>0,c= ab , 2

3、 若 loga 2 ? m,loga 3 ? n, a2m?n ? ___________________ 4、已知 f(x)=2 ,g(x)是一次函数,记 F(x)=f[g(x)],并且点(2, 的图像上,又在 F (x)的图像上,则 F(x)的解析式为 5、若 lg2=a,lg3=b,则 log512=________ 若 2a ? 5b ? 10 ,则 计算、解答 1、 2(lg 2 ) ? lg 2 ? lg 5 ?
2
-1 x

1 )既在函数 F(x) 4
.

_____

1 1 ? = a b

.

(lg 2 ) 2 ? lg 2 ? 1

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LTMI 专用理科学案【 数学 】

2、 log 2

1 1 1 ? log 3 ? log 5 25 8 9

3、 (log4 3 ? log8 3)(log3 2 ? log9 2)

4、(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258)

5、设 0<a<1,解关于 x 的不等式 a

2 x 2 ?3 x ?1

>a

x 2 ? 2 x ?5



6、设 x, y, z ? (0,??) 且 3 ? 4 ? 6
x y

z

,求证:

1 1 1 ? ? . x 2y z

7、若 f(x)=1+log x 3, g(x)=2log x 2, 试比较 f(x)与 g(x)的大小.

8、已知碳 14 的半衰期为 5730 年 (半衰期指一半的元素衰变所需要的时间) 。 且物质的衰变 与时间满足一定的规律:衰变量 P ?

at ,其中 t 为时间。

又得知马王堆汉墓女尸出土时的碳 14 含量为原有含量的 76.7%,推算马王堆古墓的年代。

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