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高三数学第一次月考试题


2012 年第一次月考试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分) 1. (2010·银川一中第三次月考)已知 M={x|x2>4}, N = ? x ( ) A.{x|1<x≤2 }

?

2 ? ≥ 1? , 则 CRM∩N= ? x ?1 ?
D.{x|x<2} 的定义域是 ( )

B.{x|-2≤x≤1}

C.{x|-2≤x<1 }

2. (2010··重庆四月模拟试卷) 函数

y=

x ?1 +

1 lg(2 ? x )

, A. (1 2 )

, B. [1 4]

C.

2 [1,)

, D. (1 2]

3. (理)(2010·全国卷 I)记 cos( ?80° ) = k ,那么 tan100° =

( )

1? k2 A. k

1? k 2 B. ? k

C.

k 1? k
2

D. ?

k 1? k 2

(文)(2010··全国卷 I) cos 300° = A?

( ) D

3 2

B?

1 2

C

1 2

3 2
22π ,则 tan a6 3

4(理) (2010·宣武一模)若 {an } 为等差数列, Sn 是其前 n 项和,且 S11 = 的值为( ) A. 3 B. ? 3 C. ± 3 D. ?

3 3

4.(文)(2010·茂名二模)在等差数列 {an } 中,已知 a1 = 1, a2 + a4 = 10, an = 39, 则 n =




A.19 B.20 C.21 D.22

5. (2010·太原五中 5 月月考)在等比数列 {a n } 中,前 n 项和为 S n ,若 S 3 = 7, S 6 = 63

则公比 q 等于( )
A.-2 B .2 C.-3 D.3

6. (2010·曲靖一中冲刺卷数学)函数 f(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 x∈(0,1)时,

f(x)= x+1,则函数 f(x)在(1,2)上的解析式为
A.f(x)= 3-x B.f(x)= x-3 C.f(x)= 1-x D.f(x)= x+1





7. (理) (2010·曲靖一中高考冲刺卷)已知 tan α = 2 ,则 A.

2sin 2 α + 1 = sin 2α





5 3

B. ?

13 4

C.

13 5

D.

13 4

7.(文) (2010·唐山一中高考冲刺试卷)若

4 π sin(α ? β ) sin β ? cos(α ? β ) cos β = , 且α 是第二象限的角,则 tan( + a ) = 5 4
( ) A.7 B.-7 C.

1 7
? ?

D. ?

1 7

8. (2010·浙江五校二联)已知角 α 的终边上一点的坐标为 ? sin 最小正值为( ) A.

5π 5π ? , cos ? , 则角 α 的 6 6 ? 11π 6

5π 6

B.

2π 3

C.

5π 3

D.

9.已知数列{ an }的前 n 项和 S n = n 2 ? 9n ,第 k 项满足 5 < ak < 8 ,则 k = ( ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

10.(理)(2010·全国卷 II)为了得到函数 y = sin(2 x ?

π
3

) 的图象,只需把函数

y = sin(2 x + ) 6
A. 向左平移 C. 向左平移

π

π
4

个长度单位 个长度单位

B. 向右平移 D. 向右平移

π
4

个长度单位 个长度单位

π
2

π
2

(文) (2010·四川卷)将函数 y = sin x 的图象上所有的点向右平行移动

π
10

个单位长度,

再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图象的函数解析式是 ( ) A. y = sin(2 x ?

π 1 π 1 π ) B. y = sin(2 x ? ) C. y = sin( x ? ) D . y = sin( x ? ) 10 5 2 10 2 20

π

11. (2010·南宁二模)设数列 {an } 是等差数列,且 a2=-8, a15=5, Sn 是数列 {an } 的前 n 项

和,则 ( ) A. S10 = S11 B. S10 > S11 C. S9 = S10 D. S9 < S10

12.已知 {an } 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 + a4 + a6 =99,以 S n 表示 {an } 的前 n 项 和,则使得 S n 达到最大值的 n 是 A.21 B.20 C.19 D. 18 ( )

二填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (2010·南山中学热身考试)函数 y = sin x + 2 cos 2

x 的最大值是 2

.

14(2010·青岛二摸)已知点 P ? sin

? ?

3 3 ? π , cos π ? 落在角 θ 的终边上,且 θ ∈ [0, 2π ) ,则 4 4 ?

π? ? tan ? θ + ? 的值为 3? ?

;

15(2010·隆尧一中五月模拟)定义:我们把满足 a n + a n ?1 = k ( n ≥ 2, k 是常数)的数 列叫做等和数列,常数 k 叫做数列的公和.若等和数列 {a n } 的首项为 1,公和为 3,则该数 . 列前 2010 项的和 S 2010 =

16. (2010·衡水一中 4 月月考)已知函数 f ( x)与g ( x) 的定义域均为非负实数集,对任意

x ≥ 0 ,规定 f ( x ) ? g ( x ) = min{ f ( x ), g ( x )} ,若 f ( x ) = 3 ? x, g ( x ) = 2 x + 5 ,则
f ( x ) ? g ( x ) 的最大值为


三解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17 等比数列 {an } 中,已知 a1 = 2, a4 = 16 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项,试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和 S n . 18(理) (2010·海南卷)设数列 {an } 满足 a1 = 2 , an +1 ? an = 3 ? 2 2 n ?1 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn = nan ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . 18(文) (2010·海南卷)设等差数列 {an } 满足 a3 = 5 , a10 = ?9 . (1)求 {an } 的通项公式;

(2)求 {an } 的前 n 项和 S n 及使得 S n 最大的序号 n 的值. 19(2010·崇文二模) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 x 轴为始边作两个锐角 α , β , 它们的终边分别与单位圆交于 A, B 两点.已知 A, B 的横坐标分别为 (1)求 tan(α + β ) 的值; α (2)求 2α + β 的值. 且 a3=5,S15=225. (1)求数列{an}的通项 an; (2)设 bn= 2 n +2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 21(理)已知向量 a =(cos 3 x,sin 3 x) b =(cos ? ,sin ? ) < ? < , (0
a

5 7 2 . , 5 10

A
β

B

20.(2010·宁德三县市一中第二次联考)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,

O

x

π) .设函数

f ( x ) = a · b ,且 f ( x ) + f ′(x ) 为偶函数.
(1)求 ? 的值; (2)求 f ( x ) 的单调增区间. 21 ( 文 ) ( 2010 · 唐 山 一 中 高 考 冲 刺 试 卷 ) 已 知 函 数

1 f ( x) = ( 3 sin ω x + cos ω x) cos ω x ? (ω > 0) 的最小正周期为 4π . 2 (1)求 f ( x ) 的单调递增区间;
(2)在

ABC 中 , 角 A , B , C 的 对 边 长 分 别 是 a , b , c 满 足 (2a ? c ) cos B = b cos C ,求函数 f ( A) 的取值范围.

22(理) (2010··黄冈中学高三年级适应性考试(五月))设函数 f ( x) = ( x + 1) ln( x + 1) . (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若对所有的 x ≥ 0 ,均有 f ( x) ≥ ax 成立,求实数 a 的取值范围. 22 ( 文 ) 2010 · 黄 冈 中 学 高 三 年 级 适 应 性 考 试 ( 五 月 ) ) 已 知 f ( x ) = 2 x 3 ? 5 x, (
g ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c, x ∈ (0, +∞ ) ,设 (1, f (1)) 是曲线 y = f ( x ) 与 y = g ( x) 的一个公共点,

且在此点处的切线相同.记 g ( x) 的导函数为 g ′( x) ,对任意 x ∈ (0, +∞) 恒有 g ′( x) > 0 . (1)求 a, b, c 之间的关系(请用 b 表示 a、c) ; (2)求 b 的取值范围; (3)证明:当 x ∈ (0, +∞) 时, f ( x) ≥ g ( x) .

参考答案 一选择题 1【答案】A

【解析】依题意,M={x|x<-2 或 x>2},N={x|1<x≤3},所以 CRM∩N={x|1<x≤2 } . 2【答案】A

?x ?1 ≥ 0 ? 【解析】由题意得 ? 2 ? x > 0 ,解得 1 < x < 2 . ? ?lg ( 2 ? x ) ≠ 0
3(理) 答案】B ( 【答案】 【答案
° ° ° ° ° 解析】依题意, 所以 【 解析】依题意, cos( ?80 ) = cos 80 =k, sin 80 = 1 ? cos 80 = 1 ? k ,所以 tan100

2

°

2

° = ? tan 80 = ?

1? k 2 ,选择 B. 选择 k
1 . 2
2 π . tan a6 = ? 3 , 3

3.(文) 【答案】C 【解析】 cos 300° = cos ( 360° ? 60° ) = cos 60° = 4(理) 【答案】B 【解析】由 a1 + a11 = a2 + a10 = L = a5 + a7 = 2a6 ,可得 S11 = 11a6 ,∴ a6 = 选择 B. 4.(文) 【答案】B

【解析】依题意,设公差为 d,则由 ?

?a1 = 1 得 d = 2 ,所以 1+2(n-1)=39,所以 ?2a1 + 4d = 10

n=20,选择 B . 5【答案】B 【 解 析 】 依 题 意 , a1 + a2 + a3 = 7 , a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 63 , 所 以

a4 + a5 + a6 = 56 ,因此 q3=8,q=2,选择 B
6【答案】A 【解析】∵x∈(0,1)时,f(x)= x+1, f ( x ) 是以 2 为周期的偶函数,∴x∈(1,2)(x-2) , ∈(-1,0), f ( x ) = f ( x ? 2) = f (2 ? x ) =2-x+1=3 ? x,选择 A. 7(理) 【答案】D 【解析】∵ tan α = 2, ∴ 选择 D. (文) 【答案】C 【解析】依题意,由 sin(α ? β ) sin β ? cos(α ? β ) cos β =

2sin 2 α + 1 3sin 2 α + cos 2 α 3 1 1 13 = = tan α + cot α = 3 + = . sin 2α 2sin α cos α 2 2 4 4

4 4 得 cos α = ? ,又 α 是第二 5 5

3 π 1? 4 1 3 象限角,所以 tan α = ? , tan(α + ) = = ,选择 C. 4 4 1+ 3 7 4
8【答案】C 【解析】依题意,点 ? sin

? ?

5π 5π , cos 6 6

3? ? ?1 ? 为 ? 2 , ? 2 ? ,角 α 在第四象限,且 tan α = ? ? ? ? ? ?

3 ,所以角 α 的最小正值为
9【答案】B

5π ,选择 C. 3

【解析】依题意,n=1 时,a1=-8,当 n≥2 时,an=2n-10, a1=-8 适合上式,所以 an=2n-10, 由 5 < ak < 8 得 5 < 2k ? 10 < 8 ,解得 7.5 < k < 9 ,所以 k=8,选择 B.

10(理) 【答案】B 【 解 析 】 y = sin(2 x +

π
6

) = sin 2( x +

) , y = sin(2 x ? ) = = sin 2( x ? ) , 所 以 将 12 3 6

π

π

π

y = sin(2 x + ) 的图像向右平移 个长度单位得到 y = sin(2 x ? ) 的图像,故选 B. 6 4 3
(文) 【答案】C 【解析】将函数 y = sin x 的图象上所有的点向右平行移动 的解析式为 y=sin(x-

π

π

π

π
10

个单位长度,所得函数图象

π
10

),再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所

得图象的函数解析式是 y = sin( x ? 11【答案】C 【解析】设公差为 d,则 d= 选择 C. 12【答案】B 【答案】

1 2

π
10

).

5+8 =1 ,所以 an=n-10,因此 S9 = S10 是前 n 项和中的最小值, 15-2

【解析】由 a1 + a3 + a5 =105 得 3a3 = 105, 即 a3 = 35 ,由 a2 + a4 + a6 =99,得 3a4 = 99 即 a4 = 33 ,∴ d = ?2 , an = a4 + ( n ? 4) × ( ?2) = 41 ? 2n ,由 ? 选择 B. 二填空题

?an ≥ 0 得 n = 20 , ?an +1 < 0

13【答案】 1 + 2 【解析】依题意, y = sin x + 2 cos 14【答案】 2 ? 3 【解析】依题意 tan θ = ? 1, tan(θ + 15【答案】3015 【 解 析 】
2

x π =sinx+cosx+1= 2sin(x+ )+1 ,所以最大值为 1 + 2 . 4 2

π
3

)=

-1+ 3 =2? 3 . 1+ 3 得

a2 + a1 = 3, a4 + a3 = 3, ???, a2010 + a2009 = 3,

S 2010 =

2010 × 3 = 3015 . 2

y M

16【答案】 2 3 ? 1 【解析】如图所示, f ( x ) ? g ( x ) 所表示的函数的图象也就是图中 的 实 线 部 分 , 其 最 大 值 即 为 点 M 的 纵 坐 标 . 由

y = 2 x + 5( y ≥ 0), x = 3 ? y ? y + 2 y ? 11 = 0
2 2





?

5 2

O

3

x

y = ?1 ± 2 3, 取y = 2 3 ? 1 ,即 f ( x ) ? g ( x ) 的最大值为 2 3 ? 1 .

三解答题 17 解 :( 1 ) 设 {an } 的 公 比 为 q , 由 已 知 得 16 = 2q 3 , 解 得 q = 2 . 所 以

an = a1 q n ?1 = 2 2n ?1 = 2n.
(2)由(1)得 a3 = 8 , a5 = 32 ,则 b3 = 8 , b5 = 32 设 {bn } 的公差为 d , .

则有 ?

?b1 + 2d = 8 ?b1 = ?16 解得 ? ,从而 bn = ?16 + 12( n ? 1) = 12n ? 28 , ?d = 12 ?b1 + 4d = 32
n(?16 + 12n ? 28) = 6n 2 ? 22n . 2
= 3(22 n ?1 + 22 n ?3 + L + 2) + 2

所以数列 {bn } 的前 n 项和 S n =

18(理)解: 解 (1)由已知,当 n ≥ 1 时,

an +1 = [( an +1 ? an ) + ( an ? an ?1 ) + L + ( a2 ? a1 )] + a1
= 2 2( n+1) ?1.
而 a1 = 2 , 所以数列 {a n } 的通项公式为 a n = 2 2 n ?1 .

(2)由 bn = nan = n 2 2 n ?1 知 S n = 1 2 + 2 23 + 3 25 + L + n 2 2 n ?1 ①

从而 2 2 S n = 1 23 + 2 25 + 3 27 + L + n 2 2 n +1 ①

② , 即

?





(1 ? 2 2 ) S n = 2 + 23 + 25 + L + 22 n ?1 ? n 22 n +1

1 S n = [(3n ? 1) 2 2 n +1 + 2]. 9
18 ( 文 ) 解 : 1 ) 由 a n = a1 + ( n ? 1) d及a3 = 5, a10 = ?9 得 ? (

?a1 + 2d = 5, 可解得 ?a1 + 9d = ?9.

?a1 = 9, 数列 {a n } 的通项公式为 a n = 11 ? 2n. ? ?d = ?2.
(2)由(1)知 S n = na1 + 时, S n 取得最大值. 19 解 :( 1 ) 由 已 知 得 : cos α =

n(n ? 1) d = 10n ? n 2 . 因为 S n = ?(n ? 5) 2 + 25, 所以当 n=5 2
5 7 2 . ∵ α,β 为 锐 角 , ∴ , cos β = 5 10

sin α =

2 5 2 . ,sin β = 5 10 2+

1 tan α + tan β 1 7 = 3. = ∴ tan α = 2, tan β = . ∴ tan(α + β ) = 7 1 ? tan α tan β 1 ? 2 × 1 7
( 2 ) ∵

tan 2α =

2 tan α 4 4 = =? 2 1 ? tan α 1 ? 4 3





4 1 ? + tan 2α + tan β 3 7 = ?1 . tan(2α + β ) = = 1 ? tan 2α tan β 1 ? ( ? 4 ) × 1 3 7
Q α , β 为锐角,∴ 0 < 2α + β <

3π 3π ,∴ 2α + β = . 2 4

? a1 + 2 d = 5 ? 20 解: (1)设等差数列{an}首项为 a1,公差为 d,由题意,得 ? , 15 × 14 ?15a1 + 2 d = 225 ?
解得 ?

?a1 = 1 ,∴an=2n-1. ?d = 2

1 n ? 4 + 2n , 2 ∴ Tn = b1 + b2 + L + bn
(2) bn = 2
an

+ 2n =

=

1 (4 + 4 2 + L + 4 n ) + 2(1 + 2 + L + n) 2

4 n +1 ? 4 = + n2 + n 6 = 2 n 2 ? 4 + n2 + n ? . 3 3

21(理)解:(1) f ( x ) = a · b = cos 3 x cos ? +sin 3 x sin ? = cos( 3 x- ? ) , 所以 f ( x ) + f ′(x ) = cos( 3 x- ? )- 3 sin( 3 x- ? )=2 cos( 3 x- ? + 而 f ( x ) + f ′(x ) 为偶函数,则有- ? +

π
3

) ,

π
3

= k π ,k ∈ Z,又 0 < ? < π ,则 k=0,即 ? =

π
3

.

(2)由(1)得 f ( x ) = cos( 3 x- (2k π -

π
3

) ,由 2k π - π ≤

3 x-

π
3

≤ 2k π ,解得

1 3

2π )≤x≤ 3

1 2 3 2 3 2 3 3 π (2k π + ) ,即此函数的单调增区间为 [ . kπ ? π, kπ + π ] (k ∈ Z) 3 3 9 3 9 3
(文)解: (1) f ( x) =

3 sin ω x cos ω x + cos 2 ω x ?

1 π = sin(2ω x + ) 2 6

QT =

2π 1 1 π = 4π ,∴ ω = ,∴ f ( x) = sin( x + ) 2ω 4 2 6 4π 2π , 4 kπ + ](k ∈ Z ) 3 3

∴ f ( x ) 的单调递增区间为 [4kπ ?

(2)Q (2a ? c ) cos B = b cos C , ∴ 2sin A cos B ? sin C cos B = sin B cos C

1 π 2 sin A cos B = sin( B + C ) = sin A,∴ cos B = ,∴ B = 2 3 1 π 2π π A π π 1 Q f ( A) = sin( A + ), 0 < A < ,∴ < + < ,∴ f ( A) ∈ ( ,1) 2 6 3 6 2 6 2 2
22(理)解: 解 (1)由 f ′( x) = ln( x + 1) + 1 ≥ 0 得 x ≥ ? 1 ,∴ f ( x ) 的增区间为 [ ? 1, +∞) ,减区 间为 (?1, ? 1] .
1 e 1 e 1 e

(2)令 g ( x) = ( x + 1) ln( x + 1) ? ax .“不等式 f ( x) ≥ ax 在 x ≥ 0 时恒成立” ? “ g ( x) ≥ g (0) 在 x ≥ 0 时恒成立.”
g ′( x ) = ln( x + 1) + 1 ? a = 0 ? x = e a ?1 ? 1 .

当 x ∈ ( ?1, e a ?1 ? 1) 时, g ′( x) < 0, g ( x) 为减函数. 当 x ∈ (e a ?1 ? 1, +∞ ) 时, g ′( x) > 0, g ( x) 为增函数. “ g ( x) ≥ g (0) 在 x ≥ 0 时恒成立” ? “ ea?1 ? 1 ≤ 0 ”,即 ea?1 ≤ e0 , 即 a ? 1 ≤ 0 ,即 a ≤ 1 . 故 a 的取值范围是 ( ?∞,1] . 22(文)解: 解 (1) f ′( x ) = 6 x 2 ? 5, f (1) = ?3, f ′(1) = 1 , g ′( x ) = 3 x 2 + 2ax + b, g (1) = 1 + a + b + c,
? a + b + c + 4 = 0, b b g ′(1) = 3 + 2a + b .由条件可得 ? 故 a = ? ? 1 , c = ?3 ? . 2a + b + 2 = 0, 2 2 ?

(2)∵当 x ∈ (0, +∞) 时, g ′( x ) = 3 x 2 + 2ax + b > 0 恒成立,
? ≥ 0, ? ? 2a ? ∴ ? = 4a 2 ? 12b < 0 ,或 ? ? ≤ 0, 得 b ∈ (4 ? 2 3, 4 + 2 3) . 6 ? ? g ′(0) = b ≥ 0, ?

(3)令 F ( x) = f ( x) ? g ( x) ,则 F (1) = 0 , F ′( x ) = 3 x 2 ? 2ax ? b ? 5 = 3 x 2 + (b + 2) x ? b ? 5
= (3 x + b + 5)( x ? 1) .∵ x ∈ (0, +∞), b ∈ (4 ? 2 3, 4 + 2 3) ,∴ 3 x + b + 5 > 0 .

当 x ∈ (0,1) 时, F ′( x) < 0, F ( x) > F (1) = 0 ;当 x ∈ (1, +∞) 时, F ′( x) > 0, F ( x) > F (1) = 0 . 综上,当 x ∈ (0, +∞) 时, F ( x) ≥ 0 ,即 f ( x ) ? g ( x) ≥ 0 ,即 f ( x) ≥ g ( x) .


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