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100测评网江苏省南京师大附中2008—2009学年度第1学期高三期中考试数学试卷


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江苏省南京师大附中 2008—2009 学年度第 1 学期高三期中考试数学试卷
命题人:江卫兵 审题人:孙居国
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.设集合 U ? ?1,2,3,4,5?, A ? ?1,2

?, B ? ?1,3? ,则 ?U ( A 2.已知 ? 为第三象限角,则 tan

B) ?





?
2

的符号为



(填“正”或“负”);

3.设 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对边的长分别是 a 、 b 、 c ,且 4.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3a8 ? a15 ? 60 ,则 2a9 ? a10 的值为 那么 ? A ? ▲ ;

a c ? , cos A sin C




5.若函数 f ( x) ? 3 sin(?x ? ? )(? ? 0) 的图象的相邻两条对称轴的距离是 2? ,则 ? 的 值为 ▲ ; 6.若函数 f ( x) ? lg(mx2 ? mx ? 1) 的定义域为 R ,则 m 的取值范围是 ▲ ;

i?2 ? a ? bi (a, b ? R ) ,则 a ? b ? ▲ ; 1? i ?x ? 1 ? 8.已知变量 x 、 y 满足条件 ? x ? y ? 0 则 z ? x ? y 的最大值是 ?x ? 2 y ? 9 ? 0 ?
7.设复数 9.函数 y ? x ? 2sin x 在(0, 2? )内的单调增区间为 ▲ ;





10 .若 ΔABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c ,向量 m ? ?a ? c, b ? a? ,

n ? (a ? c, b) ,若 m ? n ,则∠ C 等于



; ▲ ;

11.已知等比数列 {an } 中, a3 ? 3, a6 ? 24 ,则该数列的通项 an =

12.已知函数 f ( x) 是 R 上的减函数, A(0,?2), B(?3,2) 是其图象上的两点,那么不等式 | f ( x ? 2) |? 2 的解集是
2




2

* 13.若 f ( n) 为 n ? 1 (n ? N ) 的各位数字之和,如 14 ? 1 ? 197 , 1 ? 9 ? 7 ? 17 ,

则 f (14) ? 17 ;记 f1 (n) ? f (n) , f2 (n) ? f ( f1 (n)) ,…, f k ?1 (n) ? f ( f k (n)) , k ? N ,
*

则 f 2008 (8) ?





14.下列表中的对数值有且仅有一个是错误的:

x
lg x

3

5

8

9

15

2a ? b

a?c


3 ? 3a ? 3c
= ▲ ;

4a ? 2b

3a ? b ? c ? 1

请将错误的一个改正为 lg

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南京师大附中 2008—2009 学年度第 1 学期 高三年级期中考试数学答题卷
班级 学号 ______ 姓名 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. 5. 9. 13. ;2. ;6. ;10. ;14. lg = ;3. ;7. ;11. ;4. ;8. ;12. . 得分

; ; ;

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (本小题满分 14 分)已知 0 ? ? ?

?
2

,且 sin ? ?

3 5

(1)求

sin 2 ? ? sin 2? 的值; cos2 ? ? cos 2?

(2)求 tan? ? ?

? ?

5 ? ? ? 的值. 4 ?

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△ ACD 是等边三角形, △ ABC 是等腰直角三角形, ∠ACB ? 90 , 16. (本小题满分 14 分) 如图,
BD 交 AC 于 E , AB ? 2 .
(Ⅰ)求 cos ?CBE 的值; (Ⅱ)求 AE . E B D C

A

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17. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ? (1)求常数 c 的值;

?cx ? 1,
4c 2c

0? x?c

?3 x ? x , c ? x ? 1

满足 f (c ) ?
2

9 ; 8

(2)解不等式 f ( x) ? 2 .

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18. (本题满分 16 分) 某市旅游部门开发一种旅游纪念品, 每件产品的成本是 15 元, 销售价是 20 元,月平均销售 a 件.通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果 表明,如果产品的销售价提高的百分率为 x ? 0 ? x ? 1? ,那么月平均销售量减少的百分率为 x .
2

记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是 y (元). (1)写出 y 与 x 的函数关系式; (2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.

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19. (本小题满分16分)把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表(每行比 上一行多一个数) .设 aij (i, j ? N ? ) 是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数的第

j 个数(如 a42 ? 8 ) .
⑴试用 i 表示 aii (不要求证明) ; ⑵若 aij ? 2008 ,求 i , j 的值;

,( n 1 ? ) ?1 ? ⑶记三角形数表从上往下数第 n 行的各数之和为 bn , 令 cn ? ? n , 若数列 {cn } 的前 n ,( n ? 2 ) ?b ? n ? n
项和为 Tn ,求 Tn . 2 4 7 5 8 9 ………… 1 3 6 10

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20. (本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x ) ?

1 2 ax ? bx (a ? 0) 2

(I)若 a ? ?2 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围; (II)在(I)的结论下,设 ? ( x) ? e 2 x ? bex , x ? [0, ln 2] ,求函数 ? ( x) 的最小值; (III)设函数 f ( x) 的图象 C1 与函数 g ( x) 的图象 C2 交于点 P 、Q ,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴 的垂线分别交 C1 、C2 于点 M 、N , 问是否存在点 R , 使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N 处 的切线平行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由.

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南京师大附中 2008—2009 学年度第 1 学期 高三年级期中考试数学试卷(解答)
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.设集合 U ? ?1,2,3,4,5?, A ? ?1,2?, B ? ?1,3? ,则 CU ( A 2.已知 ? 为第三象限角,则 tan

B) ?



;{4,5} 负

?
2

的符号为



(填“正”或“负”);

3.设 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对边的长分别是 a 、 b 、 c ,且 那么 A ? ▲ ;

? 4

a c ? , cos A sin C

4.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3a8 ? a15 ? 60 ,则 2a9 ? a10 的值为



; 12

5.若函数 f ( x) ? 3 sin(?x ? ? )(? ? 0) 的图象的相邻两条对称轴的距离是 2? ,则 ? 的

1 2 6.若函数 f ( x) ? lg(mx2 ? mx ? 1) 的定义域为 R ,则 m 的取值范围是 i?2 ? a ? bi (a, b ? R ) ,则 a ? b ? 7.设复数 ▲ ; 1 1? i ?x ? 1 ? 8.已知变量 x 、 y 满足条件 ? x ? y ? 0 则 z ? x ? y 的最大值是 ?x ? 2 y ? 9 ? 0 ?
值为 ▲ ; 9.函数 y ? x ? 2sin x 在(0, 2? )内的单调增区间为 ▲ ;(



; [0, 4)



; 6

? 5?
3 , 3

)

10 .若 ΔABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c ,向量 m ? ?a ? c, b ? a? , π ▲ ; n ? (a ? c, b) ,若 m ? n ,则∠ C 等于 3 - 11.已知等比数列{an}中,a3=3,a6=24,则该数列的通项 an=______3·2n 3________. 12.已知函数 f ( x) 是 R 上的减函数, A(0,?2), B(?3,2) 是其图象上的两点,那么不等式 | f ( x ? 2) |? 2 的解集是
2



; (??,?1) ? (2,??)
2

* 13.若 f ( n) 为 n ? 1 (n ? N ) 的各位数字之和,如 14 ? 1 ? 197 , 1 ? 9 ? 7 ? 17 ,

则 f (14) ? 17 ;记 f1 (n) ? f (n) , f2 (n) ? f ( f1 (n)) ,…, f k ?1 (n) ? f ( f k (n)) , k ? N ,
*

则 f 2008 (8) ?



; 11

14.下列表中的对数值有且仅有一个是错误的: x 3 5 8

9

15

lg x

2a ? b

a?c

3 ? 3a ? 3c
3a-b+c

4a ? 2b

3a ? b ? c ? 1

请将错误的一个改正为 lg 15 =

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分)

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15. (本小题满分 14 分)已知 0 ? ? ?
2

?
2

,且 sin ? ?

3 5

sin ? ? sin 2? 的值; cos2 ? ? cos 2? 5 ? ? (2)求 tan? ? ? ? ? 的值. 4 ? ? ? 4 3 3 解:(1)由 sin ? = 又 0< ? < ∴ cos ? = ,tan ? = 5 5 4 2 2 2 sin ? ? sin 2? sin ? ? 2 sin ? ? cos? ? ∴ cos2 ? ? cos2? 2 cos2 ? ? sin 2 ? 3 3 ( )2 ? 2 ? tan2 ? ? 2 tan? 4 ? 33 = ? 4 2 3 23 2 ? tan ? 2 ? ( )2 4 5 3 tan? ? tan ? ?1 5 tan ? ? 1 1 4 (2)tan( ? ? ? ) ? ? ? 4 ?? 5 3 4 1 ? tan? 7 1 ? tan? ? tan ? 1? 4 4
(1)求 16.(本小题满分 14 分) 如图, △ ACD 是等边三角形, △ ABC 是等腰直角三角形, ∠ACB ? 90 , BD 交 AC 于 E , AB ? 2 . (Ⅰ)求 cos ?CBE 的值; D (Ⅱ)求 AE . C 解: (Ⅰ)因为∠BCD ? 90 ? 60 ? 150 ,

CB ? AC ? CD , 所以∠CBE ? 15 .
所以 cos∠CBE ? cos(45 ? 30 ) ?

E A B

(Ⅱ)在 △ ABE 中, AB ? 2 ,由正弦定理

6? 2 . 4

2sin 30 AE 2 ? . 故 AE ? ? cos15 sin(45 ? 15 ) sin(90 ? 15 )
17. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ?

2?

1 2

6? 2 4
9 ; 8

? 6? 2.

?cx ? 1,
4c 2c

0? x?c

?3 x ? x , c ? x ? 1

满足 f (c ) ?
2

(1)求常数 c 的值; (2)解不等式 f ( x) ? 2 .
2 解: (1)因为 0 ? c ? 1 ,所以 c ? c ; 由 f (c ) ?
2

9 9 1 3 ,即 c ? 1 ? , c ? 8 8 2

?1 1? ? ?? ? x ? ? ? 2 x ? 1, 2? ? ? (2)由(1)得 f ( x) ? ? ?? ? ?3 x 2 ? x, ≤ x ? 1? ? ? ?? ? ?

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1 1 时,解得 0 ? x ? , 2 2 1 1 2 ? 2? 2 当 ≤ x ? 1 时, 3x ? x ? 2 ? 0 解得 ≤ x ? , 所以 f ( x) ? 2 的解集为 ? x 0 ? x ? ? . 2 2 3 3? ?
由 f ( x) ? 2 得,当 0 ? x ? 18. (本题满分 16 分) 某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是 15 元,销售价是 20 元,月平均销售 a 件.通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的 销售价提高的百分率为 x ? 0 ? x ? 1? ,那么月平均销售量减少的百分率为 x .记改进工艺后,旅
2

游部门销售该纪念品的月平均利润是 y (元). (1)写出 y 与 x 的函数关系式; (2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
2 18、 (1)改进工艺后,每件产品的销售价为 20 ?1 ? x ? ,月平均销售量为 a 1 ? x 件,则月平均 2 2 3 利润 y ? a 1 ? x ? ? , ∴ y 与 x 的函数关系式为 y ? 5a 1 ? 4 x ? x ? 4 x ? 20 ?1 ? x ? ? 15? ?(元)

?

?

?

?

?

?

? 0 ? x ? 1?
2 (2)由 y ? ? 5a 4 ? 2 x ? 12 x ? 0 得 x1 ?

?

?

1 2 , x ? ? (舍) 2 3

当0 ? x ?

1 1 2 3 时 y ? ? 0 ; ? x ? 1 时 y ? ? 0 ,∴ 函数 y ? 5a ?1 ? 4 x ? x ? 4 x ? ? 0 ? x ? 1? 在 2 2 1 ? 1? x ? 取得最大值.故改进工艺后,产品的销售价为 20 ?1 ? ? ? 30 元时,旅游部门销售该纪念 2 ? 2?

品的月平均利润最大. 19. (本小题满分16分)把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表(每行比 上一行多一个数) .设 aij (i, j ? N ) 是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数的第
?

j 个数(如 a42 ? 8 ) .
2 ⑴试用 i 表示 aii (不要求证明) ; ⑵若 aij ? 2008 ,求 i , j 的值; 7 4

1 3 5 8 9 ………… 6 10

,( n 1 ? ) ?1 ? ⑶记三角形数表从上往下数第 n 行的各数之和为 bn , 令 cn ? ? n , 若数列 {cn } 的前 n 2 ) ? b ? n ,( n ? ? n
项和为 Tn ,求 Tn . 解: (1)∵ 三角形数表中前 n 行共有 1 ? 2 ?

?n?

n(n ? 1) 个, 2

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i (i ? 1) 2 i (i ? 1) ? 2008 的最小正整数解. (2)由题意,先求使得 i 是不等式 2 i (i ? 1) ? 2008 ,得 i 2 ? i ? 4016 ? 0 由 2 ?1 ? 16065 ?1 ? 15876 ?1 ? 126 * ∵i ? N ,∴i ? ? ? ? 62.5 ,∴i ? 63 2 2 2 62 ? 63 63 ? 64 ? 1953, ? 2016 ∴i ? 63 ) (另解:∵ 2 2 62 ? 63 ? 1 ? 1954 , 故 j ? (2008 ? 1954) ? 1 ? 55 于是,第 63 行的第一个数是 2 1 n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)(n 2 ? n ? 2) [ ? 1] ? (3)前 n 行的所有自然数的和为 Sn ? ? 2 2 2 2 2 n(n ? 1) n 2 1 1 则 bn ? Sn ? Sn ?1 ? ,所以,当 n ? 2 时, cn ? , ? 2 ? ? 2 bn ? n n ? 1 n ? 1 n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) 1 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 1 1 1 5 1 1 5 2n ? 1 ? 1?1? ? ? ? ? ? ? ? 2 n n ? 1 2 n n ? 1 2 n(n ? 1) 5 2n ? 1 (n ? N ? ) 当 n ? 1 时, Tn ? 1 也适合,?Tn ? ? 2 n(n ? 1)
即第 i 行的最后一个数是 ∴aii = 20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x ) ?

i (i ? 1) 2

1 2 ax ? bx (a ? 0) 2

(I)若 a ? ?2 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围; (II)在(I)的结论下,设 ? ( x) ? e
2x

? bex , x ? [0, ln 2] ,求函数 ? ( x) 的最小值;

(III)设函数 f ( x) 的图象 C1 与函数 g ( x) 的图象 C2 交于点 P 、Q ,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴 的垂线分别交 C1 、C2 于点 M 、N , 问是否存在点 R , 使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N 处 的切线平行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由. 解: (I)依题意: h( x) ? ln x ? x ? bx.
2

h( x) 在(0,+ ? )上是增函数,

1 ? 2x ? b ? 0 对 x ∈ (0,+ ? )恒成立, x 1 1 ? b ? ? 2 x, x ? 0 ,则 ? 2 x ? 2 2. ? b 的取值范围是 (??, 2 2] . x x x (II)设 t ? e , 则函数化为 y ? t 2 ? bt, t ? [1,2]. ? h?( x) ?

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b b b2 y ? (t ? ) 2 ? .?当 ? ? 1 ,即 ?2 ? b ? 2 2 时,函数 y 在[1,2]上为增函数, 2 2 4 当 t ? 1 时, ymin ? b ? 1;

当1 ? ? 当?

b b ? 2, 即 ? 4 ? b ? ?2时, 当t ? ? 时,y 2 2

min

??

b2 ; 4

b ? 2, 即b ? ?4时, 函数y在[1,2]上是减函数, 2 当 t ? 2 时, ymin ? 4 ? 2b .

?b ? 1, ? 2 ? b ? 2 2 ? 2 ? b 综上所述: ? ( x) ? ?? , ? 4 ? b ? ?2 ? 4 ?4 ? 2b, b ? ?4. ? (III)设点 P、Q 的坐标是 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),且0 ? x1 ? x2 . x ? x2 . 则点 M、N 的横坐标为 x ? 1 2 1 2 C1 在点 M 处的切线斜率为 k1 ? | x1 ? x2 ? . x x? 2 x1 ? x2
C2 在点 N 处的切线斜率为 k 2 ? ax ? b |
x ?x x? 1 2 2

?

a( x1 ? x2 ) ? b. 2

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1 ? k 2 . 即

a( x1 ? x2 ) 2 ? ? b. 则 x1 ? x2 2

2 2( x2 ? x1 ) a( x2 ? x12 ) a 2 a ? ? b( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? bx2 ) ? ( x12 ? bx1 ) x1 ? x2 2 2 2

? y2 ? y1 ? ln x2 ? ln x1 ? ln
x2 ? 1) x2 2( x2 ? x1 ) x1 ? ln ? ? x x1 x1 ? x2 1? 2 x1 2(
令 r (u ) ln u ?

x2 , x1

设u ?

2(u ? 1) x2 , u ? 1, … (1) ? 1, 则 ln u ? 1? u x1

2(u ? 1) 1 4 (u ? 1)2 , u ? 1 , 则 r ?(u ) ? ? , u ? 1, ? r ?(u) ? 0 , 所以 ? 1? u u (u ? 1)2 u (u ? 1) 2 2(u ? 1) r (u ) 在 [1, ??) 上单调递增,故 r (u ) ? r (1) ? 0 ,则 ln u ? ,与(1)矛盾! u ?1

=========================================================== 适用版本: 人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文 A 版,语文 S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新版, 外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科:

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语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级: 一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小四,小 五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字: 100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti, 教学 ,教学研究 ,在线教学 ,在线学 习,学习,测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 在线测评网,测试,在线测试,教育,在线教育, 中考,高考,中小学,中小学学习,中小学在线学习,试题,在线试题,练习,在线练习,在线练习,小学教育, 初中教育,高中教育,小升初复习,中考复习,高考复习,教案,学习资料,辅导资料,课外辅导资料,在线 辅导资料,作文,作文辅导,文档,教学文档,真题,试卷,在线试卷,答案,解析,课题,复习资料,复习专题, 专项练习,学习网,在线学习网,学科网,在线学科网,在线题库,试题库,测评卷,小学学习资料,中考学 习资料,单元测试,单元复习,单元试卷,考点,模拟试题,模拟试卷,期末考试,期末试卷,期中考试,期中 试卷 =========================================================== 本卷由《100 测评网》整理上传,专注于中小学生学业检测,练习与提升.


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