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空间向量与立体几何.板块三.用空间向量判断位置关系.学生版


板块三.用空间向量判断位置 关系 典例分析
∠ 【例1】 已知空间四边形 O A B C 中, A O B ? ∠ B O C ? ∠ A O C , OA 且
??? ? ??? ? ???? ? OB OC ?

,M 、N

分别是 O A 、 B C 的中点, G 是 M N 的中点,求证: O G

? BC



【例2】 如图,已知平行六面体

A B C D ? A1 B1 C 1 D1

的底面

A B C D 是边长为 a

的菱形,且

∠ C 1C B ? ∠ C 1C D ? ∠ B C D ? 6 0 ? ,

⑴求证: C 1 C ⑵当
CD C C1

? BD


?

的值为多少时,能使 A1 C
A1 D1

平面 C 1 B D ?

B1 C1

B C D

A

【例3】 已 知 ? A D B和

?ADC

都 是 以 D 为 直 角 顶 点 的 直 角 三 角 形 , 且

A D ? B D ? C D , B A C ? 60 ° . ? ???? ⑴求证: B D 是平面 A D C 的法向量; ???? ? ⑵若 H 是 ? ABC 的垂心,求证: D H 是平面 A B C

的法向量.

【例4】 如图,在五棱锥 S

? ABCDE

中, S A
3

?

底面 ABC D E ,
???? ? ? B C D ? ? C D E ? 120 ° .证明: B C

SA ? AB ? AE ? 2 , C ? D E ? B

, ? BAE



平面 SA B 的法向量.

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S

A E B D C

【例5】 如图,正方形 A B C D 所在平面与平面四边形 A B E F 所在平面互相垂直,? A B E 是等 腰直角三角形, AB ? AE , F A ? F E , ? A E F ? 45 ? . ⑴求证: E F ? 平面 B C E ; ⑵设线段 C D 的中点为 P , 在直线 A E 上是否存在一点 M , 使得 P M ∥ 平面 B C E ? 若存在,请指出点 M 的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由; ⑶求二面角 F ? B D ? A 的大小.
E

F

A D P C

B

【例6】 如图,在五面体 A B C D E F 中, F A ? 平面 A B C D , A D ∥ B C ∥ F E , A B ? A D ,
M

为 E C 的中点, A F

? AB ? BC ? FE ?

1 2

AD



⑴求异面直线 B F 与 D E 所成的角的大小; ⑵证明平面 A M D ? 平面 C D E ; ⑶求二面角 A ? C D ? E 的余弦值.
F E

M A B C D

【例7】 如图,在四棱锥 P
PD ? DC

? ABCD

中,底面 A B C D 是正方形,侧棱 P D
? PB

?

底面 A B C D ,

, E 是 P C 的中点,作 EF ⑴证明: P A ∥ 平面 E D B ;
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交 P B 于点 F .

2

⑵证明: P B ? 平面 E F D ; ⑶求二面角 C ? P B ? D 的大小.
P F

E

D

C B

A

【例8】 如图,矩形 A B C D 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直, B E ∥ C F ,
? B C F ? ? C E F ? 90 ? , A D ?
3

, EF ? 2 .
EF ? C

⑴ 求证: A E ∥ 平面 D C F ; ⑵ 当 A B 的长为何值时,二面角 A ?
D A

的大小为 60? ?

C

B E

F

【例9】 如 图 , 四 棱 锥
P

P ? ABCD

的底面是正方形,

PA ?

底面

A B C D, P A ? 2



? P D A ? 45 ? ,点 E

、 F 分别为棱 A B 、 P D 的中点.

F

E B

A C

D

⑴求证: A F ∥ 平面 P C E ; ⑵求证:平面 P C E ? 平面 P C D ; ⑶求三棱锥 C ? B E P 的体积.

【例10】 如图,已知矩形 A B C D 所在平面外一点 P , P A ? 平面 A B C D , E 、 F 、 G 分别是
AB

、 P C 、 C D 的中点, P A ? A B ? A D ? 1 ,

⑴求证: E F ∥ 平面 P A D ; ⑵求证: E F
? CD

, E F ? P D ,且

EF ?

1 2

PD



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⑶求直线 P D 与 A C 所成的角; ⑷求直线 A P 与平面 P C D 所成的角; ⑸求平面 P A B 与平面 P C D 所成的角.
P

F A E G B C D

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