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《解析几何》:对称问题


点关于点的对称 中心对称问题 对 称 问 题 轴对称问题 线关于线的对称

线关于点的对称

点关于线的对称

探究一、点关于点对称

例1. 已知点A(5,8) ,B(4 ,1) ,试求A点
关于B点的对称点C的坐标。

解题要点:中点公式的运用

/> 探究一、点关于点对称

A(a, b) ???? A (2m ? a,2n ? b)
O ( m,n ) '

? 注: ( x, y ) ?? ? (? x,? y )
( 0, 0 )

2013-12-24

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

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探究二、直线关于点对称
l M′(x,y) M(x1,y1)

例2.求直线l 1 : 3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的 直线l 2的方程。

有几种方法探究这个问题?

探究三、点关于直线对称
M(x1,y1) l

例3.已知点M的坐标为(-4,4),直线l 的方 程为3x+y-2=0,求点A关于直线l 的 对称点M′的坐标。

M′(x,y)

解题要点: k ? kMM′ = -1
MM′中点在l 上

探究三、点关于直线对称

A(a, b)

???
x轴

(a,?b)

??? y ?x ???
y轴

(?a, b)
(b, a)
(?b,?a)

?? ? ?

y ?? x

2013-12-24

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探究四、直线关于直线对称
l1 C1 l M(x,y) M'(x1,y1)

l2

l1'

例4. 试求直线l1:x-y-1=0关于直线 l2:2x-y+3=0
对称的直线l 的方程。 解题要点:由线关于线对称转化为点关于点对称 思考:若l1//l2, 如何求l1 关于l2的对称直线方程?

C2

探究四、直线关于直线对称

Ax ? By ? C ? 0 ??? Ax ? B(? y) ? C ? 0
x轴

???
y轴
y?x

A(? x) ? B( y) ? C ? 0

??? Ay ? Bx ? C ? 0 ?
?? ? ?
2013-12-24

y ?? x

A(? y) ? B(? x) ? C ? 0
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重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

三、课后应用篇

解决物理光学方面的问题 例1:一条光线经过点P(2,3),射到直线 x+y+1=0上,反射后,穿过点Q(1,1),求 反射线所在的直线方程。 y P(2,3)

5x ? 4 y ? 2 ? 0
4x ? 5 y ? 1 ? 0

Q(1,1) O R(-4,-3)
? 2 1? S ? ? ,? ? ? 3 3?

x x+y+1=0

轴对称应用 解决三角形中的角平分线问题
例2:已知△ABC的顶点A(4, -1),B(-4, -5),角B的 x ? y ?1 ? 0 内角平分线BE所在直线的方程为 ,求BC 边所在直线方程。

y M(0,3) O B(-4,-5) E x A(4,-1)

解决求最值的有关问题 例3:已知x,y满足x+y=0,求

( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 y 的最小值。 N(-2,3)

P O x M(3,-1)

M′(1,-3)
y=-x

练习: 1、x ? R, 求f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 13 ? x 2 ? 2 x ? 10的最小值; 2、已知l:x ? y ? 1 ? 0, 在l上找点P, 使 3 ( )P到A(4,1 1 ),B(3,4)的距离之和最小; (2)P到A(4,1 ),C(0,4)的距离之差最大。

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