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2015届高考二轮复习 专题八 第2讲 数形结合思想


专题八 数学思想方法

第 2讲

数形结合思想

思想方法概述

热点分类突破
真题与押题

思想方法概述
1. 数形结合的数学思想:包含 “ 以形助数 ” 和 “ 以数辅形 ”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形 的生动性和直观性来阐明数之间

的联系,即以形作为手段, 数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性 质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些

属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程
来精确地阐明曲线的几何性质.

2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则: (1)等价性原则.在数形结合时,代数性质和几何性质的转换 必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.有时,由于图形的 局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只 能是一种直观而浅显的说明,要注意其带来的负面效应. (2)双方性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相应的代 数抽象探求,仅对代数问题进行几何分析容易出错.

(3)简单性原则 .不要为了“数形结合”而数形结合 . 具体运用时,一要考虑是否可行和是否有利;二要 选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系、做好 转化;三要挖掘隐含条件,准确界定参变量的取值

范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线与
定二次曲线.

3.数形结合思想解决的问题常有以下几种: (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围. (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围. (3) 构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的

大小关系.
(4) 构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最

值问题和证明不等式.

(5)构建立体几何模型研究代数问题.
(6) 构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研 究最值问题. (7)构建方程模型,求根的个数. (8)研究图形的形状、位置关系、性质等.

4.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方
法与技巧,特别是在解选择题、填空题时发挥着奇 特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的

训练,以提高解题能力和速度 . 具体操作时,应注
意以下几点:

(1)准确画出函数图象,注意函数的定义域.

(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的
个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先要 把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 ( 有

时可能先作适当调整,以便于作图 ) ,然后作出两
个函数的图象,由图求解.

热点分类突破
? 热点一 ? 热点二 利用数形结合思想讨论方程的根 利用数形结合思想解不等式、求参数范围

? 热点三

利用数形结合思想解最值问题

热点一

利用数形结合思想讨论方程的根

例1

(2014· 山东)已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,

若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数 k 的取 值范围是( 1 A.(0, ) 2 C.(1,2) ) 1 B.( ,1) 2 D.(2,+∞)

解析 先作出函数f(x)=|x-2|+1的图象,
如图所示, 当直线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1,

1 当直线g(x)=kx过A点时斜率为 , 2 1 故f(x)=g(x)有两个不相等的实根时,k的范围为( 2 1). 答案 B


用函数的图象讨论方程 ( 特别是含参数的指数、
对数、根式、三角等复杂方程 ) 的解的个数是一

种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边
思 维 时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数 ) , 升 华 然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象

的代数式看作是两个熟悉函数的表达式 ( 不熟悉

的交点个数即为方程解的个数.

变式训练1
2 ? x ? +bx+c,x≤ 0, 设函数 f(x)=? 若 f(-4)=f(0),f(-2) ? ?2, x>0,

=-2,则关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4

)

解析

由f(-4)=f(0),f(-2)=-2,

?x2+4x+2,x≤0, 解得b=4,c=2,∴f(x)= ? ?2, x>0.

作出函数y=f(x)及y=x的函数图象
如图所示, 由图可得交点有3个. 答案 C

热点二

利用数形结合思想解不等式、求参数范围

例2

(1)已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R},

且 在 (0 , + ∞) 上 单 调 递 增 , 若 f(1) = 0 , 则 满 足 (-1,0)∪(0,1) x· f(x)<0的x的取值范围是____________. 解析 作出符合条件的一个函数图象

草图即可,
由图可知x· f(x)<0的x的取值范围是 (-1,0)∪(0,1).

1 (2)若不等式|x-2a|≥ 2 x+a-1对x∈R恒成立,则
? 1? ? ? - ∞ , ? a的取值范围是________. 2? ? ?

解析

1 作出y=|x-2a|和y= x+a-1的简图, 2

1 依题意知应有2a≤2-2a,故a≤ 2 .

求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的 图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两
思 个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位 维 升 置关系转化数量关系来解决问题,往往可以避 华

免烦琐的运算,获得简捷的解答.

变式训练2

(1) 设 A= {(x , y)|x2 + (y- 1)2 = 1} , B= {(x , y)|x + y+

m≥0} , 则 使 A?B 成 立 的 实 数 m 的 取 值 范 围 是
_______. 解析 集合A是一个圆x2+(y-1)2=1上的点的集合,

集合B是一个不等式x+y+m≥0表示的平面区域内的
点的集合,

要使A?B,则应使圆被平面区域所包含
(如图), 即直线x+y+m=0应与圆相切或相离 (在圆的下方),
|m+1| 而当直线与圆相切时有 =1, 2 又 m>0,所以 m= 2-1,
故 m 的取值范围是 m≥ 2-1.
答案 [ 2-1,+∞)

(2)若不等式 9-x2≤k(x+2)- 2 的解集为区间[a,b],且 b 2 -a=2,则 k=________. 解析 令 y1= 9-x2,y2=k(x+2)- 2, 在同一个坐标系中作出其图象, 因 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为[a,b] 且 b-a=2.
结合图象知 b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2 2). 2 2+ 2 又因为点(-2,- 2)在直线上,所以 k= = 2. 1+2

热点三

利用数形结合思想解最值问题

例3

(1) 已知 P 是直线 l : 3x + 4y + 8 = 0 上的动点, PA 、 PB

是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A、B是切点,C是

圆心,则四边形PACB面积的最小值为________. 解析 从运动的观点看问题,当动点P沿
直线3x+4y+8=0向左上方或右下方无穷

远处运动时,

1 1 直角三角形 PAC 的面积 SRt△PAC= |PA|· |AC|= |PA| 2 2 越来越大,从而 S 四边形 PACB 也越来越大;

当点P从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形PACB

变小,
显然,当点P到达一个最特殊的位置,即CP垂直直线l时,

S四边形PACB应有唯一的最小值,
|3×1+4×1+8| 此时|PC|= =3, 2 2 3 +4
从而|PA|= |PC|2-|AC|2=2 2. 1 所以(S 四边形 PACB)min =2× ×|PA|×|AC|=2 2. 2
答案 2 2

? ?x- 2y+1≥0, (2)已知点 P(x,y)的坐标 x,y 满足? ? ?|x|- y- 1≤0,

则 x2+y2-6x+9 的取值范围是( A.[2,4] C.[4,10] B.[2,16] D.[4,16]

)

解析 画出可行域如图,所求的x2+y2-

6x+9=(x-3)2+y2是点Q(3,0)到可行域上
的点的距离的平方, 由图形知最小值为Q到射线x-y-1=0

(x≥0)的距离d的平方,最大值为|QA|2=16.
|3-0-1| 2 2 ∵d =( 2 ) = ( 2) =2. 2 1 +?-1?
2

∴取值范围是[2,16]. 答案 B

(1) 在几何的一些最值问题中,可以根据图形的 性质结合图形上点的条件进行转换,快速求得
思 维 (2) 如果 ( 不 ) 等式、代数式的结构蕴含着明显的 升 几何特征,就要考虑用数形结合的思想方法来 华

最值.

解题,即所谓的几何法求解.

变式训练3
(1)(2013· 重庆)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是

直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为( B )
A.6 B.4 C.3 D.2

解析
为 2,

由题意,知圆的圆心坐标为 (3,-1),圆的半径长

|PQ|的最小值为圆心到直线 x=-3的距离减去圆的半径长,
所以|PQ|min=3-(-3)-2=4.故选B.

? ?x-y+1≤0, ? (2)若实数 x、y 满足?x>0, ? ? ?y≤2,

y 则 的最小值是____. x

解析 可行域如图所示. y 又 的几何意义是可行域内的点与坐标原点 x 连线的斜率k. 由图知,过点A的直线OA的斜率最小.

?x-y+1=0, 联立? 得 A(1,2), ?y=2,

2- 0 y 所以 kOA= =2.所以 的最小值为 2. x 1- 0

答案

2

本讲规律总结
1.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表

示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义
等都实现以形助数的途径,当试题中涉及这些问题 的数量关系时,我们可以通过图形分析这些数量关 系,达到解题的目的.

2.有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,
这就要对图形进行数量上的分析,通过数的帮助达 到解题的目的. 3.利用数形结合解题,有时只需把图象大致形状画出 即可,不需要精确图象.

4.数形结合思想常用模型:一次、二次函数图象;斜

率公式;两点间的距离公式(或向量的模、复数的模);
点到直线的距离公式等.

真题与押题

? 真题感悟 ? 押题精练

1

2

3

4 真题感悟

1.(2013· 重庆)已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2: (x-3) +(y-4) =9, M, N 分别是圆 C1, C2 上的动点,
2 2

P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( A.5 2-4 C.6-2 2 B. 17-1 D. 17

)

1

2

3

4 真题感悟

解析

设 P(x,0) , 设 C1(2,3) 关 于 x 轴 的 对 称 点 为

C1′(2,-3),
那么|PC1|+|PC2|=|PC1′|+|PC2|≥|C1′C2| = ?2-3? +?-3-4? =5 2.
而|PM|+|PN|=|PC1|+|PC2|-4≥5 2-4.
2 2

答案 A

1

2

3

4 真题感悟

2.(2014· 江西)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴 和 y 轴上的动点, 若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y -4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( 4 A. π 5 C.(6-2 5)π 3 B. π 4 5 D. π 4 )

1

2

3

4 真题感悟

解析

∵∠AOB=90°,∴点O在圆C上.

设直线2x+y-4=0与圆C相切于点D,

则点C与点O间的距离等于它到直线2x+y-4=0的距离,
∴点C在以O为焦点,以直线2x+y-4=0为准线的抛物

线上,
∴当且仅当O,C,D共线时,圆的直径最小为|OD|.

1

2

3

4 真题感悟

|2×0+0-4| 4 又|OD|= = , 5 5
2 ∴圆 C 的最小半径为 , 5 2 2 4 ∴圆 C 面积的最小值为 π( ) = π. 5 5

答案

A

1

2

3

4 真题感悟

2 ? - x +2x,x≤0, ? 3.(2013· 课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=? ? ?ln?x+1?,x>0.

若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是( A.(-∞,0] C.[-2,1]

)

B.(-∞,1] D.[-2,0]

1

2

3

4 真题感悟

解析

函数y=|f(x)|的图象如图.

①当a=0时,|f(x)|≥ax显然成立.

②当a>0时,只需在x>0时,
ln(x+1)≥ax成立.

比较对数函数与一次函数y=ax的增长速度.
显然不存在a>0使ln(x+1)≥ax在x>0上恒成立.

1

2

3

4 真题感悟

③当a<0时,只需在x<0时,x2-2x≥ax成立.

即a≥x-2成立,所以a≥-2.
综上所述:-2≤a≤0.故选D. 答案 D

1

2

3

4 真题感悟

4.(2014· 天津)已知函数f(x)= |x2+3x|,x∈R.若方程f(x)

-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范
围为________. 解析 设y1=f(x)=|x2+3x|,y2=a|x-1|, 在同一直角坐标系中作出y1=|x2+3x|, y2=a|x-1|的图象如图所示.

1

2

3

4 真题感悟

由图可知 f(x) - a|x - 1|= 0 有 4 个互异的实数根等价 于 y1 = |x2 + 3x| 与 y2 = a|x - 1| 的图象有 4 个不同的交

点.当4个交点横坐标都小于1时,
?y=-x2-3x, ? 有两组不同解 x1,x2, ?y=a?1-x?

消y得x2+(3-a)x+a=0,故Δ=a2-10a+9>0, 且x1+x2=a-3<2,x1x2=a<1,联立可得0<a<1.

1

2

3

4 真题感悟

当4个交点横坐标有两个小于1,两个大于1时, ?y=x2+3x, ? 有两组不同解 x3,x4. ?y=a?x-1? 消去y得x2+(3-a)x+a=0,故Δ=a2-10a+9>0, 且x3+x4=a-3>2,x3x4=a>1,联立可得a>9,

综上知,0<a<1或a>9.
答案 (0,1)∪(9,+∞)

1

2

3

4

5

6

押题精练

1.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是( B )
A.1 B.2 C.3 D.4

解析 (数形结合法)
∵a>0,∴a2+1>1.

而y=|x2-2x|的图象如图, ∴y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.

1

2

3

4

5

6

押题精练

2.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x恒成立,

则实数a的取值范围为(
A.(-∞,-1]∪[4,+∞) B.(-∞,-2]∪[5,+∞) C.[1,2] D.(-∞,1]∪[2,+∞)

)

1

2

3

4

5

6

押题精练

解析

?-4 ? f(x)=|x+3|-|x-1|=?2x+2 ? ?4

?x<-3?, ?-3≤x<1?, ?x≥1?.

画出函数f(x)的图象,如图,

可以看出函数f(x)的最大值为4,
故只要a2-3a≥4即可, 解得a≤-1或a≥4.正确选项为A. 答案 A

1

2

3

4

5

6

押题精练

3.经过P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),
B(2,1) 的线段总有公共点,则直线 l 的斜率 k 和倾斜 角α的取值范围分别为________,________.

解析 如图所示,结合图形:为使l与
线段AB总有公共点, 则kPA≤k≤kPB,而kPB>0,kPA<0,

1

2

3

4

5

6

押题精练

故k<0时,倾斜角α为钝角,k=0时,α=0,k>0时, α为锐角.
-1-1 kPB= =1,∴-1≤k≤1. 0- 2 π 又当 0≤k≤1 时,0≤α≤ ; 4 3π 当-1≤k<0 时, ≤α<π. 4

1

2

3

4

5

6

押题精练

π 3π 故倾斜角 α 的取值范围为 α∈[0, ]∪[ ,π). 4 4
答案 π 3π [-1,1] [0, ]∪[ ,π) 4 4

1

2

3

4

5

6

押题精练

4.(2013· 山东)在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式
?2x+3y-6≤0, ? 组 ?x+y-2≥0, ? ?y≥0

所 表 示的 区域 上一 动点 ,则

|OM|的最小值是________.

1

2

3

4

5

6

押题精练

解析

由题意知原点 O到直线x+y-2=0的距离为

|OM|的最小值.
2 所以|OM|的最小值为 = 2. 2
答案
2

1

2

3

4

5

6

押题精练

5.(2013· 江西)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相 交于 A、B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最 大值时,直线 l 的斜率为________. 1 1 1 解析 ∵S△AOB= |OA||OB|sin∠AOB= sin∠AOB≤ . 2 2 2 π 当∠AOB= 时,S△AOB 面积最大. 2 2 此时 O 到 AB 的距离 d= . 2

1

2

3

4

5

6

押题精练

设 AB 方程为 y=k(x- 2)(k<0),
即 kx-y- 2k=0.
| 2k| 2 3 由 d= 2 = 得 k=- . 3 k +1 2

答案

3 - 3

1

2

3

4

5

6

押题精练

6.设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,b∈R), 已知它们在x=1处的切线互相平行. (1)求b的值; 解 函数g(x)=bx2-ln x的定义域为(0,+∞),

f′(x)=3ax2-3a?f′(1)=0, 1 g′(x)=2bx- ?g′(1)=2b-1, x 1 依题意得2b-1=0,所以b= . 2

1

2

3

4

5

6

押题精练

? ?f?x?,x≤0, (2)若函数 F(x)=? 且方程 F(x)=a2 有 ? ?g?x?,x>0,

且仅有四个解,求实数 a 的取值范围.
解 1 x∈(0,1)时,g′(x)=x- <0, x

即 g(x)在(0,1)上单调递减,

1

2

3

4

5

6

押题精练

1 x∈(1,+∞)时,g′(x)=x- >0, x 即g(x)在(1,+∞)上单调递增, 1 所以当 x=1 时,g(x)取得极小值 g(1)= ; 2 当a=0时,方程F(x)=a2不可能有四个解;

当a<0,x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0, 即f(x)在(-∞,-1)上单调递减,

1

2

3

4

5

6

押题精练

x∈(-1,0)时,f′(x)>0,

即f(x)在(-1,0)上单调递增,
所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a, 又f(0)=0,所以F(x)的图象如图(1)所示, 从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.

当a>0,x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0,
即f(x)在(-∞,-1)上单调递增,

1

2

3

4

5

6

押题精练

x∈(-1,0)时,f′(x)<0, 即f(x)在(-1,0)上单调递减, 所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a. 又f(0)=0,所以F(x)的图象如图(2)所示,
从图(2)看出,若方程 F(x)=a2 有四个解, 1 2 则 <a <2a, 2 ? ? ? 2 ? 所以,实数 a 的取值范围是? ,2?. ? 2 ?


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