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2011届高考数学第一轮复习测试题35


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·高 三 数 学 ·单 元 测 试 卷 (三 ) 第三单元 数列

(时量:120 分钟 150 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 8 15 24 1.数列-1, ,- , ,?错误!未定义书签。的一个通项公式是 5 7 9 A.an=(-1)n
n

n3+n 2n+1

B.an=(-1)n D.an=(-1)n

n(n+3) 2n+1 n(n+2) 2n+1

(n+1)2-1 C.an=(-1) 2n-1

2.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 S6=36,Sn=324,Sn-6=144,则 n= A.15 B.16 C.17 D.18 3.在等比数列{an}中,S4=1,S8=3,则 a17+a18+a19+a20 的值是 A.14 B.16 C.18 D.20

4.已知-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比 数列,则 b2(a2-a1)= A.8 B.-8 C.±8 9 D. 8

5.设等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn,若 a1>0,S4=S8,则当 Sn 取得最大值时,n 的 值为 A.5 B.6 C.7 D.8 n+1 (n∈N+),设其前 n 项和为 Sn,则使 Sn<-5 n+2

6.已知数列{an}的通项公式 an=log2 成立的正整数 n A.有最小值 63 C.有最小值 31

B.有最大值 63 D.有最大值 31

7.设数列{an}是公比为 a(a≠1),首项为 b 的等比数列,Sn 是前 n 项和,对任意的 n∈ N+ ,点(Sn ,Sn+1)在 A.直线 y=ax-b 上 C.直线 y=bx-a 上 B.直线 y=bx+a 上 D.直线 y=ax+b 上

8.数列{an}中,a1=1,Sn 是前 n 项和,当 n≥2 时,an=3Sn,则 lim S n ? 1 的值是 n ?? S n ?1 ? 3 A.-2 4 B.- 5 1 C.- 3 D.1

9.北京市为成功举办 2008 年奥运会,决定从 2003 年到 2007 年五年间更新市内现有的
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全部出租车,若每年更新的车辆数比前一年递增 10%,则 2003 年底更新现有总车辆 数(参考数据 1.14=1.46,1.15=1.61) A.10% B.16.5% C.16.8% D.20%

10.已知 a1,a2,a3,?,a8 为各项都大于零的数列,则“a1+a8<a4+a5”是“a1,a2, a3,?,a8 不是等比数列”的 A.充分且必要条件 C.必要但非充分条件 答题卡 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B.充分但非必要条件 D.既不充分也不必要条件

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 11.已知

an ? logn?1 (n ? 2)(n ? N ? ) .我们把使乘积 a ·a ·a ·?·a 为整数的数 n 叫 1 2 3 n
. .

做“劣数”,则在区间(1,2004)内的所有劣数的和为

12. 已知集合 An ? {x | 2n ? x ? 2n?1 , 且x ? 7m ? 1, m, n ? N? } , A6 中各元素的和为 则

13.等差数列{an}中,a1=-5,它的前 11 项的平均值是 5,若从中抽取 1 项,余下 10 项的平均值是 4,则抽取的是第 项. 14.若 a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c 依次成等比数列,公比为 q,则 q3+q2 +q= .

15 . 若 数 列 {an }(n ? N? ) 为 等 差 数 列 , 则 数 列 bn ?

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an (n ? N ? ) n

也为等差数列,类比上述性质,相应地,若数列{cn}是等比数列且 cn ? 0(n ? N? ) , 则有数列 dn= (n∈N+)也是等比数列.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第二项,第五项,第十四项分别是等 比数列{bn}的第二项,第三项,第四项. ⑴求数列{an}与{bn}的通项公式. ⑵设数列{cn}对任意正整数 n,均有 +?+c2004 的值.
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c c1 c2 c3 ? ? ? ?? ? n ? an?1 ,求 c1+c2+c3 b1 b2 b3 bn

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17.(本小题满分 12 分) 3 已知 f(x+1)=x2-4,等差数列{an}中,a1=f(x-1),a2=- ,a3=f(x).求: 2 ⑴x 的值; ⑵数列{an}的通项公式 an; ⑶a2+a5+a8+?+a26.

18.(本小题满分 14 分) 正数数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2 Sn=an+1. (1) 试求数列{an}的通项公式; 1 1 (2)设 bn= ,{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn< . 2 an·an+1

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19.(本小题满分 14 分) 1 已知函数 f(x)定义在区间(-1,1)上,f( )=-1,且当 x,y∈(-1,1)时,恒有 2 f(x) - f(y) = f( x-y 1 2an ) , 又 数 列 {an} 满 足 a1 = , an+1 = , 设 bn = 2 1+an2 1-xy

1 1 1 + +?+ . f(a1) f(a2) f(an) ⑴证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数; ⑵求 f(an)的表达式; ⑶是否存在正整数 m,使得对任意 n∈N,都有 bn< 最小值;若不存在,请说明理由. m-8 成立,若存在,求出 m 的 4

20.(2005 年湖南理科高考题 14 分) 自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生 * 能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量,n∈N , 且 x1>0.不考虑其它因素,设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比, 死亡量与 xn2 成正比,这些比例系数依次为正常数 a,b,c. ⑴求 xn+1 与 xn 的关系式; ⑵猜测:当且仅当 x1,a,b,c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变? (不要求证明) * ⑶设 a=2,c=1,为保证对任意 x1∈(0,2),都有 xn>0,n∈N ,则捕捞强 度 b 的最大允许值是多少?证明你的结论.

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21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f(t)满足对任意实数 x, 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1, f(-2)= - y 且 2. ⑴求 f(1)的值; ⑵证明:对一切大于 1 的正整数 t,恒有 f(t)>t; ⑶试求满足 f(t)=t 的整数 t 的个数,并说明理由.

数列参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题次 答案 1 D 2 D 3 B 4 B 5 B 6 A 7 D 8 C 9 B 10 B

提示: 2. n=324 Sn-6=144, n-Sn-6=an+5+an-4+?+an=180 又∵S6=a1+a2+? ∵S ∴S
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+a6=36 a1+an=a2+an-1=?=a6+an-5,∴6(a1+an)=36+180=216 ? a1+an ( a ? an ) n =36,由 S n ? 1 ? 18n ? 324 ,有:n=18 ∴选 D 2 3.∵S4=1 S8=3 ∴S8-S4=2,而等比数列依次 K 项和为等比数列,a17+a18+a19+ - a10=(a1+a2+a3+a4)·25 1=16,故选 B. 1 8 4.∵ a2 ? a1 ? [?1 ? (?9)] ? 3 3

8 b22 ? (?1)( ?9) ? 9, 而b2 ? ?9 ? q 2 ? 0,? b2 ? ?3, 故b2 (a2 ? a1 ) ? (?3) ? ( ). ? ?8 ? 选B 3
n 7.∵ S n ? b(1 ? a )

1? a

S n ?1 ?

b(1 ? a n ?1 ) 1? a

∴ aSn ? b ?

b(1 ? a n )a b(1 ? a) b(1 ? a n ?1 ) ? ? ? S n ?1 1? a 1? a 1? a

故点 (Sn , Sn?1 ) 在直线 y=ax+b 上,选 D. 9. 设现在总台数为 b, 2003 年更新 a 台, 则: =a+a(1+10%)+??+a(1+10%)4. b ∴b ? a?

1 ? (1 ? 10%)5 a , ? 16.5%. 1 ? (1 ? 10%) b

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.∵ a1a2 ??an ? log2 3 ? log3 4??logn?1 (n ? 2) ? log2 (n ? 2) ? k时, n+2=2k,由 n=2k -2∈(1,2004)有 2≤k≤10(k∈Z).故所有劣数的和为(22+23+??+210)-2 ×9=

4(1 ? 29 ) -18=2026. 1? 2

12 . 令 n = 6 得 26 ? x ? 27 ,?64 ? x ? 128. 64 ? 7m ? 1 ? 128 m ? N?有10 ? m ? 18. 由 ,

9?8 ? 7 ? 891 . 2 13. 设抽取的是第 n 项. 11=55, 11-an=40, n=15, ∵S S ∴a 又∵S11=11a6 a6=5. 由 a ?a a1=-5,得 d= 6 1 ? 2 ,令 15=-5+(n-1)×2,∴n=11 6 ?1 14.设 x=a+b+c,则 b+c-a=xq,c+a-b=xq2,a+b-c=xq3,∴xq+xq2+xq3 =x(x≠0) ∴q3+q2+q=1.
故各元素之和为 S ? 9 ? 71 ? 15. n C1C2C3 ?Cn 三、解答题(共 80 分) 16.⑴由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d>0) 解得 d=2,∴an=2n-1,bn - =3n 1. ⑵当 n=1 时,c1=3 当 n≥2 时,∵

cn ?3(n ? 1) 故 cn ? 2 ? 3n?1 ? an ?1 ? an , ∴ cn ? ? n ?1 bn ?2 ? 3 (n ? 2)

?c1 ? c2 ? ?? c2004 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? ?? 2 ? 32003 ? 32004
17.⑴∵f(x+1)=(x+1-1)2-4,∴f(x)=(x-1)2-4 ∴a1=f(x-1)=(x-2)2-4,a3=(x-1)2-4.
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又 a1+a3=2a2,∴x=0,或 x=3. 3 3 (2)由(1)知 a1,a2,a3 分别是 0,- ,-3 或-3,- ,0. 2 2

3 3 ∴ an ? ? (n ? 1)或an ? (n ? 3) 2 2 3 (3)当 an ? ? (n ? 1) 时, 2

a2 ? a5 ? a8 ? ? ? a26 ?

9 9 3 3 351 (a2 ? a26 ) ? [? ? ? (26 ? 1)] ? ? 2 2 2 2 2 3 9 9 3 9 297 当 an ? (n ? 3) 时, a2 ? a5 ? a8 ? ? ? a26 ? (a2 ? a26 ) ? (? ? ? 39) ? . 2 2 2 2 2 2

18.(1)∵an>0, 2 Sn ? an ? 1,∴ 4Sn ? (an ?1)2 ,4Sn?1 ? (an?1 ?1)2 ,则当 n≥2 时,
2 2 4an ? an ? 2an ? an?1 ? 2an?1 , 即 (an ?a n?1)(an ? an?1 ? 2) ? 0 ,而 an>0,∴ an ? an?1 ? 2(n ? 2)

又 2 S1 ? a1 ?1,?a1 ? 1, 则an ? 2n ?1 (2) bn ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ),?Tn ? (1 ? )? (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2

19.(1)令 x=y=0,则 f(0)=0,再令 x=0,得 f(0)-f(y)=f(-y), ∴f(-y)=-f(y),y∈(-1,1),∴f(x)在(-1,1)上为奇函数. (2)? f (a1 ) ? f ( ) ? ?1,由(1)知f ( x) ? f ( y ) ? f (

1 2

x? y ), 1 ? xy

2an a ? an f (an ?1 ) ? f (an?1 ) ? f ( )? f( n ) ? f (an ) ? f (an ) ? 2 f (an ) ,即 ?2 2 1 ? an 1 ? an ? an f ( an )
∴{f(an)}是以-1 为首项,2 为公比的等比数列,∴f(an)=-2n 1.


1 1? n 1 1 1 2 ? ?2 ? 1 . (3)? bn ? ?(1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ) ? ? 1 2 2 2 2n ?1 1? 2
若 bn ?

1 m 4 m ?8 恒成立(n∈N+),则 ? 2 ? n ?1 ? ? 2, 即m ? n ?1 . 2 4 2 4
4 2 n ?1
有最大值 4,故 m>4.又∵m∈N,∴存在 m=

∵n∈N+,∴当 n=1 时,

5,使得对任意 n∈N+,有 bn ?

m ?8 . 4

20. (2005 年湖南高考题 20 题) 解:(I)从第 n 年初到第 n+1 年初,鱼群的繁殖量为 axn,被捕捞量为 bxn,死亡量为
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2 2 cxn ,因此xn?1 ? xn ? axn ? bxn ? cxn , n ? N * .(*)

即xn?1 ? xn (a ? b ? 1 ? cxn ), n ? N * .(**)
(II)若每年年初鱼群总量保持不变,则 xn 恒等于 x1, n∈N*,从而由(*)式得

x n (a ? b ? cx n )恒等于 0, n ? N *, 所以 a ? b ? cx1 ? 0.即x1 ?
因为 x1>0,所以 a>b. 猜测:当且仅当 a>b,且 x1 ?

a ?b . c

a?b 时,每年年初鱼群的总量保持不变. c

(Ⅲ)若 b 的值使得 xn>0,n∈N* 由 xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知 0<xn<3-b, n∈N*, 特别地,有 0<x1<3-b. 即 0<b<3-x1. 而 x1∈(0, 2),所以 b ? (0,1] 由此猜测 b 的最大允许值是 1. 下证 当 x1∈(0, 2) ,b=1 时,都有 xn∈(0, 2), n∈N* ①当 n=1 时,结论显然成立. ②假设当 n=k 时结论成立,即 xk∈(0, 2), 则当 n=k+1 时,xk+1=xk(2-xk)>0. 又因为 xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2, 所以 xk+1∈(0, 2),故当 n=k+1 时结论也成立. 由①、②可知,对于任意的 n∈N*,都有 xn∈(0,2). 综上所述,为保证对任意 x1∈(0, 2), 都有 xn>0, n∈N*,则捕捞强度 b 的最大允许值 是 1. 21. (1)x=y=0 得 f(0)= -1,x=y=-1 得 f(-2)=2f(-1)+2,而 f(-2)= -2, ∴f(-1)=-2,x=1,y= -1 得 f(0)=f(1)+f(-1),∴f(1)=1 (2)x=n,y=1 得 f(n+1)=f(n)+f(1)+n+1=f(n)+n+2,∴f(n+1)-f(n)=n +2, ∴当 n∈N+时,f(n)=f(1)+[3+4+?+(n+1)]=

1 2 1 (n ? 3n ? 2)则f (n) ? n ? (n 2 ? n ? 2) ,而当 n∈N+,且 n>1 时,n2+n-2>0, 2 2
∴f(n)>n,则对一切大于 1 的正整数 t,恒有 f(t)>t. (3)∵y= -x 时 f(x-x)=f(x)+f(-x)+1-x2,∴f(x)=x2-2-f(-x),∵当 x ∈ N + 时 由 ( 2 ) 知 f ( x) ?

1 2 ( x ? 3x ? 2) , 当 x = 0 时 , f(0) = - 1 = 2
当 x 为负整数时,-x∈N+,则

1 2 [0 ? 3 ? 0 ? 2] .适合 2
f (? x) ?

1 2 1 1 ( x ? 3x ? 2),? f ( x) ? x 2 ? 2 ? ( x 2 ? 3x ? 2) ? ( x 2 ? 3x ? 2) 2 2 2

故对一切 x∈Z 时,有 f ( x) ?

1 2 ( x ? 3x ? 2) , ∴当 t∈Z 时,由 f(t)=t 得 t2+t-2 2

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=0,即 t=1 或 t=2.满足 f(t)=t 的整数 t 有两个.

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