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高一数学必修④第一章《三角函数》测试卷(含答案)


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高一数学必修④第一章《三角函数》测试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是最符合题目要求的.) 1.下列命题正确的是( A.终边相同的角都相等 C.第一象限角都是锐角 ). B.钝角比第三象限角小 D.锐角都是第一

象限角 ).

2.若角 600 ? 的终边上有一点 ?? 4, a ? ,则 a 的值是( A. ? 4 3 3. 1 ? sin
2

B. ? 4 3

C. 3

D. 4 3

3? 化简的结果是( 5
B. ? cos

). C. ? cos

A. cos

3? 5

3? 5

4.下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? A. y ? sin(2 x ? 6) B. y ? sin(

5.函数 y ? sin(?x ? ? ) 的部分图象如右图,则 ? , ? 可以取的一组值是( y ? ? ? ? A. ? ? ,? ? B. ? ? ,? ?

x ? ? ) 2 6

? 对称的是( ). 3 ? ? C. y ? sin(2 x ? ) D. y ? sin(2 x ? ) 6 3
).

3? 5

D. cos

2? 5

? 6.要得到 y ? 3sin(2 x ? ) 的图象,只需将 y ? 3 sin 2 x 的图象( 4 ? ? A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 4 4 ? ? C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 8 8
7.设 tan( ? ? ? ) ? 2 ,则

2 4 ? 5? C. ? ? , ? ? 4 4

3 6 ? ? D. ? ? ,? ? 4 4

O
).

1

2

3

x

sin(? ? ?) ? cos( ? ? ? ) ?( sin( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )
C. 1 D. ? 1

).

A. 3

B.

1 3

8. A 为三角形 ABC 的一个内角,若 sin A ? cos A ? A. 锐角三角形 B. 钝角三角形

12 ,则这个三角形的形状为( 25
D. 等腰三角形

).

C. 等腰直角三角形

9.定义在 R 上的函数 f (x) 既是偶函数又是周期函数,若 f (x) 的最小正周期是 ? ,且当
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).

? 5? x ? [0, ] 时, f ( x) ? sin x ,则 f ( ) 的值为( 2 3
A. ?

1 2

B.

3 2

C. ?

3 2

D.

1 2

10.函数 y ? A. 2k? ?

2cos x ? 1 的定义域是(
?
3 , 2 k? ?

). B. 2k? ?

? ? ?

?? (k ? Z ) 3? ?
2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

? ? ?

?
6

, 2 k? ?

?? (k ? Z ) 6? ?
2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

C. 2k? ?

? ? ?

?
3

, 2 k? ?

D. 2k? ?

? ? ?

2? 3

, 2 k? ?

11.函数 y ? 2sin( A. [0, ]

? 3

? ? 2 x) ( x ? [0, ?] )的单调递增区间是( 6 ? 7? ? 5? 5? B. [ , C. [ , ] D. [ , ?] ] 12 12 3 6 6
2

).

12.设 a 为常数,且 a ? 1 , 0 ? x ? 2? ,则函数 f ( x) ? cos x ? 2a sin x ? 1 的最大值为 ( ). A. 2a ? 1 B. 2a ? 1 C. ? 2a ? 1 D. a
2

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)
弧度,扇形面积是

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在题中的横线上.) 13.在扇形中,已知半径为 8 ,弧长为 12 ,则圆心角是 14.函数 y ? .

2 ? cos x 的最大值为________. 2 ? cos x

15.方程 sin x ? lg x 的解的个数为__________. 16.设 f ( x) ? a sin( ?x ? ? ) ? b cos( ?x ? ? ) ,其中 a,b, ? , ? 为非零常数. 若 f (2009 ) ? ?1 ,则 f (2010 ) ? .

××中学 2010——2011 学年度第一学月考试
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高一数学必修④第一章《三角函数》答题卷
题号 选择题 填空题

解答题
17 18 19 20 21 22

总分

分数

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分) 13. 15. 14. 16.

三、 解答题(本大题共 6 小题, 74 分, 共 解答应写出必要的文字说明、 证明过程及演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) 已知 ? 是第三角限角,化简

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? . 1 ? sin ? 1 ? sin ?

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18.(本小题满分 12 分)

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已知角 ? 的终边在直线 y ? 2 x 上,求角 ? 的正弦、余弦和正切值.

19.(本小题满分 12 分) (1)当 tan? ? 3 ,求 cos ? ? 3 sin ? cos? 的值;
2

? 2cos3 ? ? sin 2 (2? ? ? ) ? sin( ? ? ) ? 3 ? 2 (2)设 f (? ) ? ,求 f ( ) 的值. 2 3 2 ? 2cos ( ? ? ? ) ? cos( ?? )

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20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

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? 2 cos(2 x ? ) , x ?R . 4 ? ? 8 2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)求函数 f ( x) 在区间 [ ? , ] 上的最小值和最大值,并求出取得最值时 x 的值.

21.(本小题满分 14 分) 已知 f ( x ) ? ?2a sin(2x ?

? ? 3? ) ? 2a ? b , x ? [ , ] ,是否存在常数 a, b ? Q ,使得 6 4 4

f (x) 的值域为 { y | ?3 ? y ? 3 ? 1} ?若存在,求出 a, b 的值;若不存在,说明理由.

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22.(本小题满分 14 分)

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已知函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? B ? A ? 0, ? ? 0 ? 的一系列对应值如下表:

x
y

?

? 6 ?1

? 3 1

5? 6 3

4? 3 1

11? 6 ?1

7? 3 1

17 ? 6 3

(1)根据表格提供的数据求函数 f ? x ? 的一个解析式; (2)根据(1)的结果,若函数 y ? f ? kx ?? k ? 0 ? 周期为

2? ? ,当 x ? [0, ] 时,方程 3 3

f ? kx ? ? m 恰有两个不同的解,求实数 m 的取值范围.

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高一数学必修④第一章《三角函数》测试卷参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是最符合题目要求的.) 1.D 由任意角和象限角的定义易得只有 D 正确. 2.A 因为 tan 600 ? ?

a ? tan(540 ? ? 60?) ? tan 60? ? 3 ,故 a ? ?4 3 . ?4

3.B

1 ? sin 2

3? 3? 3? 3? ? cos2 ?| cos |? ? cos . 5 5 5 5

4.C

∵最小正周期为 ? ,∴ ? ? 2 ,又∵图象关于直线 x ?

? ? 对称,∴ f ( ) ? ?1 ,故只 3 3

有 C 符合.

T ? ? ? ? ? 3 ? 1 ? 2 ,∴ T ? 8 , ? ? ,又由 ? 1 ? ? ? 得 ? ? . 4 4 2 4 4 ? ? 6.C ∵ y ? 3sin 2( x ? ) ? 3sin(2 x ? ) ,故选 C. 8 4
5.D ∵ 7.A 由 tan( ? ? ? ) ? 2 ,得 tan ? ? 2 ,



sin(? ? ?) ? cos( ? ? ? ) ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? tan ? ? 1 ? ? ? ? 3. sin( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? sin ? ? ( ? cos ? ) sin ? ? cos ? tan ? ? 1

8.B 将 sin A ? cos A ?

2 4 2 2 两边平方,得 sin A ? 2 sin A cos A ? cos A ? , 5 25 4 21 ∴ 2 sin A cos A ? ?1 ? ? ? 0 , 又∵ 0 ? A ? ? , ∴ A 为钝角. 25 25
f( 5? ? ? ? ? 3 ) ? f (2? ? ) ? f ( ? ) ? f ( ) ? sin ? . 3 3 3 3 3 2

9.B

1 2? 2? ,∴ 2k ? ? ,k ?Z . ? x ? 2k ? ? 3 3 2 ? ? 3? 2? ? 11.C 由 ? 2k ? ? ? 2 x ? , ? 2k ? 得 ? ? k? ? x ? ? ? k? ( k ? Z ) 2 6 2 3 6 ? 5? 又∵ x ? [0, ?] , ∴单调递增区间为 [ , ] . 3 6
10.D 由 2 cos x ? 1 ? 0 得 cos x ? ? 12.B

f ( x) ? cos2 x ? 2a sin x ? 1 ? 1 ? sin 2 x ? 2a sin x ? 1 ? ?(sin x ? a) 2 ? a 2 ,
∵ 0 ? x ? 2? , ∴ ? 1 ? sin x ? 1 , 又∵ a ? 1 ,
2 2

∴ f ( x) max ? ?(1 ? a) ? a ? 2a ? 1 .

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二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在题中的横线上.) 13.

3 , 48 2

圆心角 ? ?

l 12 3 1 1 ? ? ,扇形面积 S ? lr ? ? 12 ? 8 ? 48 . r 8 2 2 2
2y ? 2 2? 2 y x o s x, ? o s c c ?? ? 1 ? y ?1 y? 1 1 ? y?, . 1 3 3

14. 3

y ( 2? c oxs ?) ? 2

15. 3 16. 1

画出函数 y ? sin x 和 y ? lg x 的图象,结合图象易知这两个函数的图象有 3 交点.

f ( 2 0 0 9 )a ? f ( 2 0 1 0 )a ?

s i n ( ? ? ? 9? b ) 200 s i n ( 2 0? 0 ?b ) ? ?1

c? ? ? 2 ? ? 9, os( 00 c? s (? 0 1 0 o ?2

) )

1

? a sin[? ? (2009? ? ? )] ? b cos[? ? (2009? ? ? )] ? ?[a sin(2009? ? ? ) ? b cos(2009? ? ? )] ? 1 .
三、 解答题(本大题共 6 小题, 74 分, 共 解答应写出必要的文字说明、 证明过程及演算步骤.) 17.解:∵ ? 是第三角限角, ∴ 1 ? sin ? ? 0 , 1 ? sin ? ? 0 , cos? ? 0 , ∴

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

(1 ? sin ? ) 2 (1 ? sin ? ) 2 ? (1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) (1 ? sin ? )(1 ? sin ? )

?

(1 ? sin ? ) 2 (1 ? sin ? ) 2 ? ? 1 ? sin 2 ? 1 ? sin 2 ?

(1 ? sin ? ) 2 (1 ? sin ? ) 2 ? cos2 ? cos2 ?

1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? |?| |? ? ? cos? cos? cos? cos? ? 2 sin ? ? ? ?2 tan? . cos? ?|
18. 解:设角 ? 终边上任一点 P(k ,2k ) ( k ? 0 ) ,则 x ? k , y ? 2k , r ? 当 k ? 0 时, r ?

5 | k |.

5k , ? 是第一象限角,

s in ? ?

y 2k 2 5 x k 5 y 2k ? ? ? , cos? ? ? , tan? ? ? ? 2; r 5 r 5 x k 5k 5k

当 k ? 0 时, r ? ? 5k , ? 是第三象限角,

s in ? ?

y 2k 2 5 x k 5 y 2k ? ?? cos ?? , ? ? ? , ?? ? tan ? 2. r ? 5k 5 r ? 5k 5 x k

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2 5 5 2 5 5 , ,2 或? ,? ,2. 5 5 5 5

综上,角 ? 的正弦、余弦和正切值分别为

19.解: (1)因为 cos ? ? 3 sin ? cos? ?
2

cos2 ? ? 3 sin ? cos? 1 ? 3 tan? , ? sin 2 ? ? cos2 ? tan 2 ? ? 1

且 tan? ? 3 , 所以,原式 ?

1? 3? 3 4 ?? . 2 5 3 ?1

2 cos3 ? ? sin 2 (2? ? ? ) ? sin( ? ? ) ? 3 2 cos3 ? ? sin 2 ? ? cos? ? 3 2 (2) f (? ) ? ? 2 ? 2 cos2 (? ? ? ) ? cos(?? ) 2 ? 2 cos2 ? ? cos?

?

?

2 cos3 ? ? cos2 ? ? cos? ? 2 2(cos? ? 1)(cos 2 ? ? cos? ? 1) ? cos? (cos? ? 1) ? 2 ? 2 cos2 ? ? cos? 2 ? 2 cos2 ? ? cos? (cos? ? 1)( 2 cos2 ? ? cos? ? 2) ? cos? ? 1 , 2 cos2 ? ? cos? ? 2

?

∴ f ( ) ? cos

? 2? 2 cos(2 x ? ) ,所以函数 f ( x) 的最小正周期为 T ? ? ?, 4 2 ? 3? ? 由 ?? ? 2k ? ? 2 x ? ? 2k ? , ? 得 故函数 f (x) 的递调递增区 ? k? ? x ? ? k? , 4 8 8 3? ? 间为 [? ; ? k ?, ? k ?] ( k ? Z ) 8 8 ? ? ? ? ? (2)因为 f ( x ) ? 2 cos(2x ? )在区间 [ ? , ] 上为增函数,在区间 [ , ] 上为减函 4 8 8 8 2 ? ? ? π ? 数,又 f ( ? ) ? 0 , f ( ) ? 2 , f ( ) ? 2 cos( ? ? ) ? ? 2 cos ? ?1 , 8 8 2 4 4 ? ? ? ? 故函数 f ( x) 在区间 [ ? , ] 上的最大值为 2 ,此时 x ? ;最小值为 ?1 ,此时 x ? . 8 2 8 2 21.解:存在 a ? ?1, b ? 1 满足要求.
20.解: (1)因为 f ( x ) ? ∵

? 3

? 1 ?1 ? ? . 3 2

? 3? , ?x? 4 4



2? ? 5? , ? 2x ? ? 3 6 3

∴ ?1 ? sin(2 x ?

? 3 )? , 6 2

若存在这样的有理 a, b ,则 (1)当 a ? 0 时, ?

? ?? 3a ? 2a ? b ? ?3, ?2a ? 2a ? b ? 3 ? 1, ?

无解;

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(2)当 a ? 0 时, ?

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解得 a ? ?1 , b ? 1 ,

?2a ? 2a ? b ? ?3, ?? 3a ? 2a ? b ? 3 ? 1,

即存在 a ? ?1, b ? 1 满足要求. 22. 解: (1)设 f ? x ? 的最小正周期为 T ,得 T ? 由T ?

2?

11? ? ? ( ? ) ? 2? , 6 6

?



得? ? 1,

B? A?3 A?2 又? ,解得 ? ? ? ?B ?1 ? B ? A ? ?1

令? ?

5? ? 5? ? ? ? ? ? ,即 ? ? ? ,解得 ? ? ? , 6 2 6 2 3
? ?? ? ?1. 3?

∴ f ? x ? ? 2sin ? x ? ?

(2)∵函数 y ? f ? kx ? ? 2sin ? kx ? 又k ? 0, 令 t ? 3x ? ∴ k ? 3,

? ?

?? 2? , ? ? 1 的周期为 3? 3

? ? ,∵ x ? ?0, ? , ? 3? 3 ? ?

∴ t ? [?

? 2? , ], 3 3

如图, sin t ? s 在 [?

3 ? 2? ,1) , , ] 上有两个不同的解,则 s ? [ 2 3 3

∴方程 f ? kx ? ? m 在 x ? [0, ] 时恰好有两个不同的解,则 m ? ? 3 ? 1, 3 , ? 3 即实数 m 的取值范围是 ? 3 ? 1,3 .

?

?

?

?

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