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4-4极坐标及参数方程知识点及高考题汇编


1. 极坐标与直角坐标的互化:

? 2 ? x2 ? y2 ,
y ? ?sin? ,

x ? ?cos? , y tan? ? ( x ? 0) x

2.圆的极坐标方程: 在极坐标系中,以极点为圆心, r 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? r ; 在极坐标系中,以 C (a,0) ( a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2acos? ; 在极坐标系中,以 C ( a,

?
2

) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2asin? ;

3.圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的参数方程可表示为 ?

? x ? a ? rcos? , (?为参数) . ? y ? b ? rsin? . ? x ? acos? , x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的参数方程可表示为 ? (?为参数) . a b ? y ? bsin?.
经过点 M O ( xo , yo ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程可表示为 ?

? x ? xo ? tcos? , ( t 为参数). ? y ? y o ? tsin? .

1.在极坐标系中,点 ( ?,

?
?

) 到圆 ? ? 2cos ? 的圆心的距离为

(A) 2

(B)

4?

?2
9

(C)

1?

?2
9

(D)

3

2 .在极坐标系中,圆ρ =-2sinθ 的圆心的极坐标系是 (A) (1,

?
2

)

(B) (1, ?

?
2

)

(C) (1,0)

(D)(1, ? )

3.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 cos a ? .(I)已知在极坐 y ? sin a ? ?

标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标 为(4,

π ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; (II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的 2

最小值.

4.在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? , ( ? 为参数) ,在极坐标系中,曲线 C2 的方程 ? y ? 1 ? sin ?


为 ? ? cos? ? sin ? ? ? 1 ? 0 ,则 C1 与 C2 的交点个数为

5.若曲线的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? ? 4 cos? ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则曲 线的直角坐标方程为 .

6 、在直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 .已知点 A 的极坐标为

?? ? ? (Ⅰ)求 a 的值及直线 l 的直角坐标 ? 2 , ? ,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? a ,且点 A 在直线 l 上。 4 4 ? ?
? x ? 1 ? cos a, 方程; (Ⅱ)圆 C 的参数方程为 ? (a为参数) ,试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. ? y ? sin a

7 在平面直角坐标系 x O y 中,曲线 C 1 的参数方程为 ?

? x ? co s? , (?为参数) 曲线 C 2 的参数方程为 ? y ? sin?

? x ? a co s? (a ? b ? 0, ? 为参数) 。在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l :? ? ? 与 ? ? y ? b sin?
C1 , C 2 各有一个交点。当 ? ? 0 时,这两个交点间的距离为 2,当 ? ?
说明 C 1 , C 2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (2)设当 ? ?

?
2

时,这两个交点重合。 (1)分别

?
4

时, l 与 C 1 , C 2 的交点分别为 A1 , B1 ,当

? ??

?
4

时, l 与 C 1 , C 2 的交点为 A2 , B2 ,求四边形 A1 A2 B2 B1 的面积。

8 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) M 是 C1 上的动点, P 点满足 ? y ? 2 ? 2sin ?

OP ? 2OM , P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程(Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系
中,射线 ? ?

?
3

与 C1 的异于极点的交点为 A ,与 C2 的异于极点的交点为 B ,求 AB .


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