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2015高考数学(人教版)一轮复习课时训练:7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系(含答案解析)]


课时提升作业(四十)
空间点、直线、平面之间的位置关系 (45 分钟 100 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.(2014·天门模拟)若两条直线和一个平面相交成等角,则这两条直线的位置关 系是( A.平行 C.相交 ) B.异面 D.平行、异面或相交

2.已知 E,F,G,H 是空间内四个点,条件甲:E,F,G,H 四点不共面,条件乙:直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若直线 l 不平行于平面α ,且 l?α ,则( A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交 4.在空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 上分别取 E,F,G,H 四点,若 EF 与 GH 交 于点 M,则( ) ) )

A.M 一定在 AC 上

B.M 一定在 BD 上 C.M 可能在 AC 上也可能在 BD 上 D.M 不在 AC 上,也不在 BD 上 5.(2014·柳州模拟)下列四个命题中,真命题的个数为( ①如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合; ②两条直线可以确定一个平面; ③若 M∈α ,M∈β ,α ∩β =l,则 M∈l; ④空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内. A.1 B.2 C.3 D.4 )

6.(2014·鄂州模拟)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 B1D 与平面 A1BC1 相交于点 E,则点 E 为△A1BC1 的( A.垂心 C.外心 B.内心 D.重心 )

7.(2014·沈阳模拟)正方体 AC1 中,E,F 分别是线段 BC,C1D 的中点,则直线 A1B 与 直线 EF 的位置关系是( A.相交 C.异面 ) B.平行 D.以上都有可能 ,底面边长为 ,E 为 SA 的中点,则异面直线

8.正四棱锥 S-ABCD 的侧棱长为 BE 和 SC 所成的角为 ( A.30° )

B.45°

C.60°

D.90°

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9.(2014·株洲模拟)a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出三个命题:①若 a∥b,

b∥c,则 a∥c; ②若 a∥b,b 与 c 异面,则 a 与 c 异面; ③若 a,b 与 c 成等角,则 a∥b. 上述命题中正确的命题是 (只填序号).

10.如图,G,H,M,N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH 与 MN 是 异面直线的图形有 .

11.如图,已知圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形,C 是圆柱下底面弧 AB 的中点,C1 是 圆柱上底面弧 A1B1 的中点,那么异面直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为 .

12. (2014·黄冈模拟)三棱锥 ABCD 中,E,H 分别是 AB,AD 的中 点 ,F,G 分 别 是 CB,CD 的 中 点 , 若 AC+BD=3,AC · BD=1, 则 EG2+FH2=________. 三、解答题(13 题 12 分,14~15 题各 14 分) 13.已知在空间四边形 ABCD 中,AB=CD=3,E,F 分别为 BC,AD 上的点,并且 BE∶ EC=AF∶FD=1∶2,EF= ,求 AB 与 CD 所成的角的大小.

14.如图,已知:E,F,G,H 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB,BC,CC1,C1D1 的中点, 证明:FE,HG,DC 三线共点.

15.(能力挑战题)在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60°,对角 线 AC 与 BD 交于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成角为 60°.

(1)求四棱锥的体积. (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值.

答案解析
1.【解析】选 D.当平行、异面或相交时,均有两条直线和一个平面相交成等角的 情况出现. 2.【解析】选 A.点 E,F,G,H 四点不共面可以推出直线 EF 和 GH 不相交;但由直线 EF 和 GH 不相交不一定能推出 E,F,G,H 四点不共面.例如,EF 和 GH 平行,这也是 直线 EF 和 GH 不相交的一种情况,但 E,F,G,H 四点共面.故甲是乙成立的充分不 必要条件. 3.【解析】选 B.由题意知直线 l 与平面α相交,不妨设直线 l∩α=M,对 A,在α内 过 M 点的直线与 l 不异面,A 错误;对 B,假设存在与 l 平行的直线 m,则由 m∥l 且 l?α得 l∥α,这与 l∩α=M 矛盾,故 B 正确,C 错误;对 D,α内存在与 l 异面的直 线,故 D 错误. 4.【解析】选 A.点 M 在平面 ABC 内,又在平面 ADC 内,故必在交线 AC 上. 5.【解析】选 A.①两个平面有三个公共点,若这三个公共点共线,则这两个平面 相交,故①不正确;两异面直线不能确定一个平面 ,故②不正确 ;在空间,交于一 点的三条直线不一定共面(如墙角),故④不正确;据平面的性质可知③正确. 6.【解析】选 D.如图,平面 BB1D1D∩平面 A1BC1=BF, 因为 F 是 A1C1 的中点, 所以 BF 是△A1BC1 的 A1C1 边上的中线, 因为对角线 B1D 与平面 A1BC1 相交于点 E, 所以 E∈BF. 因为 B1F∥BD,所以△B1EF∽△DEB, 所以 = =,

所以点 E 为△A1BC1 的重心,故选 D.

7.【解析】选 A.如图所示,连接 CD1,则 CD1∩C1D=F,

因为 A1B∥CD1,所以直线 A1B 与 CD1 确定的平面为 A1BCD1,E∈BC,所以 EF? 平面 A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交. 【加固训练】将正方体纸盒展开如图所示,直线 AB,CD 在原正方体中的位置关系 是( )

A.平行 C.相交成 60°角 【解析】选 D.折起后如图,

B.垂直 D.异面且成 60°角

显然 AB 与 CD 异面,因为 AM∥CD,△AMB 为正三角形,所以∠MAB=60°. 8.【解析】选 C.如图,设 AC 中点为 O,则 OE∥SC,

则∠BEO(或其补角)即为异面直线 BE 和 SC 所成的角,由 EO= SC= ,BO= BD= , 在△SAB 中,

cos∠SAB= 所以 BE=

=

= =

,

.在△BEO 中,cos∠BEO= ,

所以∠BEO=60°. 【方法技巧】求异面直线所成角的三步骤 (1)作:通过作平行线 得到相交直线. (2)证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角. (3)算:通过解三角形求出角. 9.【解析】由基本性质知①正确;当 a∥b,b 与 c 异面时,a 与 c 可能相交也可能 异面,故②不正确;当 a,b 与 c 成等角时,a 与 b 可以相交、平行,也可以异面,故 ③不正确. 答案:① 10. 【解析】 ①③中,GM∥HN,所以 G,M,N,H 四点共面,从而 GH 与 MN 共面;②④中, 根据异面直线的判定定理,易知 GH 与 MN 异面. 答案:②④ 【加固训练】 如图,E,F 是 AD 上互异的两点,G,H 是 BC 上互异的 两点,由图可知, ①AB 与 CD 互为异面直线;②FH 分别与 DC,DB 互为异面直线;③EG 与 FH 互为异面 直线;④EG 与 AB 互为异面直线.其中叙述正确的是( )

A.①③

B.②④

C.①④

D.①②

【解析】选 A.根据图形,AB 与 CD 互为异面直线,故①正确;当 F 点与 D 重合 时,B,F,C,H 四点共面,FH 与 DC,DB 不为异面直线,故②错误;由于 EG 与 FH 不可能 共面(否则 A,B,C,D 四点共面),所以 EG 与 FH 互为异面直线,故③正确;当 G 与 B 重合时,AB 与 EG 为共面直线,故④错误.所以应选 A. 11.【思路点拨】取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D,连接 C1D,AD,则可得直线 AC1 与 AD 所成角等于异面直线 AC1 与 BC 所成角,利用圆柱的轴截面 ABB1 A1 是正方形, 可得 C1D= AD,从而可得结论.

【解析】取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D,连接 C1D,AD,

则因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点, 所以 AD∥BC, 所以直线 AC1 与 AD 所成角等于异面直线 AC1 与 BC 所成角, 因为 C1 是圆柱上底面弧 A1B1 的中点, 所以 C1D⊥圆柱下底面,所以 C1D⊥AD, 因为圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形, 所以 C1D= AD, , .

所以直线 AC1 与 AD 所成角的正切值为

所以异面直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为

答案: 12.【解析】易知四边形 EFGH 是平行四边形,而平行四边形对角线的平方和等于 各边的平方和,所以 EG2+FH2=EF2+FG2+GH2+HE2=2EF2+2FG2= (AC2+BD2)= [(AC+BD)2-2AC·BD]= ×(9-2)= . 答案: 13.【解析】取 BD 上一点 H,使得 BH∶HD=1∶2.连接 FH,EH,由题意知 FH∥AB,EH ∥CD,则∠EHF 为异面直线 AB 与 CD 所成的角(或其补角). 又 AF∶FD=BH∶HD=BE∶EC=1∶2, 所以 FH= AB=2,HE= CD=1. 在△EFH 中,由余弦定理知: cos∠EHF= = =- ,

即异面直线 AB 与 CD 所成的角为 60°. 【误区警示】 本题易忽视异面直线所成角的取值范围 .在解答过程中易误认

为∠EHF 即为异面直线 AB 与 CD 所成的角.实际上,当∠EHF 为锐角或直角时,为 两条异面直线 AB 与 CD 所成的角;而当∠EHF 为钝角时,它为异面直线 AB 与 CD 所成角的补角. 14.【证明】连接 C1B,HE,FG,由题意知 HC1∥EB,且 HC1=EB.所以四边形 HC1BE 是平 行四边形.所以 HE∥C1B.

又 C1G=GC=CF=BF,故 GF∥C1B,且 GF= C1B,所以 GF∥HE,且 GF≠HE,所以 HG 与 EF 相交. 设交点为 K,则 K∈HG,HG? 平面 D1C1CD, 所以 K∈平面 D1C1CD. 因为 K∈EF,EF? 平面 ABCD, 所以 K∈平面 ABCD. 因为平面 D1C1CD∩平面 ABCD=DC, 所以 K∈DC,FE,HG,DC 三线共点. 15.【解析】(1)在四棱锥 P-ABCD 中, 因为 PO⊥平面 ABCD, 所以∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, 即∠PBO=60°. 在 Rt△POB 中,因为 BO=AB·sin30°=1, 又 PO⊥OB,所以 PO=BO·tan60°= 因为底面菱形的面积 S 菱形 ABCD=2 所以四棱锥 P -ABCD 的体积 VP -ABCD= ×2 × =2. . ,

(2)取 AB 的中点 F,连接 EF,DF, 因为 E 为 PB 中点, 所以 EF∥PA. 所以∠DEF 为异面直线 DE 与 PA 所成角(或补角). 在 Rt△AOB 中, AO=AB·cos30°= =OP, ,

所以在 Rt△POA 中,PA= 所以 EF= .

因为四边形 ABCD 为菱形,且∠DAB=60°, 所以△ABD 为正三角形. 又因为∠PBO=60°,BO=1, 所以 PB=2,所以 PB=PD=BD,即△PBD 为正三角形,所以 DF=DE= 所以 cos∠DEF= = = = . ,

即异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为 .

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