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2013~2014学年宁夏回族自治区石嘴山市光明中学高二上学期数学第一次月考试题(全解全析)


高中数学新课标复习之光明中学高二上学期数学第一次月考

石嘴山市光明中学 潘学功

2013~2014 学年宁夏回族自治区石嘴山市光明中学 高二上学期数学第一次月考试题(2013 年 10 月 10 日)全解全析
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。 ) 1.圆 x2+y2+4x=0 的圆心坐标和

半径分别是( ) A.(-2,0),2 B.(-2,0),4 C.(2,0),2 【解析】选择 A。 2. 圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程是( ) A. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

D.(2,0),4

B. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

C. ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1
2 2

D. x ? ( y ? 3) ? 1
2 2

【解析】选择 A。 3. 直线 3x-4y-5 = 0 和(x-1)2 + (y + 3)2 = 4 位置关系是( A.相交但不过圆心 【解析】选择 C。 B.相交且过圆心 C.相切

) D.相离 )

4. 下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(

A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 【解析】选择 D。 5.轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A.4 倍 B.3 倍 C. 2倍 D.2 倍 【解析】因为 M ? { y | y ? 1} , P ? {x | x ? R} ,所以 M

P ,所以选择 C。


6.已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为( A. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

B. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

C. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

D. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

【解析】由 ?

?1 ? x ? 0 ,得 0 ? x ? 1 ,所以选择 C。 ?x ? 0


7.已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4,高为 2,则体积为( A.32 3 B.28 3 C.24 3 D.20 3 【解析】因为 CU A ? {0,1} ,所以(CUA)∩B={0},所以选择 B。 8. 直线 y=x-1 上的点到圆 x +y +4x-2y+4=0 上的点的最近距离为( A.2 2 【解析】选择 C。 9. 平面 ? 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 ? 的
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2 2



B. 2 ? 1

C. 2 2 ? 1

D.0

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距离为 2 ,则此球的体积为( A. 6? C. 4 6? B. 4 3? D. 6 3?



【解析】如图所示,由已知 O1 A ? 1 , OO1 ?

2,

在 Rt ?OO1 A 中,球的半径 R ? OA ? 3 , 所以此球的体积 V ?
2

4 3 ? R ? 4 3? ,故选择 B。 3
2

10. 直线与圆(x+1) +(y-2) =3 相交于 A, B 两点, 若弦 AB 的中点 D 为(-2,3) ,则直线 AB 的方程为 ( A. x+y-3=0 B. x-y+5=0 C.2x+y-3=0 D. x+2y-3=0 【解析】选择 B。 11.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积 (单位: cm )为( A. 48 ? 12 2 C. 36 ? 12 2
2



) B. 48 ? 24 2 D. 36 ? 24 2

【解析】棱锥的直观图如右,则有 PO=4,OD=3, 由勾股定理,得 PD=5,AB=6 2 , 全面积为:

1 1 1 ×6×6+2× ×6×5+ ×6 2 ×4=48+12 2 , 2 2 2
?x ? 2 y ? 0 2 2 所确定的平面区域,则圆 x ? y ? 4 在区域 D 的弧长为 ( ?x ? 3y ? 0
B.

因此选择 A。 12.已知 D 是由不等式组 ? A. )

? 4

? 2

C.

3? 4

D.

3? 2

【解析】选择 B。 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分。 ) 13. 过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 B(2,1) ,则圆 C 的方程为_______________ 【答案】 ( x ? 3) ? y ? 2 。
2 2

【解析】设圆 C 的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,
2 2 2

? b ?1 ? a ? 2 ? ?1 ?b ? ?a ? 3 ? ? 2 ? 2 2 2 2 由题意得 ?( 4 ? a ) ? (1 ? b) ? r ,化简得 ?r ? 2a ? 12 a ? 20 , ?| a ? b ? 1 | ? ?r ? 2 | a ? 2 | ? ?r ? 2 ?

?a ? 3 ? 2 2 解得 ?b ? 0 ,则圆 C 的方程为 ( x ? 3) ? y ? 2 。 ? ?r ? 2

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14. 正视图为一个三角形的几何体可以是 【答案】三棱锥,三棱柱、圆锥。

(写出三种) 。

【解析】三棱锥,三棱柱、圆锥,四棱锥(其它正确答案同样给分) 。 15. 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,若 D(0,0,0), A(5,0,0), B(5,4,0), A1 (5,0,3) , 则对角线 AC1 的长为__________ 【答案】 a ? ?1 。 【解析】若 M ? N ? ? ,则 a ? ?1 。 16.若曲线 y ? 1 ? x 与直线 y ? x ? b 始终有交点,
2

则 b 的 取值范围是___________。 【答案】 ?1 ? b ?

2。
2

2 2 【解析】如图所示, y ? 1 ? x 可化为 x ? y ? 1( y ? 0 ) ,

它表示以原点 O(0,0)为圆心,半径为 1 的上半圆。 直线 y ? x ? b 表示斜率为 1 的一组平行线。 当直线 y ? x ? b 过点(1,0)时,截距 bmin ? ?1 ; 当直线 y ? x ? b 与半圆相切时, bmax ?

2。

因此 b 的 取值范围为 ?1 ? b ? 2 。 三、解答题:(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 17.已知圆 C 经过点 A(2,-1),和直线 x + y = 1 相切,且圆心在直线 y = -2x 上,求圆 C 的方程。 【解析】 (解法 1)设所求圆 C 的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,
2 2 2

? ?b ? ?2a ? ? 2 2 2 由题意得 ?( 2 ? a ) ? ( ?1 ? b) ? r , ?| a ? b ? 1 | ? ?r ? 2 ? ? ?b ? ?2a ? ? 2 2 2 解得 ?( a ? 2) ? ( 2a ? 1) ? r , ?| a ? 1 | ? ?r ? ? 2
所以 (a ? 2) ? (2a ? 1) ?
2 2

(a ? 1) 2 , 2

化简得 a ? 2a ? 1 ? 0 ,
2

解得 a ? 1 , b ? ?2 , r ? 2 ,
2

因此所求圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 2 。
2 2

(解法 2) 因为点 A 在圆上,也在直线 x + y = 1 上,
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所以点 A 为切点。 连接 CA,则 CA 垂直于切线 x + y = 1, 所以 kCA ? 1 。

?b ? ?2a ?a ? 1 ? 设圆心 C( a , b ) ,则 ? b ? 1 ,解得 ? 。 b ? ? 2 ? 1 ? ? ?a ? 2
又半径 r ?| CA | ? (1 ? 2) ? (?2 ? 1) ? 2 ,
2 2 2 2

因此所求圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 2 。
2 2

18.已知某个几何体的三视图如下,根据图中 标出 的尺寸(单位:cm) , (1)画出该几何体的直观图; (2)求这个几何体的体积。 【解析】直观图如图,
P

20

20 正视图

20 侧视图

10
D C

10 20 俯视图

A

B

1 8000 。 ? 20 ? 20 ? 20 ? 3 3 2 2 19.若直线 l 过点 A(-3,-3) ,且被圆 C: x ? y ? 4 y ? 21 ? 0 截得的弦长为 4 5 ,求直线 l 的方程。
这个几何体的体积 V ? 【解析】圆 C: x ? y ? 4 y ? 21 ? 0 化为 x ? ( y ? 2) ? 25 ,
2 2

2

2

所以圆 C 的圆心 C(0,-2) ,半径 r ? 5 。

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如图所示,设圆心 C 到所求直线 l 的距离为 d , 因为弦长为 4 5 , 所以 d ?

r 2 ? (2 5) 2 ? 25 ? 20 ? 5 , 设所求直线 l 的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 3) , 即 kx ? y ? 3k ? 3 ? 0 , | 3k ? 1| 则d ? ? 5 , k 2 ?1 2 2 2 化简得 (3k ? 1) ? 5k ? 5 ,即 2k ? 3k ? 2 ? 0 。 1 解得 k ? 2 或 k ? ? , 2 因此直线 l 的方程为 2 x ? y ? 3 ? 0 或 x ? 2 y ? 9 ? 0 。

20.如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋, 如果冰淇淋融化了,冰淇淋会从杯子溢出吗? 请计算说明理由。 【解析】如图所示,半球的半径为 4cm, 圆锥的底面半径为 4cm,高为 10cm。 因为 V半球 ?

V圆锥

2 3 128 ?r ? ? cm3, 3 3 1 2 160 ? ?r h ? ? cm3, 3 3

所以 V半球 ? V圆锥 , 因此,如果冰淇淋融化了,冰淇淋不会从杯子溢出。 21.已知圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 ,圆 C 2 : x ? y ? 4 x ? 2 y ? 11 ? 0 ,
2 2 2 2

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求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长。 【解析】 方法一: (1)求两圆的公共弦所在的直线方程 圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 ,
2 2

圆 C 2 : x ? y ? 4 x ? 2 y ? 11 ? 0 ,
2 2

将两圆方程相减得 6 x ? 8 y ? 12 ? 0 ,即 3x ? 4 y ? 6 ? 0 。 这就是所求两圆的公共弦所在的直线方程。 (2)求两圆的公共弦长等于公共弦所在的直线 3x ? 4 y ? 6 ? 0 与 圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 相交所得弦长。
2 2

因为圆 C1 : ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 9 ,圆心 C1 (-1,3) ,半径 r ? 3 ,
2 2

所以 d ?

| ?3 ? 12 ? 6 | 9 ? , 5 5

从而两圆公共弦长 | AB |? 2 r ? d ? 2 9 ?
2 2

81 24 ? 。 25 5

方法二:解方程组求交点
2 2 ? ?x ? y ? 2x ? 6 y ? 1 ? 0 由? 2 , 2 ? ? x ? y ? 4 x ? 2 y ? 11 ? 0 两方程相减得 3x ? 4 y ? 6 ? 0 ,代入第一个方程得

22.已知圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 25 ,直线 l : (2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4 ? 0 ( m ? R ),
2 2

求直线被圆 C 截得的弦长最短时 l 的方程。 【解析】将直线 l : (2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4 ? 0 化为 (2 x ? y ? 7)m ? ? x ? y ? 4 , 令?

?2 x ? y ? 7 ? 0 ?x ? 3 ,得 ? 。 ?y ?1 ?? x ? y ? 4 ? 0
2 2

因此直线 l 恒过定点 M (3,1) 。 由圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 25 ,得圆心 C (1,2) ,半径 r ? 5 。 连接 CM ,过点 M 作直线 l ⊥ CM ,则此时直线 l 被圆 C 截得的弦长最短。 因为 k CM ?

1? 2 1 ? ? ,所以直线 l 的斜率 k ? 2 , 3 ?1 2

因此直线 l 的方程为 y ? 1 ? 2( x ? 3) ,即 2 x ? y ? 5 ? 0 。

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