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2007-2008华南农业大学数学分析期末考试试卷


华南农业大学期末考试试卷( 华南农业大学期末考试试卷(A 卷)
2007/8 学年第 2 学期
考试类型: 闭卷) (闭卷 考试类型: 闭卷) ( 学号 题号 得分 评阅 人
一、填空题: (每小题 3 分,共 12 分) 柯西收敛准则, 闭区间套定理, 1. 写出实数完备性的六个基本定理的名称:_单调有界定理, 有限覆盖定理,确界原理,聚点定理, ________________________________________ 2. 已知平面曲线 y = f ( x ) 上每一点 ( x, y ) 处的切线斜率为 x e ,且该曲线通过点 ( 0,3) ,
2 x

考试科目: 数学分析 考试科目:
考试时间: 考试时间: 120 年级专业 四 五 六 分钟 七 八 总分

姓名 一 二 三

则该曲线的方程为 __________________________________. 3. 曲线 y = ln x 与 y 轴及直线 y = ln 3 , y = ln 4 围成的区域的面积为_______________. 4.

g ( x ) = ∫ xf ( t )dt , f ( t ) 为连续函数,则 g ′ ( x ) = ___________________.
a

x2

二、判断题: (每小题 2 分,共 10 分) 1.若函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b ] 上可积,则 f ( x ) 在 [ a, b ] 上一定有原函数. ( 2. )



+∞

a

f ( x )dx 收敛且 f 在 [a, +∞) 上连续,则有 lim f ( x ) = 0 . (
x →+∞

) ( )

3.设 an ≤ cn ≤ bn ,且数项级数 4.在级数

∑a

n



∑b

n

都收敛,则

∑c

n

一定收敛. )

∑u
{

n

的项中任意加括号,不改变级数的敛散性. (

5.设函数列 f n ( x ) 在 [ a, b ] 上一致收敛, 且对任意 n ∈ N ,f n ( x ) 都是 [ a, b ] 上的可微函数, 则 f n′ ( x ) 在 [ a, b ] 上也一致收敛. ( 三、计算题: (每小题 5 分,共 25 分) 1.求极限 lim )

}

1 (1 + 23 + L + n3 ) . n →∞ n 4

2.计算定积分




1

?1

( x cos x + e )dx .
5 | x|

( x ? 1) n 3.求幂级数 ∑ 收敛半径和收敛域. n n =0

4.设 f ( x ) =

∑ ne
n =1 ∞



? nx

, x > 0 ,计算 ∫

ln 3

ln 2

f (t )dt .

5.计算级数

∑ (n + 1)! 的和.
n =1

n

四、证明题: (每小题 8 分,共 24 分) 1.若函数 f 在 [ a, b] 上连续,且存在原函数 F ,则 f 在 [ a, b] 上可积,且



b

a

f ( x)dx = F (b) ? F (a) .

2.设 { f n } 为定义在 [ a, b] 上的函数列,若 x0 ∈ [ a, b] 为 { f n } 的收敛点, { f n } 的每一项在

[a, b] 上有连续的导数,且 f n′ 在 [a, b] 上一致收敛,则
d d lim f n ( x) = lim f n ( x) . n →∞ n →∞ dx dx
3.证明:

{ }

(

)



sin 2 x

0

arcsin tdt + ∫

cos2 x

0

arccos tdt =

π
4

(0 < x <

π
4

).

五、讨论反常积分 Φ(α ) =



+∞ 0

x α ?1 dx 的收敛性. 1+ x

(8 分)

六、求函数 F ( x) = 七、设



x

0

e? t dt 的幂级数展开式.(8 分)
2

? x, ? f ( x) = ? ?0 ?
求 f 的傅立叶级数展开式.(8 分)

0 ≤ x ≤π, ?π < x < 0

八、应用题: 求由椭球面

x2 y2 z2 + + = 1 所围成立体(椭球)的体积.(5 分) a2 b2 c2


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