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高考数学选择题填空题答题技巧


高考数学选择题答题技巧
题型一 直接对照法 直接对照型选择题是直接从题设条件出发,利用已知条件、相关概念、性质、公式、公 理、定理、法则等基础知识,通过严谨推理、准确运算、合理验证,从而直接得出正确结论, 然后对照题目所给出的选项“对号入座” ,从而确定正确的选择支.这类选择题往往是由计 算题、应用题或证明题改编而来,其基本求解策略是由因导果,直接求解. 例 1 设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)· f(x+2)=13,若 f(1)=2,则 f(99)等于 ( A.13 B.2 13 C. 2 2 D. 13 )

思维启迪:先求 f(x)的周期. 13 解析 ∵ f(x+2)= , f(x) ∴ f(x+4)= 13 13 = =f(x). f(x+2) 13 f(x) 13 13 = . f(1) 2

∴ 函数 f(x)为周期函数,且 T=4. ∴ f(99)=f(4× 24+3)=f(3)=

题型二 概念辨析法 概念辨析是从题设条件出发,通过对数学概念的辨析,进行少量运算或推理,直接选择 出正确结论的方法.这类题目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质,这需要考生 在平时注意辨析有关概念,准确区分相应概念的内涵与外延,同时在审题时要多加小心,准 确审题以保证正确选择.一般说来,这类题目运算量小,侧重判断,下笔容易,但稍不留意 则易误入命题者设置的“陷阱”. 例 3 已知非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),给出下列条件,① a=kb(k∈ R);
2 2 2 ② x1x2+y1y2=0;③ (a+3b)∥ (2a-b);④ a· b=|a||b|;⑤ x2 1y2+x2y1≤2x1x2y1y2.

其中能够使得 a∥ b 的个数是( A.1 B.2 C.3

) D.4

解析 显然①是正确的, 这是共线向量的基本定理; ②是错误的, 这是两个向量垂直的条件; λ+3 1 ③是正确的,因为由(a+3b)∥ (2a-b),可得(a+3a)=λ(2a-b),当 λ≠ 时,整理得 a= 2 2λ-1 1 b, 故 a∥ b, 当 λ= 时也可得到 a∥ b; ④ 是正确的, 若设两个向量的夹角为 θ, 则由 a· b=|a||b|cos 2
2 2 2 θ,可知 cos θ=1,从而 θ=0,所以 a∥ b;⑤ 是正确的,由 x2 1y2+x2y1≤2x1x2y1y2,可得(x1y2

-x2y1)2≤0,从而 x1y2-x2y1=0,于是 a∥ b.

题型三 数形结合法 “数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石,二者在内容上互相联系、在 方法上互相渗透、 在一定条件下可以互相转化, 而数形结合法正是在这一学科特点的基础上 发展而来的.在解答选择题的过程中,可以先根据题意,做出草图,然后参照图形的做法、 形状、位置、性质,综合图象的特征,得出结论. 例 4 (2009· 海南)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值.设 f(x)=min{2x,x+2,10 -x}(x≥0),则 f(x)的最大值为 ( A.4 B.5 ) C.6 D.7

思维启迪:画出函数 f(x)的图象,观察最高点,求出纵坐标即可.本题运用图象来求值, 直观、易懂. 解析 由题意知函数 f(x)是三个函数 y1=2x,y2=x+2,y3=10-x 中的较小者,作出三个 函数在同一个坐标系之下的图象(如图中实线部分为 f(x)的图象)可知 A(4,6)为函数 f(x)图象 的最高点.

变式训练函数 y=|log1 x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度 b-a 的最小
2

值是 ( A.2

) 3 B. 2
2

C .3

3 D. 4

解析 作出函数 y=|log1 x|的图象,如图所示,由 y=0 解得 x=1;由 y=2,解得 x=4 或 x 1 1 3 = .所以区间[a,b]的长度 b-a 的最小值为 1- = . 4 4 4

题型四 特例检验法 特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条 件,得出特殊结论,再对个选项进行检验,从而做出正确的选择.常用的特例有特殊数值、 特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.特例检验是解答选择题的最佳方法 之一,适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”,这样以全称判断形式出现 的题目,其原理是“结论若在某种特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真”,利用“小 题小做”或“小题巧做”的解题策略.

(1)特殊值 例 6、若 sinα>tanα>cotα( ? A.( ?

?
4

?? ?

?
2

),则 α∈ ( )

? ? ? ? ? ? ,? ) B. ( ? ,0) C. (0, ) D. ( , ) 2 4 4 4 4 2 π ? ? 解析:因 ? ? ? ? ,取 α=- 代入 sinα>tanα>cotα,满足条件式,则排除 A、C、D, 6 4 2


故选 B。 例 7、一个等差数列的前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,则它的前 3n 项和为( A.-24 B.84 C.72 D.36

解析:结论中不含 n,故本题结论的正确性与 n 取值无关,可对 n 取特殊值,如 n=1, 此时 a1=48,a2=S2-S1=12,a3=a1+2d= -24,所以前 3n 项和为 36,故选 D。 (2)特殊函数 例 8、 如果奇函数 f(x) 是[3, 7]上是增函数且最小值为 5, 那么 f(x)在区间[-7, -3]上是 ( ) A.增函数且最小值为-5 C.增函数且最大值为-5 解析:构造特殊函数 f(x)= B.减函数且最小值是-5 D.减函数且最大值是-5

5 x,虽然满足题设条件,并易知 f(x)在区间[-7,-3]上是 3

增函数,且最大值为 f(-3)=-5,故选 C。 例 9、 定义在 R 上的奇函数 f(x)为减函数, 设 a+b≤0, 给出下列不等式: ① f(a)· f(-a)≤0; ② f(b)· f(- b)≥0;③ f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b);④ f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)。其中正确的不等式序号是( A.① ② ④ B.① ④ C.② ④ D.① ③ )

解析:取 f(x)= -x,逐项检查可知① ④ 正确。故选 B。 (3)特殊数列 例 10、已知等差数列 {an } 满足 a1 ? a2 ???? ? a101 ? 0 ,则有 A、 a1 ? a101 ? 0 B、 a2 ? a102 ? 0 C、 a3 ? a99 ? 0 ( D、 a51 ? 51 )

解析:取满足题意的特殊数列 an ? 0 ,则 a3 ? a99 ? 0 ,故选 C。 (4)特殊位置 例 11、过 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 作直线交抛物线与 P、Q 两点,若 PF 与 FQ 的长分别
2

是 p、 q ,则 A、 2 a

1 1 ? ? p q
B、





1 2a

C、 4 a

D、

4 a

解析:考虑特殊位置 PQ⊥OP 时, | PF |?| FQ |?

1 1 1 ,所以 ? ? 2a ? 2a ? 4a , 2a p q

故选 C。 例12、向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如右

图所示,那么水瓶的形状是

(

)

解析:取 h ? (5)特殊点

H 1 ,由图象可知,此时注水量 V 大于容器容积的 ,故选B。 2 2
?1

例 13、设函数 f ( x) ? 2 ? x ( x ? 0) ,则其反函数 f

( x) 的图像是





A、

B、

C、

D、

解析: 由函数 f ( x) ? 2 ? x ( x ? 0) , 可令 x=0, 得 y=2; 令 x=4, 得 y=4, 则特殊点(2,0) -1 -1 及(4,4)都应在反函数 f (x)的图像上, 观察得 A、 C。 又因反函数 f (x)的定义域为 {x | x ? 2} , 故选 C。 (6)特殊方程 例 14、双曲线 b2x2-a2y2=a2b2 (a>b>0)的渐近线夹角为α ,离心率为 e,则 cos A.e B.e2 C.

? 等于( ) 2

1 e

D.

1 e2

解析:本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式,故可用特殊方程来考察。 取双曲线方程为

? 2 x2 y2 5 b 1 - =1,易得离心率 e= ,tanα=a =2 ,cos = ,故选 C。 2 4 1 2 5
y 的最大值是( x

(7)特殊模型 例 15、如果实数 x,y 满足等式(x-2)2+y2=3,那么 A. )

3 3 C. D. 3 3 2 y ? y1 y y?0 解析:题中 可写成 。联想数学模型:过两点的直线的斜率公式 k= 2 , x x?0 x2 ? x1
B. 可将问题看成圆(x-2)2+y2=3 上的点与坐标原点 O 连线的斜率的最大值,即得 D。 题型五 筛选法 数学选择题的解题本质就是去伪存真, 舍弃不符合题目要求的选项, 找到符合题意的正 确结论. 筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例, 对 于错误的选项,逐一剔除,从而获得正确的结论. 例 16 方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根的充要条件是( A.0<a≤1 ) B.a<1 C.a≤1 D.0<a≤1 或 a<0 1 解析 当 a=0 时,x=- ,故排除 A、D.当 a=1 时,x=-1,排除 B.故选 C. 2 变式训练已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧,则

1 2

实数 m 的取值范围是( A.(0,1) B.(0,1]

) C.(-∞,1) D.(-∞,1]

1 解析 令 m=0,由 f(x)=0 得 x= 适合,排除 A、B.令 m=1,由 f(x)=0 得:x=1 适合, 3 排除 C. 例 17、若 x 为三角形中的最小内角,则函数 y=sinx+cosx 的值域是( A. (1, 2 ] B. (0, )

3 ] 2

C.[

1 2 , ] 2 2

D. (

1 2 , ] 2 2

解析: 因 x 为三角形中的最小内角, 故 x ? (0, 故应选 A。

?
3

], 由此可得 y=sinx+cosx>1, 排除 B,C,D,

例 18、原市话资费为每 3 分钟 0.18 元,现调整为前 3 分钟资费为 0.22 元,超过 3 分钟的, 每分钟按 0.11 元计算,与调整前相比,一次通话提价的百分率( A.不会提高 70% C.不会低于 10% B.会高于 70%,但不会高于 90% D.高于 30%,但低于 100% )

0.33 - 0.36 3.19 - 1.8 解析: 取 x=4, y= · 100%≈-8.3%, 排除 C、 D; 取 x=30, y = · 100% 0.36 1.8 ≈77.2%,排除 A,故选 B。 例 19、给定四条曲线:① x 2 ? y 2 ?

y2 5 x2 y2 x2 ,② ? ? 1,③ x 2 ? ? 1,④ ? y 2 ? 1,其中 2 9 4 4 4

与直线 x ? y ? 5 ? 0 仅有一个交点的曲线是( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④

解析:分析选择支可知,四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求,故可考虑找不符合条件 的曲线从而筛选,而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆,故可先看②,显然直线和曲线

x2 y2 ? ? 1是相交的,因为直线上的点 ( 5 ,0) 在椭圆内,对照选项故选 D 9 4
题型六 估算法 由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过程.因此,有些题目,不必进行准 确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计,便能作出正确的判断,这就是估 算法.估算法往往可以减少运算量,但是加强了思维的层次.

x≤0 ? ? 例 20 若 A 为不等式组?y≥0 ? ?y-x≤2
3 A. 4

表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直

线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为( B.1 C. 7 4

) D. 2

解析 如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形. 阴影部分面积比 1 大, 比 S△OAB

1 = ×2×2=2 小,故选 C 项. 2

例 21、 如图, 在多面体 ABCDFE 中, 已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形, EF∥AB, EF= EF 与面 ABCD 的距离为 2,则该多面体的体积为( )

3 , 2

9 A、 2

B、5

C、6

15 D、 2

解析:依题意可计算 VE ? ABCD ? 6,故选 D。

1 1 S ABCD ? h ? ? 3 ? 3 ? 2 ? 6 ,而 VABCDEF ?E VAB? C D 3 3



(四)选择题解题的常见失误
1、审题不慎 例 1、设集合 M={直线} ,P={圆} ,则集合 M ? P 中的元素的个数为 A、0 B、1 C、2 ( )

D、0 或 1 或 2

误解:因为直线与圆的位置关系有三种,即交点的个数为 0 或 1 或 2 个,所以 M ? P 中的元素的个数为 0 或 1 或 2。故选 D。 剖析:本题的失误是由于审题不慎引起的,误认为集合 M,P 就是直线与圆,从而错 用直线与圆的位置关系解题。实际上,M,P 表示元素分别为直线和圆的两个集合,它们没 有公共元素。故选 A。 2、忽视隐含条件 例 2、若 sin 2 x 、 sin x 分别是 sin ?与 cos? 的等差中项和等比中项,则 cos 2 x 的值为 ( )

1 ? 33 8 误解:依题意有 2 sin 2 x ? sin ? ? cos ? , ①
A、 B、

1? 2 1 ? 33 D、 4 8 2 s i n x? ? s i n? c o s ② 1 ? 33 2 由①2-②× 2 得, 4 cos 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 0 ,解得 cos 2 x ? 。故选 C。 8 1 ? 33 8
C、

剖析:本题失误的主要原因是忽视了三角函数的有界性这一隐含条件。事实上,由

sin 2 x ? sin ? cos? ,得 cos 2 x ? 1 ? sin 2? ? 0 ,所以

1 ? 33 不合题意。故选 A。 8


3、概念不清 例 3、已知 l1 : 2 x ? my ? 2 ? 0, l2 : mx? 2 y ? 1 ? 0 ,且 l1 ? l 2 ,则 m 的值为(

A、2

B、1

C、0

D、不存在

误解:由 l1 ? l 2 ,得 k1k 2 ? ?1. ? ?

2 ?m ?( ) ? ?1 ,方程无解,m 不存在。故选 D。 m 2

剖析:本题的失误是由概念不清引起的,即 l1 ? l 2 ,则 k1k 2 ? ?1 ,是以两直线的斜率 都存在为前提的。若一直线的斜率不存在,另一直线的斜率为 0,则两直线也垂直。当 m=0 时,显然有 l1 ? l 2 ;若 m ? 0 时,由前面的解法知 m 不存在。故选 C。 4、忽略特殊性 例 4、已知定点 A(1,1)和直线 l : x ? y ? 2 ? 0 ,则到定点 A 的距离与到定直线 l 的 距离相等的点的轨迹是 A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、直线 ( )

误解:由抛物线的定义可知,动点的轨迹是抛物线。故选 C。 剖析:本题的失误在于忽略了 A 点的特殊性,即 A 点落在直线 l 上。故选 D。 5、转化不等价 例 5、函数 y ? x ?

x 2 ? a 2 (a ? 0) 的值域为
[a, ? ?) B、
C、( ??, 0]





A、(??, 0) ? (0, ? ?)

[?a, 0) ? [a, ? ?) D、
?1

误解:要求原函数的值域可转化为求反函数的定义域。因为反函数 f 所以 x ? 0 ,故选 A。

( x) ?

x2 ? a2 , 2x

剖析:本题的失误在于转化不等价。事实上,在求反函数时,由 y ? x ? ? x 2 ? a 2 ,两
2 2 2 边平方得 ( y ? x) ? x ? a ,这样的转化不等价,应加上条件 y ? x ,即 y ?

y2 ? a2 ,进 2y

而解得, y ? a或 ? a ? y ? 0 ,故选 D。

填空题的解题方法与技巧
题型一 直接法 例 1 在等差数列 {an} 中, a1 =- 3,11a5 = 5a8 - 13 ,则数列 {an} 的前 n 项和 Sn 的最小值 ________.

思维启迪:计算出基本量 d,找到转折项即可. 解析 设公差为 d,则 11(-3+4d)=5(-3+7d)-13, 5 ∴d= .∴数列{an}为递增数列. 9 5 32 令 an≤0,∴-3+(n-1)·≤0,∴n≤ ,∵n∈N*. 9 5 29 ∴前 6 项均为负值,∴Sn 的最小值为 S6=- . 3 题型二 特殊值法 (sin A-sin C)(a+c) 例 2 已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足 = b sin A-sin B,则 C=_______. 思维启迪 题目中给出了△ABC 的边和角满足的一个关系式,由此关系式来确定角 C 的大 小,因此可考虑一些特殊的三角形是否满足关系式,如:等边三角形、直角三角形等,若满 足,则可求出此时角 C 的大小. 解析 容易发现当△ABC 是一个等边三角形时,满足 此时 C=60° ,故角 C 的大小为 60° . → → 例 3 如图所示,在△ABC 中,AO 是 BC 边上的中线,K 为 AO 上一点,且OA=2AK, → → → → 过点 K 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则 (sin A-sin C)(a+c) =sin A-sin B,而 b

m+n=________. 思维启迪:题目中过点 K 的直线是任意的,因此 m 和 n 的值是变化的,但从题意看 m+n 的值是一个定值,故可取一条特殊的直线进行求解. → → 解析 当过点 K 的直线与 BC 平行时,MN 就是△ABC 的一条中位线(∵OA=2AK,∴K 是 → → → → AO 的中点).这时由于有AB=mAM,AC=nAN,因此 m=n=2,故 m+n=4. 题型三 图象分析法(数形结合法) f(x) 例 4 函数 y=f(x)的图象如图所示,其定义域为[-4,4],那么不等式 ≤0 的解集 sin x 为__________________________________.

解析

?f(x)≤0, ?f(x)≥0, ? ? f(x) ≤0?? 或? 在给出的坐标系中,再作出 y=sin x 在 sin x ?sin x>0, ? ? ?sin x<0,

π [-4,4]上的图象,如图所示,观察图象即可得到所求的解集为[-4,-π)∪(-π,0)∪[ ,π). 2

题型四 等价转化法 将所给的命题进行等价转化, 使之成为一种容易理解的语言或容易求解的模式. 通过转 化,使问题化繁为简、化陌生为熟悉,将问题等价转化成便于解决的问题,从而得出正确的 结果. 例6
?x2-4x+6, ? 设函数 f(x)=? ?3x+4, ?

x≥0 x<0

, 若互不相等的实数 x1, x2, x3 满足 f(x1)=f(x2)=f(x3),

则 x1+x2+x3 的取值范围是________. 思维启迪: 将问题转化为 y=m 与 y=f(x)有三个不同的交点, 再研究三个交点的横坐标 之和的取值范围. 解析 本题可转化为直线 y=m 与函数 f(x)的图象有三个交点,y=x2-4x+6 在[0,+∞) 的最小值为 f(2)=2,故 2<m<4,易知 x1,x2,x3 中必有一负二正,不妨设 x1,x2>0,由于 2 2 2 y=x2-4x+6 的对称轴为 x=2,则 x1+x2=4, 令 3x+4=2, 得 x=- , 则- <x3<0, 故- + 3 3 3 10 4<x1+x2+x3<0+4,即 x1+x2+x3 的取值范围是( ,4). 3

题型五 构造法

构造型填空题的求解, 需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型, 从而简 化推理与计算过程, 使较复杂的数学问题得到简捷的解决, 它来源于对基础知识和基本方法 的积累,需要从一般的方法原理中进行提炼概括,积极联想,横向类比,从曾经遇到过的类 似问题中寻找灵感,构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型,使问题快速解决. π 2sin(x+ )+2x2+x 4 例 7 函数 f(x)= 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=________. 2x2+cos x x+sin x 思维启迪:直接求 f(x)的最大值、最小值显然不可取.化简 f(x)=1+ 2 ,构造 2x +cos x x+sin x 新函数 g(x)= 2 利用 g(x)的奇偶性求解. 2x +cos x x+sin x 解析 根据分子和分母同次的特点,分子展开,得到部分分式,f(x)=1+ 2 ,f(x)- 2x +cos x 1 为奇函数,则 m-1=-(M-1),∴ M+m=2.

例 8 已知 a、b 是正实数,且满足 ab=a+b+3,则 a+b 的取值范围是__________. 思维启迪:考虑到已知条件中出现了两个正数 a 和 b 的乘积 ab 以及和 a+b,可与一元 二次方程的根联系起来构造方程进行求解. 解析 ∵ a、b 是正实数且 ab=a+b+3, 故 a、b 可视为一元二次方程 x2-mx+m+3=0 的两个根, 其中 a+b=m,ab=m+3. Δ=m -4m-12≥0, ? ? 要使方程有两个正根,应有?m>0, ? ?m+3>0, 解得 m≥6,即 a+b≥6,故 a+b 的取值范围是[6,+∞).
2


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