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典型题型的一题多解,培养学生发散性思维能力


典型题型一题多解,培养学生发散思维能力
在平时的学习中,我们总发现有些学生做了大量的练习,都快成 做题的机器了,但学习效果却收效甚微。究其原因,大部分学生对基 本定义概念、定理、推理等理解的不到位不够透彻,许多知识的相关 概念、规律不系统,还是零散的。概念的内涵和外延,规律之间的联 系不清楚。 用学生的话说, 老师讲的听得懂、 看得懂, 就是不会做题。 其实归根到底,学生对所学知识还是掌握不透。那么针对这种困惑, 我们教师应该怎么做呢? 我认为教师在平时的教学中应注意精选例题,多挑一些典型题型,一 题多解,对比规律,培养学生发散思维能力,加深学生对基本概念和 基本规律的理解和应用。 典型题型一题多解可以深化学生对数学概念性质的理解, 让学生 充分发挥自己的数学思维运用能力。 比如在等差数列中求数列前 n 项和的问题。 例 1: S n 是等差数列{ an }的前 n 项和,且 S 6 =42, S9 =90,求 S12 . 法 1:因为等差数列前 n 项和 Sn ? na1 ?
n(n ? 1) d ,故 2

S 6 =6 a1 +15d=42①, S 9 =9 a1 +36d=90②,由①②解得: a1 =2,d=2,

12*11 *2=156. 2 评析:用法 1 解题,要求学生掌握等差数列前 n 项和公式,根据两个条件可以建

所以 S12 =12*2+

立关于等差数列首项 a1 和公差 d 的一个二元一次方程组,进而求出 a1 和 d,最后 将 S12 求解出。

法 2:等差数列前 n 项和 Sn ? na1 ?
S n =A n 2 +Bn,

n(n ? 1) d 2 d n +( a1 - )n,设 d= 2 2 2

故 S 6 =36A+6B=42③, S9 =81A+9B=90④,由③④可得:A=1,B=1, 最后算得 S12 =144+12=156.

评析: 若学生用法 2 这种方法, 说明这个学生对等差数列前 n 项和公式的实质掌 握透彻了, 等差数列前 n 项和公式是关于 n 的不含常数项的一元二次函数,故可 设 S n =A n +Bn,这样大大减少了解题的运算量。
2

S d d d 2 d ( n, n + a1 - ) 则 n ? n ? (a1 ? ) , n 2 2 2 2 S S S S 所以数列{ n }是等差数列, 6 =7, 9 =10, 12 三个数成等差数列, 且 12 n 6 9 S S 即 7+ 12 =20=> 12 =13=> S12 =156. 12 12

法 3: 因为等差数列前 n 项和 S n =

Sn 评析: 等差数列前 n 项和公式是关于 n 的不含常数项的一元二次函数, 那么 n 是 Sn S 6 S9 关于 n 的一次函数, 即数列{ n }是等差数列, 根据等差数列性质可知 6 , 9 , S12 12 三个数成等差数列,这种方法非常灵活巧妙。

法 4: 因为等差数列前 n 项和 S n = 所以数列{
Sn n

S d d d 2 d ( n, n + a1 - ) 则 n ? n ? (a1 ? ) , n 2 2 2 2 Sn S6 }是等差数列,设 =an+b, 则 =6a+b=7 ⑤ , n 6

S9 =9a+b=10⑥,由⑤⑥解得:a=1,b=1, 9 S12 =12+1=> S12 =156. 12
Sn 评析:这种方法跟法 3 的实质是一致的,同样发现数列{ n }是等差数列,进而

Sn 利用等差数列的通项形式设 n =an+b, 根据条件建立关于 a 和 b 的二元一次方程

组,进而求解出这两个值,最后解出

S12



在数学课堂上,适时地通过典型题型一题多解去激发学生的智 慧,正是数学的魅力所在。教师应努力去营造一个鼓励性的、支持性 的课堂氛围, 创造能引导学生主动参与的教育环境, 摆脱枯燥的说教, 讲题之际善于倾听学生的理解分析,给学生更多思维的空间,只要我 们教师和学生共同努力,相信我们一定能取得良好的教学效果。


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