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北京市西城区(南区)2012-2013学年高一下学期期末质量检测数学试题 Word版含答案


北京市西城区(南区)2012-2013 学年下学期高一期末质量检测 数学试卷
本试卷满分 100 分,考试时间 120 分钟。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分。 1. 与角-70°终边相同的角是 A. 70° B. 110° C. 250° D. 290°

2. sin43°cos17°+cos43°sin17°的值

为 A. ?

1 2

B.

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

3. 已知向量 a= (x,1) ,b= (4, x) ,若向量 a 和 b 方向相同,则实数 x 的值是 A. -2 4. 函数 y ? sin(x ? A. [? C. [ B. 2 C. 0 D.

8 5

?
3

) 的单调递增区间是

?
6

? 2k? ,

5? 5? 11? ? 2k? ]( k ? Z ) B. [ ? 2k? , ? 2k? ]( k ? Z ) 6 6 6
D. [?

?
3

? 2k? ,

4? ? 2k? ]( k ? Z ) 3

2? ? ? 2k? , ? 2k? ]( k ? Z ) 3 3

5. 若直线过点(1,1)(2, 1? 3 ) , ,则此直线的倾斜角的大小为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

6. 在等差数列 {a n } 中, a1 ? a9 ? 10 ,则 a 5 的值为 A. 5 B. 6 C. 8 D. 10

7. 如图所示, M 是△ABC 的边 AB 的中点,若 CM ? a, CA ? b ,则 CB =

A. a ? 2b

B. 2a ? b

C. a ? 2b

D. 2a ? b

8. 与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1对称的直线的方程是 A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0

9. 设 S n 为等比数列 {a n } 的前 n 项和,已知 3S 3 ? a 4 ? 2,3S 2 ? a3 ? 2 ,则公比 q 等于 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

10. 已知直线过点 A(1,2) ,且原点到这条直线的距离为 1,则这条直线的方程是 A. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 和 x ? 1 C. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 和 y ? 1 B. 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 和 y ? 1 D. 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 和 x ? 1

?x ? y ? 1 ? 11. 设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ? y ? ?2 ?
A. -8 B. 3 C. 5 D. 7

12. 点 P( x, y ) 是函数 f ( x) ? 原点,则 OP ? QP 的取值范围为 A. [?1,0] B. [?1,2]

3 ? 1 5? ,O sin ?x( x ? ?? , ? ) 图象上的点,已知点 Q(2,0) 为坐标 2 ? 2 2?

C. [0,3]

D. [ ?1, 3 ? 1]

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分。把答案填在题中横线上。 13. 如果 cos? ?

1 ,且 ? 为第四象限角,那么 tan? 的值是__________。 2

14. 在△ABC 中,若 BC ? 2, AC ? 2, C ? 150°,则△ABC 的面积为__________。 15. 将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 ? (0 ? ? ? 则 ? 的值是__________。 16. 1

?
2

) 个单位,得到函数 y ? sin(2 x ? 1) 的图象,

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 10 10 =__________。 2 4 8 2

17. 已知点 A(a,2)( a ? 0) 到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离为 1,则 a ? __________。 18. 定义运算符号: ? ” “ ,这个符号表示若干个数相乘,例如:可将 1×2×3×?×n 记作

? i(n ? N * ) ,记 Tn ? ? ai ,其中 a i 为数列 {an }(n ? N * ) 中的第 i 项。
i ?1 i ?1

n

n

①若 a n ? 3n ? 2 ,则 T4 =__________; ②若 Tn ? 2n (n ? N ) ,则 a n =__________。
2 *

三、解答题:本大题共 5 小题,共 46 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19. (9 分)已知向量 a ? (1,2), b ? (?2, x) 。 (Ⅰ)当 x ? ?1 时,求向量 a 与 b 的夹角的余弦值; (Ⅱ)当 a ? (4a ? b) 时,求|b|。

20. (9 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a, b, c ,且 cos B ? (Ⅰ)当 A=30°时,求 a 的值; (Ⅱ)当△ABC 的面积为 3 时,求 a ? c 的值。 21. (9 分)已知直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0, l 2 : x ? y ? 1 ? 0 。

4 ,b ? 2 。 5

(Ⅰ)求过直线 l1 与 l 2 的交点,且垂直于直线 l3 : 2 x ? y ? 1 ? 0 的直线方程; (Ⅱ)过原点 O 有一条直线,它夹在 l1 与 l 2 两条直线之间的线段恰被点 O 平分,求这条直线的 方程。

22. (10 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? 2 3 sin x cos x ?
2

1 cos 2 x, x ? R 。 2

(Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 x0 (0 ? x0 ?

?
2

) 为 f (x) 的一个零点,求 sin 2 x0 的值。

23. (9 分)已知等差数列 {a n } 中,公差 d ? 0 ,其前 n 项和为 S n ,且满足 a 2 ? a 4 ? 45 ,

a1 ? a5 ? 14 。
(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式及其前 n 项和 S n ; (Ⅱ) bn ? 令 的通项公式 c n ; (Ⅲ)求 f (n) ?

1 1 * (n ? N * ) , 若数列 {c n } 满足 c1 ? ? , cn ?1 ? cn ? bn (n ? N ) 。 求数列 {c n } a ?1 4
2 n

n bn ? (n ? N * ) 的最小值。 9 cn

【试题答案】
一、选择题(每小题 3 分,共 36 分)

二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 13. ? 3 ; 14. 1; 15.

1 ; 2

16. 56 ?

1 210

17.

2 ?1 ;

?2(n ? 1), ? 18. 280, a n ? ? n 2 ?( n ? 1) (n ? 2). ?
三、解答题(共 56 分) 19. (9 分) (Ⅰ)? x ? ?1,? a ? b ? 1? (?2) ? 2 ? (?1) ? ?4 , | a |? ∴向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为 cos? ? (Ⅱ)依题意 4a ? b ? (2,8 ? x) 。

5 , | b |? 5 。
4分

a ?b 4 ?? 。 | a || b | 5

? a ? (4a ? b),? a ? (4a ? b) ? 0 。? 2 ? 16 ? 2 x ? 0 。? x ? ?9 。?b ? (?2,?9) 。
?| b |? 4 ? 81 ? 85 。
20. (9 分) (Ⅰ)因为 cos B ? 9分

4 3 ,所以 sin B ? 。 5 5

由正弦定理

a b a 10 5 ? ? 。所以 a ? 。 ,可得 sin A sin B sin 30? 3 3 1 3 ac sin B, sin B ? , 2 5

(Ⅱ)因为△ABC 的面积 S ?

所以

3 ac ? 3, ac ? 10 。由余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , 10
2 2

得4 ? a ?c ?
2

8 ac ? a 2 ? c 2 ? 16 ,即 a 2 ? c 2 ? 20 。 5
2

所以 (a ? c) ? 2ac ? 20, (a ? c) ? 40 ,所以 a ? c ? 2 10 。

21. (Ⅰ)由 ?

? x ? y ? 3 ? 0, ? x ? 2. 得? ?x ? y ? 1 ? 0 ?y ? 1

∵所求的直线垂直于直线 l3 : 2 x ? y ? 1 ? 0 ,∴所求直线的斜率为 ∴所求直线的方程为 x ? 2 y ? 0 。 4分

1 , 2

(Ⅱ)如果所求直线斜率不存在,则此直线方程为 x ? 0 ,不合题意。 所以设所求的直线方程为 y ? kx 。 所以它与 l1 , l 2 的交点分别为 ( 由题意,得

3 3k 1 k , ), ( , )。 k ?1 k ?1 1? k 1? k

3 1 ? ?0。 k ?1 1? k

解得 k ? 2 。 所以所求的直线方程为 2 x ? y ? 0 。 22. (Ⅰ) f ( x) ? 9分

1 ? cos 2 x 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x 2 2 1 ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? , 2 6 2
? 3 5? , ?。 ? 2 2?

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ?

所以 f (x) 的最小正周期为 ? 。 f (x) 的值域为 ?? (Ⅱ)由 f ( x0 ) ? 2 sin? 2 x0 ? 又由 0 ? x0 ?

? ?

?? 1

?? 1 ? ? ? ? 0 ,得 sin? 2 x0 ? ? ? ? ? 0 。 6? 2 6? 4 ?

?
2

,得 ?

?
6

? 2 x0 ?

?
6

?

5? 。 6

因为 sin? 2 x0 ? 所以 cos? 2 x 0 ?

? ?

??

? ? 0 ,所以 ? ? 2 x0 ? ? 0 , 6? 6 6

?

?

? ?

??

15 。 ?? 6? 4 ?? ??

此时, sin 2 x 0 ? sin ?? 2 x 0 ?

?? ??

?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? sin? 2 x0 ? ? cos ? cos? 2 x0 ? ? sin 6? 6 6? 6 6 ? 6? ? ?
10 分

1 3 15 1 15 ? 3 。 ?? ? ? ? ? 4 2 4 2 8

23. (Ⅰ)因为数列 {a n } 是等差数列,所以 a1 ? a5 ? a 2 ? a 4 ? 14 。 因为 d ? 0 ,所以 解方程组 ?

?a 2 ? a 4 ? 14, ?a 2 ? 5, 得? ?a 2 a 4 ? 45 . ? a 4 ? 9.

所以 a1 ? 3, d ? 2. 所以 a n ? 2n ? 1 。 因为 S n ? na1 ?

1 n(n ? 1)d ,所以 S n ? n 2 ? 2n 。 2
4分

2 所以数列 {a n } 的通项公式 a n ? 2n ? 1 ,前 n 项和公式 S n ? n ? 2n 。

(Ⅱ)因为 bn ?

1 1 (n ? N * ), a n ? 2n ? 1 ,所以 bn ? 。 a ?1 4n(n ? 1)
2 n

因为数列 {c n } 满足 c1 ? ? 所以 c n ?1 ? c n ?

1 1 , c n ?1 ? c n ? , 4 4n(n ? 1)

1 1 1 ( ? ), 4 n ?1 n

cn ? cn?1 ?
?,?

1 1 1 ( ? ), 4 n ?1 n

c2 ? c1 ?

1 1 (1 ? ) , 4 2
1 1 n (1 ? )? 。 4 n ? 1 4(n ? 1)

所以 c n ?1 ? c1 ? 因为 c1 ? ?

1 1 n 1 )? ,所以 c n ?1 ? c1 ? (1 ? , 4 n ? 1 4(n ? 1) 4 1 。 (n ? 1, n ? N * ) 4(n ? 1)
6分

所以 c n ?1 ? ? 所以 c n ? ?

1 。 4n

(Ⅲ)因为 f (n) ? 因为 f (n) ?

n bn 1 1 n 1 ? , bn ? , c n ? ? ,所以 f (n) ? ? 。 9 cn 4n(n ? 1) 4n 9 n ?1

n 1 n ?1 1 1 ? ? ? ? , 9 n ?1 9 n ?1 9

所以

n ?1 1 1 n ?1 1 1 ? ? ?2 ? ? 。 9 n ?1 9 9 n ?1 9

所以 f (n) ?

2 1 5 n ?1 1 ? ? ,当且仅当 ? ,即 n ? 2 时等号成立。 3 9 9 9 n ?1 5 。 9
9分

所以 当 n ? 2 时, f (n) 最小值为


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