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一元二次不等式及其解法教学教案


一元二次不等式及其解法(一)
教学重、难点 重点:从实际问题中抽象出一元二次不等式模型,围绕一元二次不等式的解法展 开,突出体现数形结合的思想; 难点:理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 教学流程 (一)[创设情景] 探究。通过让学生阅读第 76 页的上网问题,得出一个关于 x 的一元二次不等式, 即

2 当 0 ? x ? 5 时,函数图象位于 x 轴下方,此时 y ? 0 ,即 x ? 5x ? 0 。

2 所以,一元二次不等式 x ? 5x ? 0 的解集是 x 0 ? x ? 5 从而解决了以上的上

?

?

网问题。 3.如何解一元二次不等式? (三)[举例应用] 例 1 求下列不等式的解集 (1) x ? 3x ? 4 ? 0
2

x 2 ? 5x ? 0

(2) x ? 5x ? 6 ? 0
2

1、 一元二次不等式的定义:只含一个未知数,并且未知数的最高次数为 2 的不 等式; 练习:判断下列式子是不是一元二次不等式? (1) x ?

(3)4 x ? 4 x ? 1 ? 0
2

(4) ? x ? 2 x ? 3 ? 0
2

1 ?5 x

(2) xy ? 3 ? 0

(3) x ? 2)(x ? 3) ? 0 (4) (

通过以上的例题及练习的讲解,指导学生归纳 P77 面的表格及一元二次不等式的 解的情况。 例 2.解不等式 4(2 x ? 2x ? 1) ? x(4 ? x)
2

x 2 ? 3x ? x( x ? 1)
(二)[探索研究] 思考 1。一元一次方程、一元一次不等式及与一次函数三者之间有什么关系?
2 2.不等式 x ? 5x ? 0 、二次函数 y ? x ? 5x 、一元二次方程 x ? 5x ? 0 的之间
2 2

例 3.解不等式 ( )

1 2

2 x 2 ?5 x ? 6

1 2 ? ( ) x ? x?6 2

有什么关系? 容易知道,方程 x ? 5x ? 0 有两个实根: x1 ? 0, x2 ? 5
2

由二次函数的零点与
2

(四)小结 1. 从实际问题中建立一元二次不等式,解一元二次不等式; 2.能把一元二次不等式的解的类型归纳出来。

相应的一元二次方程根的关系, x1 ? 0, x2 ? 5 是二次函数 y ? x ? 5x 的两个零 知 点。 通过学生画出的二次函数 y ? x ? 5x 的图象,观察而知,
2

当 x ? 0, x ? 5 时,函数图象位于 x 轴上方,此时 y ? 0 ,即 x ? 5x ? 0 ;
2

1

一元二次不等式及其解法(二)
教学重、难点 重点:从实际问题中抽象出一元二次不等式模型,围绕一元二次不等式的解法展 开,突出体现数形结合的思想; 难点:理解一元二次不等式的应用。 教学流程: (一)复习:一元二次不等式的解法 (二)举例分析 例 1.求下列函数的定义域 : 1 ) y ? logx?1 ( x 2 ? 3x ? 4) ( (2)

一元二次不等式及其及解法(三)
教学重点,难点 从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题, 掌握一元二次不等式恒 成立的解题思路. 教学设计 (一)复习引入 1、 列表复习一元二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集 的关系: 2、由上表引导学生观察出: ax ? bx ? c ? 0 对一切 x ? R 都成立的条件为:
2

?a ? 0 ? ?? ? 0 ?a ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0 对一切 x ? R 都成立的条件为: ? ?? ? 0
(二)典例分析

y?

x 2 ? 2x ? 6
x?3 ?0 x?7

例 2.解不等式

变式:若关于 x 的不等式
x ?1

x?a ? 0 的解集为 (??,?1 ? ? (4,??) 则实数 a= x?1
则 不 等 式 f ( x) ? 2 的 解 集 为

例 1.解不等式 mx ? 2 x ? 1 ? 0
2

例 2. 已知关于 x 的不等式 x ? mx ? n ? 0 的解集是 {x | ?5 ? x ? 1} , 求实数 m, n 之值.
2

? 2e , x ? 2 例 3 . 设 f ( x) ? ? 2 ?log 3 ( x ? 1), x ? 2

? 例 3.已知不等式 ax? bx
2

c0 的 解 集 为 {x | 2 x ? ? ?

3求 不 等 式 }

(1, 2) ? ( 10,??)
(三)小结:运用不等式解实际问题时,要注意:不大于、不小于、不超过等字 眼。

2 c x ? b x a0 的解集. ? ? b ? ?2 ? 3 ? ? a ?b ? ?5a ? c ? ? 2 解:由题意 ? 2 ? 3 ? , 即 ? c ? 6a .代入不等式 cx ? bx ? a ? 0 得: a ? a?0 ? ? ? a?0 ? ? 2 6ax ? 5ax ? a ? 0(a ? 0) .即 6 x2 ? 5x ? 1 ? 0 , 1 1 ? 所求不等式的解集为 {x | ? ? x ? ? } . 3 2 2 例 4. 已知一元二次不等式 (m ? 2) x ? 2(m ? 2) x ? 4 ? 0 的解集为 R , m 的取 求

值范围. 解: y ? (m ? 2) x ? 2(m ? 2) x ? 4 为二次函数,? m ? 2
2

2

? 二次函数的值恒大于零,即 (m ? 2) x2 ? 2(m ? 2) x ? 4 ? 0 的解集为 R . m?2 ?m ? 2 ? 0 ? ? m?2 , 即 ? ,解得: ? ?? 2 ? ??0 ?4(m ? 2) ?16( m ? 2) ? 0 ?2 ? m ? 6 ?m 的取值范围为 {m | 2 ? m ? 6}
变式: 1. 已知二次函数 y ? (m ? 2) x2 ? 2(m ? 2) x ? 4 的值恒大于零, m 的取值范围. 求 2. 已知一元二次不等式 (m ? 2) x2 ? 2(m ? 2) x ? 4 ? 0 的解集为 ? ,求 m 的取值范 围. 例 5.若函数 y ? 范围 解: y ? ? 成立.

2.一元二次不等式恒成立的问题

x 2 ? 2kx ? k 中自变量 x 的取值范围是一切实数,求 k 的取值
? x 2 ? 2kx ? k ? 0 恒

x 2 ? 2kx ? k 中自变量 x 的取值范围是 R ,

? ? ? 4k 2 ? 4k ? 0 ? 0 ? k ? 1 故 k 的取值范围是 {k | 0 ? k ? 1} . 2 思考题:若不等式 mx ? 2 x ? 1 ? m ? 0 对满足 ?2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求 实数 x 的取值范围. 解:已知不等式可化为 ( x2 ?1)m ? (1 ? 2 x) ? 0 . 设 f (m) ? ( x2 ?1)m ? (1 ? 2 x) , 这是一个关于 m 的一次函数 (或常数函数) ,
从图象上看, 要使 f (m) ? 0 在 ?2 ? m ? 2 时恒成立,其等价条件是:

? f (2) ? 2( x 2 ? 1) ? (1 ? 2 x) ? 0, ? ? 2 ? f (?2) ? ?2( x ? 1) ? (1 ? 2 x) ? 0, ?

? 2 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, ? 即 ? 2 ? 2 x ? 2 x ? 1 ? 0. ?

解 得

?1 ? 7 1? 3 . ?x? 2 2
所以,实数 x 的取值范围是 ? ?

? ?1 ? 7 1 ? 3 ? , ?. 2 2 ? ? ?

四、课堂小结: 1.从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题;
3


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