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高二数学反证法测试题 -


反证法
一、选择题 1.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是( A.有一个解 B.有两个解 C.至少有三个解 D.至少有两个解 [答案] C [解析] 在逻辑中“至多有 n 个”的否定是“至少有 n+1 个”, 所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”,故应选 C. 2. 否定“自然数 a、 b、 c 中恰有一个偶数”时的正确反设为( A.a、b、c 都是奇数 B.a、b、c 或都是奇数或至少有两个偶数 C.a、b、c 都是偶数 D.a、b、c 中至少有两个偶数 [答案] B [解析] a,b,c 三个数的奇、偶性有以下几种情况:①全是奇 数;②有两个奇数,一个偶数;③有一个奇数,两个偶数;④三个偶 数. 因为要否定②, 所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”. 故 应选 B. 3. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60° ” 时,反设正确的是( ) ) )

A.假设三内角都不大于 60° B.假设三内角都大于 60° C.假设三内角至多有一个大于 60°

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D.假设三内角至多有两个大于 60° [答案] B [解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于 60° ”.故应 选 B. 4.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程 ax2+bx+c= 0(a≠0)有有理根,那么 a,b,c 中至少有一个是偶数”时,下列假设 正确的是( )

A.假设 a,b,c 都是偶数 B.假设 a、b,c 都不是偶数 C.假设 a,b,c 至多有一个偶数 D.假设 a,b,c 至多有两个偶数 [答案] B [解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”,也就是说本 题应假设为 a,b,c 都不是偶数. 5.命题“△ABC 中,若∠A>∠B,则 a>b”的结论的否定应该 是( ) A.a<b B.a≤b C.a=b D.a≥b [答案] B [解析] B. 6.已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b 的 位置关系为( ) “a>b”的否定应为“a=b 或 a<b”,即 a≤b.故应选

A.一定是异面直线
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B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 [答案] C [解析] 假设 c∥b,而由 c∥a,可得 a∥b,这与 a,b 异面矛盾, 故 c 与 b 不可能是平行直线.故应选 C. 1 1 1 7.设 a,b,c∈(-∞,0),则三数 a+b,c+a,b+c中( A.都不大于-2 B.都不小于-2 C.至少有一个不大于-2 D.至少有一个不小于-2 [答案] C 1? ? 1? ? 1? ? [解析] ?a+b?+?c+a?+?b+c?
? ? ? ? ? ?

)

1? ? 1? ? 1? ? =?a+a?+?b+b?+?c+ c?
? ? ? ? ? ?

∵a,b,c∈(-∞,0),
? ? 1?? 1 ∴a+a=-?-a+?-a??≤-2 ? ? ?? ? ? 1?? 1 b+b=-?-b+?-b??≤-2 ? ? ?? ? ? 1?? 1 c+c=-?-c+?-c??≤-2 ? ? ??

1? ? 1? ? 1? ? ∴?a+b?+?c+a?+?b+c?≤-6
? ? ? ? ? ?

1 1 1 ∴三数 a+b、c+a、b+c中至少有一个不大于-2,故应选 C. 8.若 P 是两条异面直线 l、m 外的任意一点,则(
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)

A.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都平行 B.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都垂直 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都相交 D.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都异面 [答案] B [解析] 对于 A,若存在直线 n,使 n∥l 且 n∥m 则有 l∥m,与 l、m 异面矛盾;对于 C,过点 P 与 l、m 都相交的直线不一定存在,反例如图(l∥α);对于 D,过点 P 与 l、m 都异面的直线不唯一. 9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖, 有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都 未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖了”,四位歌手 的话只有两句是对的,则获奖的歌手是( A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 [答案] C [解析] 因为只有一人获奖,所以丙、丁只有一个说对了,同时 甲、 乙中只有一人说对了, 假设乙说的对, 这样丙就错了, 丁就对了, 也就是甲也对了,与甲错矛盾,所以乙说错了,从而知甲、丙对,所 以丙为获奖歌手.故应选 C.
2 xn(xn +3) 10.已知 x1>0,x1≠1 且 xn+1= 2 (n=1,2?),试证“数列 3xn+1

)

{xn}或者对任意正整数 n 都满足 xn<xn+1, 或者对任意正整数 n 都满足 xn>xn+1”,当此题用反证法否定结论时,应为(
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A.对任意的正整数 n,都有 xn=xn+1 B.存在正整数 n,使 xn=xn+1 C.存在正整数 n,使 xn≥xn+1 且 xn≤xn-1 D.存在正整数 n,使(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0 [答案] D [解析] 命题的结论是“对任意正整数 n, 数列{xn}是递增数列或 是递减数列”,其反设是“存在正整数 n,使数列既不是递增数列, 也不是递减数列”.故应选 D. 二、填空题 11. 命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边 形”的结论的否定是________. [答案] 没有一个是三角形或四边形或五边形 [解析] “至少有一个”的否定是“没有一个”. 12.用反证法证明命题“a,b∈N,ab 可被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整除”,那么反设的内容是________________. [答案] a,b 都不能被 5 整除 [解析] “至少有一个”的否定是“都不能”. 13.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过 程归纳为以下三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90° +90° +∠C>180° ,这与三角形内角和为 180° 相矛盾,则∠A=∠B=90° 不成立; ②所以一个三角形中不能有两个直角; ③假设∠A,∠B,∠C 中有两个角是直角,不妨设∠A=∠B= 90° . 正确顺序的序号排列为____________. [答案] ③①②
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[解析] 由反证法证明的步骤知, 先反证即③, 再推出矛盾即①, 最后作出判断,肯定结论即②,即顺序应为③①②. 14.用反证法证明质数有无限多个的过程如下: 假设______________. 设全体质数为 p1、 p2、 ?、 pn, 令 p=p1p2?pn +1. 显然,p 不含因数 p1、p2、?、pn.故 p 要么是质数,要么含有 ______________的质因数.这表明,除质数 p1、p2、?、pn 之外,还 有质数,因此原假设不成立.于是,质数有无限多个. [答案] 质数只有有限多个 除 p1、p2、?、pn 之外

[解析] 由反证法的步骤可得. 三、解答题 15.已知:a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0. 求证:a>0,b>0,c>0. [证明] 用反证法: 假设 a,b,c 不都是正数,由 abc>0 可知,这三个数中必有两个 为负数,一个为正数, 不妨设 a<0,b<0,c>0,则由 a+b+c>0, 可得 c>-(a+b), 又 a+b<0,∴c(a+b)<-(a+b)(a+b) ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab 即 ab+bc+ca<-a2-ab-b2 ∵a2>0,ab>0,b2>0,∴-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)<0,即 ab +bc+ca<0, 这与已知 ab+bc+ca>0 矛盾,所以假设不成立. 因此 a>0,b>0,c>0 成立.

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16.已知 a,b,c∈(0,1).求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不 1 能同时大于4. 1 [证明] 证法 1:假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a 都大于4.∵a、b、 c 都是小于 1 的正数, ∴1 - a 、 1 - b 、 1 - c 都是正数 . ≥ (1-a)b> 1 1 4=2, (1-a)+b 2

(1-b)+c 1 (1-c)+a 1 同理 >2, >2. 2 2 三式相加,得 (1-a)+b (1-b)+c (1-c)+a 3 + + >2, 2 2 2 3 3 即2>2,矛盾. 1 所以(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a 不能都大于4. 1 1 1 证法 2:假设三个式子同时大于4,即(1-a)b>4,(1-b)c>4,(1 1 -c)a>4,三式相乘得
?1? (1-a)b(1-b)c(1-c)a>?4?3① ? ?

因为 0<a<1,所以 0<a(1-a)≤?

?1-a+a?2 1 ?= . 2 ? 4 ?

1 1 同理,0<b(1-b)≤4,0<c(1-c)≤4.
?1? 所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤?4?3.② ? ?

因为①与②矛盾,所以假设不成立,故原命题成立.

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17.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R. (1)若 a+b≥0,求证:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b); (2)判断(1)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论. [解析] (1)证明:∵a+b≥0,∴a≥-b. 由已知 f(x)的单调性得 f(a)≥f(-b). 又 a+b≥0?b≥-a?f(b)≥f(-a). 两式相加即得:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). (2)逆命题: f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)?a+b≥0. 下面用反证法证之. 假设 a+b<0,那么: a+b<0?a<-b?f(a)<f(-b) a+b<0?b<-a?f(b)<f(-a) ?f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b). 这与已知矛盾,故只有 a+b≥0.逆命题得证. 1?2? 18.(2010· 湖北理,20 改编)已知数列{bn}的通项公式为 bn=4?3?
? ?
n-1

.求证:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列. [解析] 假设数列{bn}存在三项 br、bs、bt(r<s<t)按某种顺序成等

1 2 差数列,由于数列 {bn} 是首项为 4 ,公比为 3 的等比数列,于是有 bt>bs>br,则只可能有 2bs=br+bt 成立. 1?2?s-1 1?2?r-1 1?2?t-1 ? ? ? ? ? ? ∴2· 4 3 =4 3 +4 3 .
? ? ? ? ? ?

两边同乘 3t-121-r,化简得 3t-r+2t-r=2· 2s-r3t-s, 由于 r<s<t,所以上式左边为奇数,右边为偶数,故上式不可能 成立,导致矛盾.
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故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列.

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