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解析几何的最值问题


解析几何中的最值问题
闫智梳理 2014-12

模型一:函数思想 即把目标表示成某个变量的函数,从而把解析几何的最值问题转 化成求函数的最值问题 注意:变量的取值范围
【例题 1】 (2012 广东理 20.本小题满分 14 分) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 椭 圆 C :
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 a 2 b2

e?

2 ,且椭圆 C 上的点到 Q(0, 2) 的距离的最大值为 3 . 3
(1)求椭圆 C 的方程; ( 2 ) 在 椭 圆 C 上 , 是 否 存 在 点 M (m, n) 使 得 直 线 l : mx ? ny ? 1 与 圆

O : x2 ? y 2 ? 1 相交于不同的两点 A, B ,且 ?AOB 的面积最大?若存在,求出点 M
的坐标及相对应的 ?AOB 的面积;若不存在,请说明理由.

1

【练习一】 1.已知抛物线 y 2 ? 4x 上的动点 P 到直线 x ? y ? 4 ? 0 的最小值为

2.已知抛物线 y 2 ? 4x 上的动点 P ,圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1上的动点 Q ,则 PQ 的最 小值为

3. (2013 深圳宝安区高三模拟理 20,14 分) 设椭圆 C :

3 x2 y2 , 点 A 是椭圆上的一点 , 且 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e = 2 a b 2

点 A 到椭圆 C 两焦点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程;

x2 ? y2 ? 1 4

(2)若 P ? m, n(m 为椭圆 C 上一动点,直线 L : mx ? 4ny ? 4 ? 0 与 ? > 0,n ? 0) 圆 C? : x ? y ? 4 相交于 A、B 两点,求三角形 OAB 面积的最大值及此时直线
2 2

L 的方程. ( S?OAB 最大值为 2, x ? 2 y ? 6 ? 0 )

2

模型二:数形结合 分析取得最值的几何原理,画出图形,然后结合代数方法解决. 【例题 2】 (2011 广东理 19,14 分)
2 2 设圆 C 与两圆 (x+ 5) ? y2 ? 4, (x ? 5) ? y2 ? 4 中 的一个内切,另一个外

切. (1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程. (2)已知点 M (
3 5 4 5 且 P 为 L 上动点,求 MP ? FP 的最大 , ),F ( 5,0), 5 5

值及此时点 P 的坐标.

3

【练习二】 1.设 AB 是过椭圆
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中心的弦,椭圆的左焦点为 F1 (?c,0) ,则 a 2 b2

?F1AB 的面积的最大值为(
A bc B ab

) C ac D b2

2.已知抛物线 y 2 ? 4x 的焦点为 F ,定点 A(2,1) ,点 P 为抛物线上任一点,则

PA ? PF 的最小值为

,此时点 P 的坐标为

3.已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,左、右两个焦点分别为 F1 、 F2 ,上顶 a2 b2

点 A(0, b) , ?AF1 F2 为正三角形且周长为 6. (1)求椭圆 C 的标准方程及离心率; (2) O 为坐标原点, P 是直线 F1 A 上的一个动点,求 | PF2 | ? | PO | 的最小值, 并求出此时点 P 的坐标.

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