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四川省自贡市普高2013届高三第三次诊断性考试数学(文)试题(word版)


自贡市普高 2013 届第三次诊断性考试数学试卷(文史类)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。 1.设 U ? R, A ? {x | x ? 0}, B ? {x | x ? 1} ,则 A A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1}

CU B 等于
D. {x | x ?

1}

C. {x | x ? 0}

2.函数 y ? ? x ( x ? 0) 的反函数是 A. y ? ? x2 ( x ? 0) 3.函数 y ? B.y ? x2 ( x ? 0) C.y ? x2 ( x ? 0) D.y ? ? x2 ( x ? 0)

2x ? 2 ? ( x ? 4) 的定义域为
B. {x | x ? 0 且 x ? 4} C. {x | x ? 1}

A. {x | x ? 0}

{x | x ? 1 且 x ? 4} D.
D.第四象限

4.若 sin ? ? cos ? ? 0 , tan ? ? 0 ,则 ? 的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

5.过曲线 y ? x3 ? x ? 2 上一点 P0 处的切线平行于直线 y ? 4 x 则点 P0 的一个坐标是 A.(0, ? 2) B.(1,1) C.(1,4) D.( ? 1, ? 4)

6.设 F 1 、 F2 分别是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若双曲线右支上 a 2 b2

存在一点 P,使 | OP | ? | OF1 | (O 为原点),且 | PF1 |? 3 | PF2 | ,则双曲线的离心率为 A.

3 ?1 2

B. 3 ? 1

C. 3 ? 1

D.

3 ?1 2

7.过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的 12 条棱所在直线成等角的直 线共有 A.0 条

B.1 条

C.4 条

D.无数条

8. 将函数 f ( x ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 同时将纵坐标缩小到原来的 倍 , 得 到 函 数 y ? cos( x ?

?
6

1 2

) 的 图 象 , 另 一 方 面 函 数 f ( x) 的 图 象 也 可 以 由 函 数

y ? 2cos x ? 1 的图象按向量 c 平移得到,则 c 可以是
A. (

?
6

, ?1)

B. (

?
12

,1)

C. (

?
6

,1)

D. (

?

12

, ?1)

9.如图 1,三行三列的方阵中有 9 个数 aij (i ? 1,2,3; j ?1,2,3) ,从中 任取三个数,则至少有两个位于同行或同列的概率是

1

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A.

13 14

B.

4 7

C.

3 7

D.

1 14

10.已知有穷数列 {an } (n ? 1, 2,3, ???6) 满足 an ?{1, 2,3 ???,10} ,且当

i ? j( i , j? 1 , 2? ,? ? 时 6a ) i ? a j 。若 a1 ? a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6 ,
则符合条件的数列 {an } 的个数是
3 3 A. C10 C7 3 3 B. C10 C10 3 3 C. A10 A7 6 3 D. C10 A6

11. 已知椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1的右焦点为 F,右准线为 l ,点 A ? l ,线段 AF 交椭圆 C 于 B, 2

若 FA ? 3FB ,则 | AF | 等于 A.2 B. 2 C. 3 D.3

12.如图 2,有一直角墙角,两边的长度尺足够长,在 P 处有一棵树与两墙的距离分别是

am(o ? a ? 12) 、4m,不考虑树的粗细,现在想用 16m 长的篱笆,借助墙角围成一个
矩形的花圃 ABCD,设此矩形花圃的最大面积为 S,若将这棵树 围在花圃内,则函数 S ? f (a ) (单位 m )的图象大致是
2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上。 13.若 (2 x ?
2

1 n ) (n ? N * ) 展开式中含有常数项,则 n 的最小值是 3 x



? x ? y ? 2 ? 0, x2 ? y 2 ? 14.设实数 x 、 y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0, 则 u ? 的取值范围是 xy ? y ? 2 ? 0, ?



15.如图 3,A、B、C 是球面上三点,且 AB=2cm,BC=4cm,∠ ABC=60°,若球心 O 到 截面 ABC 的距离为 2 2 cm,则该球的表面积为
2 2 16.有下列命题:① a ? b 是 a ? b 的充分不必要条件;



② OP ? OQ ?

2 2 2 1 (OP ? OQ ? PQ ) ; 2

③已知 f ( x ) 的最大值为 M,最小值是 m ,其值域是 [m, M ] ;
2

④有 3 种不同型号的产品 A、B、C,其数量之比依次为 2:3:4,现用分层抽样方法抽出 一个容量为 n 的样本,样本中 A 型号产品有 10 件,则 n ? 90 。 其中错误命题的序号为 (要求填写所有错误命题的序号)。 三、解答题:共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。 17.如图 4,已知△ABC 中, | AC |? 1 ,∠ ABC=120°,∠ BAC= ? ,记 f (? ) ? AB ? BC 。 (I)求 f (? ) 关于 ? 的表达式; (II) 求 f (? ) 的值域。

18.一台仪器每启动一次都随机地出现一个 5 位的二进制数 的各位数字中, a1 ? 1 , ak (k ? 2,3, 4,5) 出现 0 的概率为 率为

其中 A

1 , ak (k ? 2,3, 4,5) 出现 1 的概 3

2 , 记 ? ? a1? a2 ? a3? a4 ? a5 (例如: A=10001, 其中 a1 ? a5 ? 1,a2 ? a3 ? a4 ? 0 , 3

? ? 2 )。当启动仪器一次时, (I)求 ? ? 3 的概率; (II) 求当 ? 为何值时, 其概率最大。

19 .如图 5,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD ,∠ABC= ∠BCD=90°, PA=PD=DC=BC=

1 AB,E 是 BP 的中点。 2

(I)求证:EC//平面 APD; (II)求 BP 与平面 ABCD 所成角的正切值; (III)求二面角 P-AB-D 的大小。

3

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20.已知等差数列 {an } 为递增数列,前 n 项和为 Sn , n ? N ,且 S3 ? a5 , a1 与 S5 的等比
*

中项为 5。

(I)求数列 {an } 的通项公式; ( II ) 数 列 {bn } 满 足 bm ? pn ? an ,且

{bn } 的前 n 项和为 Tn , n ? N * ,若对任意 n ? N * 都有 Tn ? T6 ,求实数 p 的取值范围。

21.已知圆 C 过定点 F ( ?

1 1 , 0) ,且与直线 x ? 相切,圆心 C 的轨迹为 E,曲线 E 与直线 4 4

l : y ? k ( x ? 1) (k ? R) 相交于 A、B 两点。 (I)求曲线 E 的方程; (II)当△OAB
的面积等于 10 时,求 k 的值; (III) 在曲线 E 上是否存在与 k 的取值无关的定点

M,使得 MA⊥MB?若存在,求出所有符合条件的定点 M;若不存在,请说明理由。

4

22.已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? a (a ? R ) 。 (I)当 a ? ?3 时,求函数 f ( x) 的极值; 3

(II)若函数 f ( x ) 的图象与 x 轴有且只有一个交点,求 a 的取值范围。

自贡市普高 2013 届第三次诊断性考试数学试卷参考答案及评分意见
(1)选择题:(每小题 5 分,共 60 分) BADCD CCDAA BC
2

(2)填空题:(每小题 4 分,共 16 分)13、5;14、[5,20];15、48 ?cm (3)解答题:(每小题 10 分,共 60 分) 17、解:(Ⅰ),由正弦定理有:

16、①③④。

| AB | | BC | 1 ? = sin(60? ? ? ) sin ? sin 120 ?

…………(2 分)

5

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1 sin( 60 ? ? ? ) sin ?, | AB |? sin 120 ? sin 120 ? 4 1 ∴ f f( (0 ?) )? AB ? BC ? sin ? ? sin( 60 ? ? ? ) ? 3 2 | BC |?


…………(4 分)

1 3 1 ? cos 2 ? 2 3 1 2 ?? ) ( cos ?? sin ? ) sin ?= ( sin 3 2 2 3 2 2

1 ? 1 ? …………(8 分) (0 ? ? ? ) 3 6 6 3 ? ? ? 5? 0 ?? ? ? 2? ? ? (Ⅱ) => , 3 6 6 6 1 1 ? ∴ ………(12 分) ? sin( 2 ?? )? 1 ∴ f (? ) ? (0, ] 6 2 6 8 21 22 2 18、(文)解:(Ⅰ)由题意得: P …………(3 分) ( ? ? 3 ) ? C () () ? 4 3 3 27 1 0 14 (Ⅱ) P …………(5 分) ( ?? 1 )? C 4( ) ? 3 81 8 11 3 2 …………(7 分) P ( ? ? 2 ) ? C () () ? 4 3 3 81 24 21 22 2 31 2 3 32 …………(9 分) P ( ? ? 3 ) ? C () () ? P ( ? ? 4 )? C ( )() ? 4 4 3 3 81 3 3 81 16 4 24 ………… (11 P ( ?? 5 )? C 4( ) ? 3 81
= sin( 2 ?? )? 分)

? ? 4 的概率最大,最大值为

32 81
DC=

…………(12 分)

19、解:解法一(Ⅰ) 如图,取 PA 的中点为 F,连结 EF、FD。 ∵ E 是 BP 的中点, EF∥AB 且 EF=

1 AB, 又 ∵DC∥AB, 2

1 AB 2

∴ EF∥DC ,∴ 四边形 EFDC 是平行四边形,故得 EC∥FD. 又∵ EC ? 平面 PAD,FD ? 平面 PAD, ∴ EC∥平面 ADE (4 分) (Ⅱ) 取 AD 中点 H,连结 PH,因为 PA=PD, 所以 PH⊥AD, ∵平面 PAD⊥平面 ABCD 于 AD, ∴PH⊥面 ABCD ∴HB 是 PB 在平面 ABCD 内的射影, ∴∠PBH 是 PB 与平面 ABCD 所成角………(6 分) ∵四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BCD=90°∴四边形 ABCD 是直角梯形, ∴DC=CB=
1 AB, 2

设 AB= 2a ,则 BD= 2 a PH= PD?DH= a ?
2 2

在? ABD 中,易得∠DBA=45°, AD= 2 a ,

2

1 2 2 a = a 2 2

6

又 ∵ BD2+AD2=4 a =AB2, 分) ∴ HB= DH?DB=
2 2

∴? ABD 是等腰直角三角形,∠ADB=90°, …(7

1 2 10 a ? 2a 2 = a 2 2

2 a PH 2 5 ∴ 在 Rt ? PHB 中, tan ? PBH ? ? ? HB 10 5 a 2

………(8 分)

(Ⅲ)在平面 ABCD 内过点 H 作 AB 的垂线交 AB 于点 G,连结 PG,则 HG 是 PG 在平面 ABCD 上的射影,故 PG⊥AB,所以∠PGH 是二面角 P—AB—D 的平面角, ……… (10 分) 由 AB=2 a , HA=

1 2 a ,∠HAB=45°,∴ HG= a , 2 2

………(11 分)

2 a PH 2 ∴在 Rt ? PHG 中, tan ? PGH ? ? ? 2 HG 1 a 2

2 ∴二面角 P—AB—D 的大小为 arctan
解法二(Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)设 AB=2 a ,同解法一中的(Ⅱ)可得∠ADB=90°, 如图以 D 为原点,DA 所在直线为 x 轴,DB 所在直线 为 y轴,过 D 点且垂直于 平面 ABCD 的直线为 z 轴建立空间直角坐标系, ………(5 分) 则 B(0, 2 a ,0),P(

……(12 分)

2 2 a ,0, a ), 2 2

∴ PB ? (-

2 2 a , 2 a ,- a ), 2 2
………(6 分)

? 平面 ABCD 的一个法向量为 m (0,0,1),
所以, cos ? PB , m ??

PB ? m | PB || m |

?

?

2 a 2 ?? 6 6 3a

………(7 分)

可得 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为

6 6



7

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所以 PB 与平面 ABCD 所成角的正切值为

5 5



………(8 分)

(Ⅲ)易知 A( 2 a ,0,0),则 AB =(- 2 a , 2 a ,0,), 设平面 PAB 的一个法向量为 n =( x0, y0, z0 )则

………(9 分)

? ? n ? AB ? 0 由? ? ? n ? PB ? 0
令 x0 ? 1

? ? 2 ax ay 0 0? 2 0? ? => ? 2 2 ? ax ay az 0 0? 2 0? 0? ? 2 ? 2
……(11 分)

=>

? y0 ? x0 ? ? z0 ? x0

可得 n =(1,1,1)

从而 cos ? m, n ? 分)

1 3

?

3 3 ,所以二面角 P—AB—D 的大小为 arctan 3 3

……(12

20、解:(Ⅰ)由题意 ?

? S 3 ? a5 ?25 ? a1 ? S 5
或?

可得 ?

2a ? 1 ?d a 5 a 10 d) ?25 1( 1? ?

即 a1 ? 1
2

∴ ?

?a1 ? 1 ?d ? 2

? a1 ? ? 1 ? d ? ?2



?a n ? 为递增的等差数列,
*



?a ? 1 , d ?0,∴ ? 1 ?d ? 2

∴ a 2 n ? 1 ( n ? N ) n?

………(6 分)

(Ⅱ)

b ? pn ? 2 n ? 1 ? ( p ? 2 ) n ? 1 n

p ? 22 p ,由 T n ≤ T6 , n ? 6时最大,知 T n 开口向下, T n? n n? 2 2
∴ p<2 且 5.5≤

p ≤6.5 2(2 ? p )



11 13 ≤ p≤ 6 7

………(12 分)

21、解:(Ⅰ)由题意,点 C 到定点 F(-
2

1 1 ,0)和直线 x = 的距离相等, 4 4
………(4 分)

所以点 C 的轨迹方程为 y ? ?x (Ⅱ)由方程组 ? 整理得

? y 2 ? ?x ? y ? k ( x ? 1)

消去 x 后,

2 ky ?y? k? 0

………(5 分)
8

设 A(x1,y1),B( x 2 , y 2 ),由韦达定理有

? y1 ? y2 = ??

12t 2 , y1 y2 ?- ………(6 分) ? 1, 2 tk ?1 t ?1
2

设直线 l与 x 轴交于点 N,则 N(-1,0) ∵

1 1 = |ON|| y 1 |+ |ON|| y 2 | S ? S ? S ? OAB ? OAN ? OBN 2 2


1 1 1 2 |ON|· |y · 1· ( y y ) ? 4 y y 1? 2 1 2 = 1 ? y2 |= 2 2 2

1 ( )2 ? 4 k

∵ S?OAB? 10 ∴

10 =
2

1 2

1 ( ) 2 ? 4 ,解得 k

k ??

1 6

………(8 分)

(Ⅲ)∵A、B 在抛物线 y ? ?x 上, 所以 x =?( ? x ? ? ( y y 1 2 1? 2)
2 2

1 2 2 , x y 1 ? 2) , x 1 2? 1y 2 ? 2 k

………(9 分)

设点 M( x 0 , y 0 ),MA⊥MB ? =0? (( y ? y y ? y )( y ? y ) ? ( x ? x )( x ? x ) 11 00 2 0 1 0 2 0

1 1 2 2 ? x? y ? y ? 2 x ? x 0 0 0 0 0? 2 0 k k
………(11 分)

x0 ? 0 ? ? y0 ? 0 ? ? y 2 ? 2x ? x 2 ? 0 0 0 ? 0

?

? x0 ? 0 ? ? y0 ? 0

故存在唯一的合乎题意的点 M(0,0). 22、解:(Ⅰ) 当 a ? ?3 时, f ( x) ? ∴

………(12 分)

1 3 x ? x 2 ? 3x +3 3

f ' ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 ? ( x ? 3)(x ? 1)
x2 ? 3
………(1 分) ………(2 分)

令 f ' ( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1

当 x <-1 时, f ' ( x) >0,则 f ( x) 在 ?? ?,?1? 上单调递增;

当-1< x <3 时, f ' ( x) <0,则 f ( x) 在(-1,3)上单调递减; ……(3 分) 当 x >3 时, f ' ( x) >0, f ( x) 在 ?3,??,? 上单调递增; ∴ 当 x =-1 时, f ( x) 取得极大值为 f (?1) ? ? 当 x =3 时, f ( x) 取得极小值为 f (3) ? ……(4 分) …(5 分)

1 14 ?1? 3 ? 3 ? 3 3

1 3

? 27 ? 9 ? 9 ? 3 ? ?6

…(6 分)

9

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(Ⅱ) ∵ f ' ( x) ? x 2 ? 2 x ? a



? ? 4 ? 4a ? 4(1 ? a)

1)若 a ? 1 ,则 ? ? 0 ,∴ f ' ( x) ? 0 在 R 上恒成立,∴ f ( x) 在 R 上单调递增。……(7 分) ∵ f (0) =- a <0, f (3) =2 a >0 ∴当 a ≥1 时, f ( x) 函数的图象与 x 轴有且只有一个交点。…(8 分) 2)若 a <1,则 ? ? 0 ∴ f ' ( x) ? 0 有两个不相等的实数根,不妨设为 x1 、 x2 ( x1 < x2 ) ∴ x1 + x2 =2, x1 · x2 = a , 当 x 变化时, f ' ( x) f ( x) 的取值情况如下表:

x
f ' ( x)
f ( x)

?? ?, x1 ?
+

x1
0 极大值

( x 1 , x2 )

x2
0 极小值

?x2 ,??,?
+



∵ x1 ? 2 x1 + a =0, ∴ ∴ f ( x1 ) ?

2

a =- x1 2 ? 2 x1

………(9 分)

1 3 1 3 2 2 x1 ? x1 ? ax1 ? a = x1 ? x1 ? ax1 ? x1 2 ? 2 x1 3 3 1 3 1 2 = x1 ? ( a ? 2) x1 = x1 [ x1 ? 3(a ? 2)] ………(10 分) 3 3 1 2 同理 f ( x2 ) ? x 2 [ x 2 ? 3( a ? 2)] ………(11 分) 3 1 2 2 ∴ f ( x1 ) · f ( x2 ) = x1 x 2 [ x1 ? 3( a ? 2)] · [ x2 ? 3(a ? 2)] 9 1 2 2 2 2 = ( x1 x 2 )[( x1 x 2 ) ? 3(a ? 2)( x1 ? x 2 ) ? 9(a ? 2) ] 9 1 2 2 2 = a a ?3(a ? 2)[( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ] ? 9(a ? 2) ? 9 4 2 = a ( a ? 3a ? 3) …………(12 分) 9

?

令 f ( x1 ) · f ( x2 ) >0,解得 a >0, 而当 0 ? a ? 1 时, f (0) =- a <0, f (3) =2 a >0, 故当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 的图象与 x 轴有且只有一个交点。 综上所述, a 的取值范围是 ?0,??,?
10

………(13 分) ……… (14 分)

11


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