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【高中数学】定积分的概念、微积分基本定理


【高中数学】定积分的概念、微积分基本定理 知识讲解 1. 一般地,如果函数 y=f(x)在某个区间 I 上的图像是一条连续不断的曲线,那么我们就把它称为区间 I 上的________。 2. 以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤: ① ________ 3. 定积分的定义: 如果函数 f(x)在区间[a,b]上图像是连续曲线,用分点 a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间。在每个小区间 ? xi ?1 , xi ? 上任取一点 ?i (i ? 1, 2,?, n) 作和式______________ ,当 n ? ? 时,上述和式无限 趋近某个常数, 这个常数叫做函数 f ( x ) 在区间[a,b]上的 记为: S ? __________________ 其中:① f ( x) 称为_________, x 叫做___ ②定 积 分 。 ___, [ a, b] 为__________, b 为___________, a 为_________. 。 记作: ________ 即 ? f ( x )dx = lim ? b a n ?? i ?1 n ,② ________ ,③ ________ ,④ ________ . b?a f (? i ) . n ? b a f ( x)dx 是 一 个 常 数 , 只 与 积 分 上 、 下 限 的 大 小 有 关 , 与 积 分 变 量 的 字 母 无 关 , b ? b a f ( x)dx ? ? f (t )dt ? ? f ( y)dy a a b 【探究一】讨论定积分的几何意义是什么? (1)如果在区间 [ a , b] 上函数连续且恒有 f ( x) ? 0 , 那么定积分 ? ? b a f ( x)dx 表示: ; (2)如果在区间 [ a , b] 上函数连续且恒有 f(x)≤0, 那么定积分 b a f ( x)dx 表示: ; (3)如果在区间 [ a , b] 上函数连续且 f ( x ) 有正有负时, 那么定积分 ? b a f ( x)dx 表示 ; 【探究二】讨论根据定积分的几何意义,用定积分表示图中阴影部分的面积: y A y ? f1 ( x ) B 。 D y ? f ( x) C 2 a b x O 第 1 页 【探究三】定积分的性质 根据定积分的定义及几何意义,容易得到定积分的如下性质: (1) (2) (3) (4) ? 1dx ? b ? a a b ? b a b kf ? x ?dx ? ? f1 ? x ? ? f 2 ? x ??dx ? ? ? c b a c (k 是常数) ; ; ? a ? b a ; f ? x ?dx ? ? f ? x ?dx ? ? f ? x ?dx (其中 a ? b ? c ) 典例分析 例 1. 用图表示下列函数的定积分,并求出定积分 (1) ∫012dx (2) ∫12xdx (3) ? 3 ?2 16 ? 6x ? x2 dx 例 2. 计算定积分 ? 2 1 ( x ? 1)dx 分析:所求定积分即为如图阴影部分面积. 例 3. 计算定积分 ? 5 0 (2 x ? 4)dx 例 5. 求如图所示阴影部分图形的定积分. 选做题:(课后探究) 用定积分的几何意义说明下列不等式:

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