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2.2.2 向量减法运算及其几何意义 课件(人教A版必修4)


第二章

平面向量

温故知新
1、向量加法的三角形法则

A
b b b a+b b b

B

a a a a a a a a a a

b

b

b

b O

r />首尾相连,连首尾

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第二章

平面向量

2、向量加法的平行四边形法则

D
a a a a a a a a a a a+b

b a

C

b

b

b

b

A

B
b

起点相同连对角
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第二章

平面向量

探究
1. 向量是否有减法? 2. 向量的减法是否与数的减法有类 似的法则?

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第二章

平面向量

2.2.2 向量减法运算及其几何

意义

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第二章

平面向量

新知初探思维启动
1.相反向量
与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相 -a 反向量,记作_______. 0 (1)零向量的相反向量仍是零向量,即-0=__. (2)任一向量与它的相反向量的和是零向量, 0 即a+(-a)=________. (3)如果a、b是互为相反的向量,则 a=-b, b=-a,a+b=0.
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第二章

平面向量

(想一想 1. 向量a,b是否为相反向量?

提示:不是.因为a与b的长度不相等.

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第二章

平面向量

2.向量的减法 (1)定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相

相反向量 当于加上这个向量的_______________.
(2)几何意义:已知 a、b,在平面内任取一点 → → → O,作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即 a-b

从向量b的终点 可以表示为_________________________指向 向量a的终点 _________________________的向量.

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第二章

平面向量

做一做
→ → 图中AB-AC=________.
→ 答案:CB

想一想

2.若a,b是不共线向量,则
|a+b|与|a-b|的几何意义是什么?

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第二章

平面向量

→ → 提示:如图所示,设OA=a,OB=b. 根据向量加法的平行四边形法则和 → → 向量减法的三角形法则,有OC=a+b,BA= a-b.因为四边形 OACB 是平行四边形,所以 → → |a+b|=|OC|,|a-b|=|BA|分别是以 OA,OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长.

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第二章

平面向量

典题例证技法归纳
题型探究 向量减法的几何作图
例1 如图,已知向量a,b,c不共线,求

作向量a-b-c.

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第二章

平面向量

→ 【解】 如图, 在平面内任取一点 O, 作OA= → → a,OB=b,则BA=a-b. → → 再作CA=c,则BC=a-b-c.

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第二章

平面向量

【名师点评】
注意以下三点:

用几何法作两个向量的差应

(1)要求两向量有共同起点; (2)要弄清减向量与被减向量; (3)箭头指向被减向量.

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第二章

平面向量

变式训练
1.如图所示,已知向量a,b,c,求作向量a +b-c.

→ → 解:在平面内任取一点 O,作OA=a,OB=b, → OC=c.

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第二章

平面向量

→ 由向量加法的平行四边形法则得OD=a+b; → → → 由向量的减法法则得CD=OD-OC=a+b-c. → 所以CD就是所要求作的向量 a+b-c(如图所 示).

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第二章

平面向量

向量减法的运算
例2
→ → → → 化简:(1)(AB-CD)-(AC-BD);

→ → → → → → (2)(AC+OB+OA)-(DC-DO-OB). → → → → 【解】 (1)(AB-CD)-(AC-BD)
→ → → → =AB-CD-AC+BD → → → → → → =(AB-AC)+(BD-CD)=CB+BC=0.

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第二章

平面向量

→ → → → → → (2)(AC+OB+OA)-(DC-DO-OB) → → → → → → =AC+OB+OA-DC+DO+OB → → → → → → =AC+OB+OA+CD +DO+OB → → → =AC+2OB+CA=2OB.

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第二章

平面向量

向量减法的简单运用
例3 (本题满分6分)如图所示,O是平行四 边形ABCD的对角线AC、BD的交点,

→ → → 设AB=a,DA=b,OC=c, → 求证:b+c-a=OA.

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第二章

平面向量

【证明】 → OB,3 分

→ → → → ∵b+c=DA +OC =OC +CB =

→ → → → 而OA+a=OA+AB=OB, → ∴b+c=OA+a, → 即 b+c-a=OA. 6分

名师微博

三角形法则的应用.

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第二章

平面向量

互动探究
→ → → 2.若在本例中,令AB=a,BC=b,OD=c, → 又如何求证 c+a-b=OB呢? → → → → → 证明:∵c+a=OD+AB=AB-OB=AO,
→ → → → → 而 b+OB=BC+OB=OC=AO, → → ∴c+a=b+OB,即 c+a-b=OB.

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第二章

平面向量

备选例题
1.如图所示,D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、 → → BC、CA 的中点,则AF-DB等于(

→ A.FD → C.FE

→ B.FC

)

→ D.BE

→ → → → 解析:选 D.由题图可知DB=AD,则AF-DB → → → =AF -AD =DF .又由三角形中位线定理知 → → DF=BE.
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第二章

平面向量

2.若非零向量a与b互为相反向量,给出下列
结论:

①a∥b;②a≠b;③|a|≠|b|;④b=-a.
其中正确命题的序号为________.

答案:①②④

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第二章

平面向量

3.已有△ABC 为等腰直角三角形,∠ACB= → → 90°,M 为斜边 AB 的中点,CM=a,CA= b.求证:(1)|a-b|=|a|; (2)|a+(a-b)|=|b|.
证明:如图,在等腰 Rt△ABC 中, 由 M 是斜边 AB 中点,有 → → → → |CM|=|AM|,|CA|=|CB|.

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第二章

平面向量

→ → → (1)在△ACM 中,AM=CM-CA=a-b. → → 于是由|AM|=|CM|, 得|a-b|=|a|, → → (2)在△MCB 中,MB=AM=a-b, → → → 所以CB=MB-MC=a-b+a=a+(a-b). → → 从而由|CB|=|CA|,得|a+(a-b)|=|b|.

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第二章

平面向量

方法感悟
方法技巧

1.向量减法的实质是向量加法的逆运算,在
用三角形法则作向量减法运算时,一定要把 两向量起点平移至同一点,同时注意差向量 的箭头指向被减向量的终点. 2.运用向量减法法则运算的常用方法

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第二章

平面向量

3.化简向量表达式时,注意运用下列技巧. (1)首尾相连且为和;

(2)起点相同且为差.

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第二章

平面向量

失误防范
1.不符合减法法则形式而误用减法法则. → → → 如:AB-CB=CA的错误. 2.减法运算极易写错方向. → → → 如:AB-AC=BC的错误.

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