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2010年中考数学专题复习课件第1部分数与式第5讲分式


一、教学内容 1. 分式的有关概念; 2. 分式的基本性质。

A B

二、重点、难点剖析
1. 什么是分式?如何正确理解分式?分式 的值何时为零?分式的基本性质.
A 形如 B 的式子叫分式,其中A和B均为 5 5x 2

整式,B中含有字母.例如: , … x x2 ?3 等都是分式.

2. 理解分式这个概念,应注意以下两点: (1)分式是两个整式相除的商, 其中分母是除式,分子是被除式, 而分数线可以理解为除号, 同时分数线还含有括号的作用,

(2)分式的分子和分母都是整式, 但是分子可以含字母. 也可以不含字母,而分母中必须含有字母.

(3)在分式中分母的值不等于零时, 分式才有意义. 分式与分数的区别在于分式的分母 中含有字母.分式中作为分母的代数 式的值是随着式中字母取值的不同 而变化的,字母所取的值有可能使 分母的值为零,当分母的值为零时 分式就没有意义了.这与分数不同, 分数的分母是一个具体的数,这个 数是否为零,一目了然.而分式要明 确其是否有意义,就必须分析、讨 论分母中所含的字母不能取哪些值, 以避免分母的代数式的值为零.

3. 要使分式的值为零,必须在分 式有意义的前提下,才能谈到它 的值是多少.这就是说“分式的 值为零”包含两层意思:一是分 式有意义,二是分子的值为零, 不要误解为“只要分子的值为零, 分式的值就是零”.

4. 分式的基本性质. 分数的基本性质是:分数的分子与分母都乘以 (或除以)同一个不等于零的数, 分数的值不变.同样的,分式也有类似性质: 分式的分子与分母都乘以 (或除以)同一个不等于零的整式, 分式的值不变.

A A? M 用数学式子表示为:B ? B? M

A A? M ? B B?M

其中M是不等于零的整式.

分式的基本性质是分式恒等变形的依据, 我们学习的分式的约分、通分、化简和 解分式方程都用到这一性质,因此,正 确理解分式的基本性质,并能熟练的运 用它

三、典型例题
例1 当x取何值时,下列分式有意义?
(1)

1 x ?5

(2)

x?2 ( x ? 5)( x ? 2)

(3)

x 2 ?9 | x | ?3

1

(4)

1?

1 x

1 解 (1)要使分式 有意义,必须x-5≠0, x ?5 ∴ x≠5.
∴ 当x≠5时,分式有意义.
x?2 (2)要使分式 ( x ? 5)( x ? 2) 有意义,必须

(x-5)(x+2)≠0, ∴ x≠5且x≠-2, ∴ 当x≠5且x≠-2时,分式有意义.

x 2 ?9 (3)要使分式 有意义,必须|x|+3≠0. | x | ?3
∵ |x|+3>0, ∴ x取任意数时,分式都有意义.
1

(4)要使分式 ∴

1 1+ x

≠0,

1 有意义,必须 1? x

x≠-1,

x≠0, x≠0. ∴ 当x≠-1且x≠0时,分式有意义.

例2 (1)x为何值时,分式 零;

| x | ?2 x 2 ? x ?6

的值为

(2)x为何值时,分式

2 x ?1 x ?5

的值为-1.

|x| -2=0, …… ① x2+x-6≠0,……② 解①式得x=±2,解②式得(x-2)( x+3)≠0,即 x≠2且x≠-3. ∴ x=-2. 当x=-2时,分式的值为零. 解 (1) 由题意得

(2) 由题意得

2x+1=-(x-5), …… ① x-5 ≠0, …… ②

4 由①得 2x+1+x=5,即x= , 3 由②得x≠5, 4 ∴ x= 时,分式 2 x ?1 的 x ?5 值为-1. 3

(2) 由题意得 2x+1=-(x-5), …… ① x-5 ≠0, …… ② 4 由①得 2x+1+x=5,即x= , 3 由②得x≠5,
4 ∴ x= 时,分式的值为-1. 3

| x | ?1 例3 若分式的值 | x | ? x 为零,求x的值. | x | ?1 解 ∵ 分式的值 | x | ? x 为零, ∴ |x|-1=0, …… ① |x|+x≠0, …… ② 由①式得|x|=1, ∴ x±1. 当x=1时,|x|+x=|1|+1=2≠0, 满足②式; 当x=-1时,|x|+x=|-1|-1= 0,不满足②式; ∴ x=1.

例4 若分式 取值范围. 1? x

2 ? x 的值为负数,试确定x的

2? x 解 ∵ 1? x

<0,

∴ 分子2-x与分母1+x的符号相反, 即 或 2-x>0, 2-x<0, 1+x<0, 1+x>0. 解得 或 x<2, x>2, x<-1, x>1. ∴ x<-1或x>2, ∴ x的取值范围是x<-1或x>2.

例5 不改变分式的值,把下列各式中的分子、分 母的各项系数都化为整数.
1 2 x? y 5 3 (1) 1 1 y? x 4 3 1 2 x? y 3 解 (1) 5 1 1 y? x 4 3

(2)

0.3a ? 0.5b 0.2a ? b
12 x ? 40 y = 15 y ? 20x

=

1 2 ( x ? y )? 60 5 3 1 1 ( y ? x )? 60 4 3

0.3a ? 0.5b (0.3a ? 0.5b)?10 (2) 0.2a ? b = (0.2a ? b)?10

=

3a ?5b 2a ?10b

例6 不改变分式的值,使下列分式的分子、 分母均不含有负号:

2y (1) ?5x 2

? 3n 2 (2)- 7m 3

? ( x ? 3) n (3) (n为正整数). 2 n ?1 (? y )

2y 2y 解 (1) ; 2 =- ?5x 5x 2 ? 3n 2 3n 2 (2)- 7 m 3 = 7m 3
? ( x ? 3) n ? ( x ? 3) n (3) 2 n ?1 = (? y ) 2 n ?1 = ? y
( x ? 3) n y 2 n?1

例7 不改变分式的值,使下列分式的分 子与分母的最高次项的系数是正数:
(1);
1? a ? a 1? a 2 ? a 3
2 2

1? a 3 (2)-. 2 a ? a ?1
2

a 2 ? a ?1 ? (a ? a ?1) 1? a ? a 解 (1) ; 2 3 = ? (a 3 ? a 2 ?1) = a 3 ? a 2 ?1 1? a ? a
1? a 3 =— (2)=- 2 a ? a ?1

? ( a 3 ?1) a 3 ?1 = 2 2 a ? a ?1 a ? a ?1


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