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2009届全国名校真题模拟专题训练4-三角函数解答题(数学)


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2009 届全国名校真题模拟专题训练 04
三、解答题

三角函数

1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)在 ?ABC 中,已 知内角 A ?

?
3

,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,面积为 y .

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值. 解:(1) ?ABC 的内角和 A ? B ? C ? ?

? A?

?
3

?0 ? B ? BC sin B ? 4sin x sin A

2? 3

? AC ?

?y ?

1 2? AB ? AC sin A ? 4 3 sin x sin( ? x) 2 3

(0 ? x ?

2? ) 3

(2)? y ? 4 3 sin x sin(

2? 3 1 ? x) ? 4 3 sin x( cos x ? sin x) 3 2 2

? ? ? 7? ) ? 6sin x cos x ? 2 3 sin 2 x ? 2 3 sin(2 x ? ) ? 3, (? ? 2 x ? ? 6 6 6 6 ? ? ? 当 2 x ? ? 即 x ? 时,y 取得最大值 3 3 ………………………14 分 3 6 2 2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知 a=(cos ? ,sin ? ),b=(cos ? ,sin ? ),其 中 0< ? < ? < ? .
(1)求证:a+b 与 a-b 互相垂直; (2)若 ka+b 与 a-kb 的长度相等,求 ? - ? 的值(k 为非零的常数). 解:(1)由题意得:a+b=(cos α +cos β ,sin α +sin β ) a-b=(cos α -cos β , sin α -sin β ) ∴(a+b)·a-b)=(cos α +cos β )(cos α -cos β )+(sin α +sin β )(sin α -sin ( β ) 2 2 2 2 =cos α -cos β +sin α -sin β =1-1=0 ∴a+b 与 a-b 互相垂直. (2) 方法一:ka+b=(kcos α +cos β ,ksin α +sin β ), a-kb=(cos α -kcos β , sin α -ksin β ) | ka+b |= k 2 ? 2k cos(? ? ? ) ? 1 ,| a-kb |= k 2 ? 2k cos(? ? ? ) ? 1 由题意,得 4cos (β -α )=0,因为 0<α <β <π ,所以β -α = 方法二:由| ka+b |=| a-kb |得:| ka+b | =| a-kb |
2 2 2 2 2 2 2 2

?
2
2



即(ka+b ) =( a-kb ) ,k | a | +2ka?b+| b | =| a | -2ka?b+k | b | 由于| a |=1,| b |=1 ∴k +2ka?b+1=1-2ka?b+k ,故 a?b=0,
2 2

2

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即(cos ? ,sin ? )? (cos ? ,sin ? )=0 10 分 ?

cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 0 ? cos(? ? ? ) ? 0

因为 0<α <β <π ,所以β -α =

?
2


2

3、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知 3sin 求 tanAtanB 的值。 1 答案: 2

A? B 2 A? B +cos =2, (cosA?cosB≠0), 2 2

4、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知函数 f ( x) ? 3 cos2 x ? 2 cos x sin x ? sin 2 x . (Ⅰ)求 f (x) 的最大值,并求出此时 x 的值; (Ⅱ)写出 f (x) 的单调递增区间. 解:(Ⅰ) f ( x) ? 3 cos2 x ? 2 cos x sin x ? sin 2 x ? 3

? 2 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?
当 2x ?

?
4

1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 2

) ? 2 ………………………(6 分)

?
4

?

?
2

? 2k? ,即 x ? k? ?

?
8

(k ? Z ) 时,

f (x) 取得最大值 2 ? 2 .
(Ⅱ)当 ?

……………………(8 分)

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ,即 k? ?

所以函数 f (x) 的单调递增区间是 [k? ?

3? ? , k? ? ] (k ? Z ) .………(12 分) 8 8

3? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 时, 8 8

5、(安徽省皖南八校 2008 届高三第一次联考)已知 ?ABC 中, | AC |? 1 , ?ABC ? 120 ,
0

?BAC ? ? ,
记 f (? ) ? AB? BC , (1)求 f (? ) 关于 ? 的表达式; A
? ?

B 120° C

错 误 (2)求 f (? ) 的值域; ! 未 | BC | 1 | AB找 | 解:(1)由正弦定理有: ; ? ? 0 0 sin ? sin 120 sin(60 到? ) ? 引 0 sin(60 ? ? ) 1 用 sin ? , | AB |? ∴ | BC |? ; 0 0 sin 120 sin 120 源 。

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∴ f (? ) ? AB? BC ?

?

?

4 1 2 3 1 sin ? ? sin( 60 0 ? ? ) ? ? ( cos? ? sin ? ) sin ? 3 2 3 2 2

1 ? 1 ? ? s i n?( ? ) ? (0 ? ? ? ) 2 3 6 6 3 ? ? ? 5? (2)由 0 ? ? ? ? ? 2? ? ? ; 3 6 6 6 1 ? 1 ∴ ? sin( 2? ? ) ? 1 ;∴ f (? ) ? (0, ] 6 2 6
6 、 ( 江 西 省 五 校 2008 届 高 三 开 学 联 考 ) 已 知 向 量
x ? x x ? x ? a ? (sin( ? ), cos ), b ? (cos( ? ), ? cos ), x ? [ , ? ] ,函数 f ( x) ? a ? b . 2 12 2 2 12 2 2

(I)若 cos x ? ?

3 ,求函数 f (x) 的值; 5

(II)将函数 f (x) 的图象按向量 c= (m, n)(0 ? m ? ? ) 平移,使得平移后的图象关于 原点对称,求向量 c. x ? x ? x 解:由题意,得 f ( x) ? sin( ? ) cos( ? ) ? cos 2 2 12 2 12 2 1 ? 1 ? sin(x ? ) ? (1 ? cos x) 2 6 2

?

1 ? 1 sin( x ? ) ? . ………………………………………………………………5 分 2 6 2 ? 3 4 (1)? x ? [ , ? ], cos x ? ? ,? sin x ? , 2 5 5 ?
? f ( x) ? 3 1 1 3 7 sin x ? cos x ? ? ? . …………………………………7 分 4 4 2 5 20

3 1 1 1 3 1 1 sin x ? cos x ? ? ( sin x ? cos x) ? 4 4 2 2 2 2 2

(2)由图象变换得,平移后的函数为 g ( x) ?

1 ? 1 sin( x ? ? m) ? n ? , 2 6 2

而平移后的图象关于原点对称,? g (0) ? 0且n ? 1 ? 0 ,………………9 分 2 即 sin( m ?

?

6

) ? 0且n ?

1 , 2

5 ? 0 ? m ? ? ,? m ? ? , 6

即c ? ( ?, ). 7 、 ( 四 川 省 巴 蜀 联 盟 2008 届 高 三 年 级 第 二 次 联 考 ) 已 知 函 数

5 6

1 2

f ( x) ? ?1 ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ,
(1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)求函数 f (x) 的单调减区间;

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2

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(3)画出函

1



错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 用 源 。 0 错 误 ! 未 找 到 引 错误!未找到引 错 用源。 错误! 未找到引用源。 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 x -1 错误!未找到引用源。 -2

g ( x) ? f ( x), x ? [?

7? 5? , ] 的图象,由图象研究并写出 g (x) 的对称轴和对称中心. 12 12

解:(1) f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? (2)由

?
6

) ,T ?

3? ? 2? ? 2k? (k ? Z ) 得 ? k? ? x ? ? k? , 2 6 2 6 3 ? 2? ? k? ](k ? Z ) 所以,减区间为 [ ? k? , 6 3

?

? 2k? ? 2 x ?

?

2? ?? 2

?

(3) g ( x) 无对称轴,对称中心为( ?

?

12

,0 )

8、(四川省成都市新都一中高 2008 级一诊适应性测试)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边
2 2 2 分别是 a,b,c,且 a ? c ? b ?

1 ac. 2

(1)求 sin

2

A?C ? cos 2 B 的值; 2
1 4

(2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 解:(1) 由余弦定理:conB=

sin 2

1 A? B +cos2B= 4 2

(2)由 cos B ?

1 15 , 得 sin B ? . ∵b=2, 4 4
8
1

2 a + c =2ac+4≥2ac,得 ac≤ 3 ,S△ABC=2acsinB≤ 3 (a=c 时取等号)
2

1

15

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故 S△ABC 的最大值为

15 3

9、(四川省成都市一诊)在 ?ABC 中,已知内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,向量

B ? ? m ? 2sin B, ? 3 , n ? ? cos 2 B, 2cos 2 ? 1? ,且 m // n 。 2 ? ?
(I)求锐角 B 的大小; (II)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 的最大值。 (1)解:m∥n
2B ? 2sinB(2cos -1)=- 3cos2B 2

?

?

?2sinBcosB=- 3cos2B ? tan2B=- 3 ……4 分 2π π ∵0<2B<π ,∴2B= ,∴锐角 B= ……2 分 3 3 (2)由 tan2B=- 3 ? B= π 5π 或 3 6

π ①当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 3 4=a +c -ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立) 1 3 ∵△ABC 的面积 S△ABC= acsinB= ac≤ 3 2 4 ∴△ABC 的面积最大值为 3 ……1 分 5π ②当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 6 4=a +c + 3ac≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立) ∴ac≤4(2- 3) ……1 分 1 1 ∵△ABC 的面积 S△ABC= acsinB= ac≤2- 3 2 4 ∴△ABC 的面积最大值为 2- 3 ……1 分 注:没有指明等号成立条件的不扣分. 10 、 ( 四 川 省 乐 山 市 2008 届 第 一 次 调 研 考 试 ) 已 知 向 量
2 2 2 2

……3 分

?? m?

?

? 3a cos2 x, 1 , n ? ?1,b ? asin2 x ?, a,b? R ,

?

集合 M ? x 2cosx ?

?

?? ? 2??? x? ?? ? ,? ? ,若函数 f ( x) ? m?n在x?M时 ,取得最大 ? 2 2? ? ?

?

值 3,最小值为-1,求实数 a, b 的值 答: f ( x ) ? 2acos 2 x ? ? ? b,

?

6

?

4 a ? 4 , b ? 1 a ? ? ,b ? 5 ; 或 3 3 3 3
2008 级 12 月 月 考 ) 已 知 函 数

11 、 ( 四 川 省 成 都 市 新 都 一 中 高

f ( x) ? [2sin( x ? ) ? sin x]cos x ? 3 sin 2 x, x ? R 3
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?

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(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)若存在 x0 ? [0,

5? ] ,使不等式 f ( x0 ) ? m 成立,求实数 m 的取值范围. 12

本题考查三角函数的基本性质及其运算,给定区间内不等式恒成立问题. 解析:(1) f ( x) ? [2(sin x cos

?

? cos x sin ) ? sin x]cos x ? 3 sin 2 x 3 3

?

? 2sin x cos x ? 3 cos2 x ? 3 sin 2 x

? ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ……………………4 分 3 2? ?? ∴ 函数 f(x)的最小正周期 T ? ……………………6 分 2 5? ? ? 7? ] 时, 2 x ? ? [ , ] (2)当 x ? [0, 12 3 3 6 ? 7? 5? ∴ 当 2x ? ? ,即 x ? 时,f(x)取最小值-1 ………9 分 12 3 6 5? 所以使题设成立的充要条件是 f ( ) ? m , 12
故 m 的取值范围是(-1,+∞) 12、(安徽省淮南市 2008 届高三第一次模拟考试)设函数 f (x)=2cosx (cosx+ 3 sinx)-1,x ∈R (1)求 f (x)的最小正周期 T; (2)求 f (x)的单调递增区间.

解: f ( x) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?

) 6 ………… 6 分

(1) T ?

2? ?? . 2

………… 9 分

(2)由 2k? –

? ? ? ? ? ? 2x + ? 2k? + , 得:k? – ? x ? k? + (k ?Z), 2 6 2 3 6 ? ? ,k? + ](k ?Z) 3 6

f ( x ) 单调递增区间是[k? –

13 、 ( 安 徽 省 巢 湖 市 2008 届 高 三 第 二 次 教 学 质 量 检 测 ) 若 函 数
f ( x) ? s2 i n ? a x s an i x c ao的图象与直线 y ? m 相切,并且切点的横坐标依次成公差 ? xs a ( 0 )

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? 的等差数列。 2 (Ⅰ)求 m 的值;

? (Ⅱ)若点 A( x0 , y 0) 是 y ? f ( x) 图象的对称中心,且 x0 ? [0, ] ,求点 A 的坐标。 2
解:(Ⅰ ) f ( x) ? sin2 ax ? sinax cosax ? 分 由题意知, m 为 f ( x) 的最大值或最小值,所以 m ? 分 (Ⅱ)由题设知,函数 f ( x) 的周期为 分 ∴ f ( x) ? ? 由0?
2 ? 1 ? ? k? ? sin(4x ? ) ? .令 sin(4 x ? ) ? 0 ,得 4 x ? ? k? (k ? Z ) ,∴ x ? ? (k ? Z ) , 4 4 4 16 2 4 2 1? 2 1? 2 或m? . ………………6 2 2

1 ? cos 2ax 1 2 ? 1 ? sin 2 ? ? ax sin(2 ? ) … … 3 ax ? 2 2 2 4 2

? ,∴ a ? 2 ……………………………………8 2

k? ? ? 3 1 7 1 ? ? (k ? Z ) ,得 k ? 1 或 k ? 2 ,因此点 A 的坐标为 ( ? , ) 或 ( ? , ) . 4 16 2 16 2 16 2

14 、 ( 北 京 市 朝 阳 区 2008 年 高 三 数 学 一 模 ) 已 知 x ? R , 向 量

? ? ?? ? ? ?? O A ( a o s x , 1 O, B ? c 2 )?

??? ??? ? ? ( 2 a ? ,s fi( x) ? OA ? OB , a ? 0 . , 3 x n 2 a )

(Ⅰ)求函数 f (x) 解析式,并求当 a>0 时, f (x) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
2

] 时, f (x) 的最大值为 5,求 a 的值.
………………………………2 分

解:(Ⅰ) f ( x) ? 2a cos2 x ? 3a sin 2x ? a

? 3a sin 2 x ? a cos 2 x
? 2a sin(2 x ? ) . 6

………………………………………………4 分 ………………………………………………6 分

?

p p p ? 2x ? 2k p (k 2 6 2 p p 即k p - #x k p + (k Z )时 3 6 当2k p -

Z )时,
.

轾 p p f ( x)为增函数,即f ( x)的增区间为 犏 - , k p + (k kp 犏 3 6 臌
(Ⅱ) f ( x) ? 2a sin(2 x ?

Z)

………………9 分

?
6

) ,当 x ? [0,

?
2

] 时, 2 x ? ? ? [ ? , 7? ] .
6 6 6

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p p 5 = 时, f ( x) 最大值为 2a ? 5 ,则 a ? . ………11 分 2 6 2 ? 7? 时, f ( x) 的最大值为 ? a ? 5 ,则 a ? ?5 . 若 a ? 0, 当2 x ? ? 6 6
若 a > 0, 当2 x + 15、(北京市崇文区 2008 年高三统一练习一)已知向量 a=(tanx,1),b=(sinx,cosx), 其中 x ? [0,

?
3

], f ( x) ? a·b.

(I)求函数 f (x) 的解析式及最大值; (II)若 f ( x) ?

5 ? ? , 求2 sin( ? x) ? cos( ? x) ? 1 的值. 4 4 4

解:(I)∵a=(tanx,1),b=(sinx,cosx),

? f (x) ? a·b= tan x ? sin x ? cos x ?
∵ x ? [0,

1 . ……………………3 分 cos x

?
3

],?当x ?

?

时, f ( x)的最大值为 f ( ) ? 3 3

?

1 cos

?
3

? 2. …………6 分

(II)? f ( x) ?

5 1 5 4 ,? ? , 则 cos x ? . 4 cos x 4 5 ? 3 ? x ? [0, ],? sin x ? . ……………………9 分 3 5

2 sin(

?

4

? x) ? cos(

?

4

? x) ? 1 ? 2 cos 2 (
24 . 25

?

4

? x) ? 1 ? cos( 2 x ?

?
2

) ? ? sin 2 x

? ?2 sin x cos x ? ?

16、(北京市东城区 2008 年高三综合练习一)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,

c,且 b cos C ? 3a cos B ? c cos B. (I)求 cosB 的值;
(II)若 BA ? BC ? 2 ,且 b ? 2 2 ,求 a和c b 的值. 解:(I)由正弦定理得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ,

则2 R sin B cosC ? 6 R sin A cos B ? 2 R sin C cos B, 故 sin B cosC ? 3 sin A cos B ? sin C cos B, 可得 sin B cosC ? sin C cos B ? 3 sin A cos B, 即sin(B ? C ) ? 3 sin A cos B, 可得 sin A ? 3 sin A cos B.又 sin A ? 0, 1 因此 cos B ? . 3
(II)解:由 BA? BC ? 2, 可得a cosB ? 2 ,

…………6 分

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1 又 cos B ? , 故ac ? 6, 3 2 2 由b ? a ? c 2 ? 2ac cos B, 可得a 2 ? c 2 ? 12, 所以(a ? c) 2 ? 0, 即a ? c,
所以 a=c= 6 17、(北京市海淀区 2008 年高三统一练习一)已知在△ABC 中, A ? B ,且 tan A 与

tan B 是方程 x2 ? 5 x ? 6 ? 0 的两个根.
(Ⅰ)求 tan(A ? B) 的值; (Ⅱ)若 AB ? 5 ,求 BC 的长. 解:(Ⅰ)由所给条件,方程 x2 ? 5 x ? 6 ? 0 的两根 tan A ? 3, tan B ? 2 . ∴ tan( A ? B) ? 2分 4分 6分
?

tan A ? tan B 1 ? tan A tan B

?

2?3 ? ?1 1? 2? 3

(Ⅱ)∵ A ? B ? C ? 180 ,∴ C ? 180? ? ( A ? B) . 由(Ⅰ)知, tanC ? ? tan(A ? B) ? 1 ,

∵ C 为三角形的内角,∴ sin C ?

2 2

8分

∵ tan A ? 3 , A 为三角形的内角,∴ sin A ?

3 , 10

10 分

由正弦定理得: ∴ BC ?

AB BC ? sin C sin A

11 分

5 3 ? ?3 5. 2 10 2

18、(北京市十一学校 2008 届高三数学练习题)已知函数 f ( x) ? 2 3sin x ? 2cos x . (Ⅰ)若 x ? ?0,? ? ,求 f ( x) 的最大值和最小值;

(Ⅱ)若 f ( x) ? 0 ,求

2cos2

x ? sin x ? 1 2 的值. ?? ? 2 sin ? x ? ? 4? ?

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解:(Ⅰ) f ( x) ? 2 3sin x ? 2cos x

? 3 ? 1 ? 4? ? 2 sin x ? 2 cos x ? ? ? ?

?? ? ? 4sin ? x ? ? .…………………………3 分 6? ?
又∵ x ??0,? ? ,∴-

π π 5π π ≤ x ? ≤ , ??2 ≤ 4sin ? x ? ? ≤4 , ? ? 6 6 6 6? ?

∴ f ( x)max ? 4,f ( x)min ? ?2 .…………………………6 分
(II)由于 f ( x) ? 0 ,所以 2 3 sin x ? 2cos x 解得 tan x ?

1 …………………………8 分 3

2cos 2

x ? sin x ? 1 cos x ? sin x 2 ? ?? ? ? 2 2? 2 sin ? x ? ? 2 ? sin x · ? cos x · ? 4? ? 2 2 ? ?
1?

1 cos x ? sin x 1 ? tan x 3 ? 2? 3 ? ? ? cos x ? sin x 1 ? tan x 1 ? 1 3
19 、 ( 北 京 市 西 城 区 2008 年 4 月 高 三 抽 样 测 试 ) 在 ?ABC 中 , cosA ?

5 , 5

cos B ?

10 . 10

(Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)设 AB ? 2 ,求 ?ABC 的面积. (Ⅰ)解:由 cos A ? 所

5 10 , cos B ? , 5 10

得 A、B ? ? 0, ? , 以

? ?? ? 2?

sin A ?

2 3 , sin B ? . 5 10

………

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….. 3 分 因



c C?
6分 且

?
0?C ??

2 , ………….. o 2
, ………….. 7 分 故

? A

C?

? . 4
据 正 弦 定

(Ⅱ)解: 根

理 ………….. 10 分



AB AC AB ? sin B 6 ? ? AC ? ? , sin C sin B sin C 10
所以 ?ABC 的面积为

1 6 AB ? AC ? sin A ? . 2 5

? 20、(北京市西城区 2008 年 5 月高三抽样测试)设 ? ? ? 0, ? ,函数 f ? x ? ? sin 2 ? x ? ? ? ,且 ? ? ? 4?
3 ? f ? ?? 。 ? ? ?4? 4 (Ⅰ)求 ? 的值;

? (Ⅱ)若 x ? ?0, ? ,求 f ? x ? 的最大值及相应的 x 值。 ? 2? ? ?

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21、 (北京市宣武区 2008 年高三综合练习一)已知向量 m = ?sin B, 1 ? cos B ?, 向量 n =(2, π 0),且 m 与 n 所成角为 , 3 其中 A、B、C 是 ?ABC 的内角。 (1)求角 B 的大小; (2)求 sin A ? sin C 的取值范围。 解:(1)? m = ?sin B, 1 ? cos B ?,且与向量 n = (2,0)所成角为

? , 3

?

1 ? cos B ? 3 sin B

? 3 sin A ? cos B ? 1
? sin( B ?

?

6 又? 0 ? B ? ?

)?

1 2 7? 6

?

?

6 5? ?B? ? 6 6 2? ……………………………………………………………..6 分 ?B? 3 2? ? (2)由(1)知, B ? ,? A+C= 3 3

6

? B?

?

?

?

? sin A ? sin C = sin A ? sin(
? 0? A? ?

?

? 1 3 ? A) = sin A ? cos A = sin( ? A) 3 3 2 2

?
3



?
3

? A?

?
3

?

2? 3

? sin(

?

? 3 ? ? 3 ? ? ? A) ? ? ? 2 ,1? ,? sin A ? sin C ? ? 2 ,1? 3 ? ? ? ?

22、(北京市宣武区 2008 年高三综合练习二)已知: sin ? ? ?

? ?

??

3 ? 3 ? ? , ? ? ? ?. 4? 5 4 4

(1)求 cos? ? ?

? ?

??

? 的值; 4?

(2)求 sin ? 的值; (3)问:函数 y ? cos? x ?
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? ?

??

? 的图像可以通过函数 y ? sin x 的图像进行怎样的平已得 4?

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到? 解:(1)? sin? ? ?

? ?

??

3 ? 3 ? ? , ?? ? ? , 4? 5 4 4
?

?0?? ?

?
4

?
2
………………………………………………………..5 分

?? 4 ? ? cos? ? ? ? ? 4? 5 ?
(2) sin? ? sin?? ?

? ?

?
4

?

??

?? ? ?? ? 7 2 ? ? ……..9 分 ? ? sin?? ? ?cos ? cos?? ? ?sin ? 4? 4? 4 4? 4 10 ? ?

(3)函数 y ? cos? x ?

? ?

??

? ? 的图像可以通过函数 y ? sinx 的图像向左平移 个单位得到 4 4?

23、(山东省博兴二中高三第三次月考)已知函数 f ( x) ? 2a sin 2 x ? 2 3a sin x ? cos x ? b 的定义

? 域为 [0, ] ,值域为[?5,4].求 a 和 b. 2
解:f(x)=a(1-cos2x)- 3a sin2x+b =-a(cos2x+ 3 sin2x)+a+b ? =-2a sin(2x+ )+a+b . ······················ 6 分
6

? 1 ? ? 7? ? ∵x∈ [0, ] ,∴2x+ ? [ , ] ,sin(2x+ )? [? ,1] . 2 2 6 6 6 6
显然 a=0 不合题意. (1) 当 a>0 时,值域为 ?b ? a, b ? 2a? ,即 ? ? (2) 当 a<0 时,值域为 ?b ? 2a, b ? a? ,即 ?
?b ? a ? ?5, ?a ? 3, ?? ?b ? 2a ? 4, ?b ? ?2.

?b ? a ? 4, ?a ? ?3, ?? ?b ? 2a ? ?5, ?b ? 1.

24、(山东省博兴二中高三第三次月考)在△ABC 中,A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c, 已知向量 m ? (1, 2sin A) , n ? (sin A,1 ? cos A), 满足m // n, b ? c ? 3a. (I)求 A 的大 小;(II)求 sin(B ? 6 ) 的值.
2 解:(1)由 m//n 得 2 sin A ? 1 ? cos A ? 0 ……2 分

??

?

?? ?

?

即 2 cos2 A ? cos A ? 1 ? 0

? cos A ?

1 或 cos A ? ?1 2
?A?

………………4 分 ………………6 分

? A是?ABC的内角 cos A ? ?1舍去 ,
(2)? b ? c ? 3a 由正弦定理, sin B ? sin C ? 3 sin A ? 3
2

?
3

………………8 分

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?B?C ?

2 ? 3

? sin B ? sin(

2? 3 ? B) ? 3 2

………………10 分

3 3 3 ? 3 cos B ? sin B ? 即sin(B ? ) ? 2 2 2 6 2 25 、 ( 四 川 省 成 都 市 高 2008 届 毕 业 班 摸 底 测 试 ) 设 函 数 ?

f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? m ( x ? R)
(Ⅰ)化简函数 f (x) 的表达式,并求函数 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ)若 x ? [0, ? ] ,是否存在实数 m,使函数 f (x) 的值域恰为 [ , ] ?若存在,请求
2

1 7 2 2

出 m 的取值;若不存在,请说明理由。 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? m

? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? m ? 2 sin( 2 x ?
∴函数 f (x) 的最小正周期 T ? ?

?
6

) ? m ?1

…………4 分

………………2 分

(Ⅱ)假设存在实数 m 符合题意, ? x ? [0, ∴

?
2

],

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? ? 1 ,则 sin( 2 x ? ) ? [? ,1] …………2 分 6 6 2

∴ f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?

6

) ? m ? 1 ? [m,3 ? m] m? 1 2

…………2 分

又∵ f ( x ) ? [ , ] ,解得 ∴存在实数 m ?

1 7 2 2

1 1 7 ,使函数 f (x) 的值域恰为 [ , ] 2 2 2 3 , 4

26、(东北区三省四市 2008 年第一次联合考试)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,C=2A, cos A ?

(1)求 cosC , cos B 的值; (2)若 BA ? BC ?

27 ,求边 AC 的长。 2

本小题考查和角倍角公式以及正弦、余弦定理
2 解:(1) cos C ? cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ? 2 ?

9 1 ?1 ? 16 8

1 3 7 3 7 由cosC ? , 得 sin C ? ;由cos A ? , 得 sin A ? 8 8 4 4 ? cos B ? ? cos? A ? C ? ? sin A sin C ? cos A cosC ? 7 3 7 3 1 9 ? ? ? ? 4 8 4 8 16

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27 27 ,? ac cos B ? ,? ac ? 24 2 2 a c 3 ? , C ? 2 A,? c ? 2a cos A ? a 又 sin A sin C 2
(2) BA ? BC ? 由①②解得 a=4,c=6

① ②

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 16 ? 36 ? 48 ?

9 ? 25 16 ? 3 ? 2

? b ? 5 ,即 AC 边的长为 5.
27、(东北三校 2008 年高三第一次联考)已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1). (1)当 a // b 时,求 2cos 2 x ? sin 2 x 的值; (2)求 f ( x) ? (a ? b ) ? b 在 ? ? 解:(1)? a || b ,∴

? ?

?

?

?

? ? ? , 0 上的值域. ? 2 ? ?

? ?

3 3 cos x ? sin x ? 0 ,∴ tan x ? ? 2 2

2 cos2 x ? sin 2 x ?
? ?

2 cos2 x ? 2 sin x cos x 2 ? 2 tan x 20 ? ? . sin 2 x ? cos2 x 1 ? tan2 x 13
1 2

(5 分)

(2)? a ? b ? (sin x ? cos x, )

? ? ? 2 ? f ( x) ? (a ? b) ? b ? sin(2 x ? ) 2 4
∵?

?
2

? x ? 0 ,∴ ?

3? ? ? ? 2 ? 2 x ? ? ,∴ ?1 ? sin(2 x ? ) ? 4 4 4 4 2

∴?

2 1 ? f ( x) ? 2 2

∴函数 f ( x )的值域为??

? ?

2 1? , ? 2 2?

28、(东北师大附中高 2008 届第四次摸底考试)在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为

A? B C ? sin ? 2 . 2 2 I.试判断△ ABC 的形状; II.若△ ABC 的周长为 16,求面积的最大值. ? ?C C C C C ? ? sin ? cos ? sin ? 2 sin( ? ) 解:Ⅰ、 sin 2 2 2 2 2 4 C ? ? ? ? ? ? 即C ? ,所以此三角形为直角三角形. 2 4 2 2

a,b,c , sin

2 2 Ⅱ.16 ? a ? b ? a ? b ? 2 ab ? 2ab ,?ab ? 64(2 ? 2 ) 2 当且仅当 a ? b 时 取等号,

此时面积的最大值为 32 6 ? 4 2 .

?

?

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29、(本题 12 分) 已知 a ? (cos x,sin x), b ? (cos x ? 3sin x, 3cos x ?sin x , f ( x) ? a ? b . ) (1)求 f ( x) 的解析式及周期 T ; (2)当 x ? [0,

?

?

?
2

] 时, f ( x) ? 2 ? 0 ,求 x 的值.

2 2 解: (1) f ( x) ? a ? b ? cos x ? 2 3 cos x sin x ? sin x ? 2sin(2 x ?

? ?

?
6

) ……3 分

T?

2? ?? 2

……………………………………………5 分

(2) x ? [0,

?

? 2 ] 时, sin(2 x ? ) ? 2 6 2
?
4 或2 x ?

……………………………………6 分

6 ? 7? ? x ? k ? ? 或x ? k ? ? 24 24 ? 7? ? x ? 或x ? 24 24

2x ?

?
6

? 2 k? ?

?

? 2k? ?

3? 4

………………………………8 分

………… ………………………………10 分

30、(福建省莆田一中 2007~2008 学年上学期期末考试卷)已知 △ ABC 的面积为 3 , 且满足 0 ? AB ? AC ? 6 ,设 AB 和 AC 的夹角为 ? . (I)求 ? 的取值范围;

??? ?

????

) - 3 cos2? 的最大值与最小值. 4 , 解:(Ⅰ)设 △ ABC 中角 A B,C 的对边分别为 a,b,c ,
2 (II)求函数 f (? ) ? 2 sin (? ?

?

则由

1 ?π π? bc sin ? ? 3 , 0 ≤ bc cos ? ≤ 6 ,可得 0 ≤ cot ? ≤1,∴? ? ? , ? . 2 ?4 2?

(Ⅱ) f (? ) ? 2sin 2 ?

? ?π ?? ?π ? ? ? ? ? 3 cos 2? ? ?1 ? cos ? ? 2? ? ? ? 3 cos 2? ?4 ? ?2 ?? ?

π? ? ? (1 ? sin 2? ) ? 3 cos 2? ? sin 2? ? 3 cos 2? ? 1 ? 2sin ? 2? ? ? ? 1. 3? ?
π ? π 2π ? π? ?π π? ? ∵? ? ? , ? , 2? ? ? ? , ? ,∴ 2 ≤ 2sin ? 2? ? ? ? 1≤ 3 . 3 ?6 3 ? 3? ?4 2? ?
即当 ? ?

5π π 时, f (? )max ? 3 ;当 ? ? 时, f (? )min ? 2 . 12 4

31、(福建省泉州一中高 2008 届第一次模拟检测)△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对 边,且有 sin2C+ 3 cos(A+B)=0,.当 a ? 4, c ? 13 ,求△ABC 的面积。 (1)解:由 sin 2C ? 3 cos(A ? B) ? 0且A ? B ? C ? ?
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有 2 sin C cosC ? 3 cosC ? 0所以, cosC ? 0或 sin C ?

3 2

……6 分

由 a ? 4, c ? 13, 有c ? a, 所以只能sin C ?

3 ? , 则C ? , ……8 分 2 3

由余弦定理 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? cosC有b 2 ? 4b ? 3 ? 0, 解得b ? 1或b ? 3 当 b ? 3时, S ?

1 ab ? sin C ? 3 3 2
2008
?

当b ? 1时, S ?

1 ab ? sin C ? 3. 2

32 、 ( 福 建 省 师 大 附 中
?

年 高 三 上 期 期 末 考 试 ) 设 向 量

a ? ( c ? s ?, s ? n o b i
若 a? b ?
? ?

? , ? , c o ? ? ?, ?s?i? , ) ( 且0 s n

)

?

?

4 4 , tan ? ? ,求 tan ? 的值。 5 3
4 ????????? 2分 5

? a ? b ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? cos(? ? ? ) ?

4 ????????? 2分 5 又 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 0?????????1分 3 ?sin(? -? )=- ?????????1分 5 3 ? tan(? -? )=- ?????????1分 4 4 又 ? tan? = 3 3 4 ? ? tan(? ? ? ) ? tan ? 7 4 3 ? tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? ? ? 3 4 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 1 ? ( ? ) ? 24 4 3

33 、 ( 福 建 省 师 大 附 中 2008 年 高 三 上 期 期 末 考 试 ) 已 知 △ ABC 的 面 积 为 3 , 且

0 ? AB? AC ? 6, 设 AB 和 AC 的夹角为? 。
(1)求 ? 的取值范围; (2)求函数 f (? ) ? (sin ? ? cos? )2 ? 2 3 cos2 ? 的最大值和最小值。 (1)设△ ABC 中角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 则

?

?

?

?

1 ? ? S ? bc sin ? ? 3,???1分 ? 0 ? cot ? ? 1???1分 2 ? ?0 ? bc cos ? ? 6,???1分 ? 又? ? [0, ? ]???1分 ?? ?[

? ?

, ]???1分 4 2

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(2) f (? ) ? 1 ? sin 2? ? 3(1 ? cos 2? ) ???1分 =2sin(2? - ) ? 1 ? 3 ????1分 3 ? ? ? ? 2? ?? ?[ , ]? 2? ? ?[ , ]????1分 4 2 3 6 3 1 ? ? ? sin(2? - ) ? 1????1分 2 3 ? 2 ? 3 ? f (? ) ? 3 ? 3 当? = 时,f (? ) min ? 2 ? 3 ????1分 4 5? 当? = 时,f (? ) max ? 3 ? 3 ????1分 12
34 、 ( 福 建 省 厦 门 市 2008 学 年 高 三 质 量 检 查 ) 已 知 向 量

?

?

B、 m ? (sin A, sin B), n ? (cosB, cos A), m ? n ? sin 2C, 且 A、 C 分别为△ABC 的三边 a、 b、c 所对的角。 (1)求角 C 的大小; (2)若 sin A, sin C, sin B成等差数列 且CA ? ( AB ? AC) ? 18,求 c 边的长。 , 解:(1) m ? n ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? sin(A ? B) …………2 分

对于 ?ABC, A ? B ? ? ? C,0 ? C ? ? ? sin( A ? B) ? sin C ,

? m ? n ? sin C.
又? m ? n ? sin 2C ,

…………3 分

? sin 2C ? sin C , cos C ?

1 ? ,C ? . 2 3

…………6 分

, (2)由 sin A, sin C, sin B成等差比数列 得2 sin C ? sin A ? sin B ,
由正弦定理得 2c ? a ? b. …………8 分

?CA ? ( AB ? AC) ? 18,?CA ? CB ? 18 ,
即 ab cosC ? 18, ab ? 36.
2 2 2 2

…………10 分

由余弦弦定理 c ? a ? b ? 2abcosC ? (a ? b) ? 3ab , …………11 分

? c 2 ? 4c 2 ? 3 ? 36, c 2 ? 36 ,
?c ? 6.
f ?x ? ? sin( x ? ? ) ( ? ? 0 ,0 ? ? ? ? )为偶函数,且其图像上相邻的一个最高点和最低点之间 ?

35 、 ( 福 建 省 仙 游 一 中 2008 届 高 三 第 二 次 高 考 模 拟 测 试 ) 已 知 函 数

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距离为 4 ? ? 2 . ⑴求 f ?x ? 的解析式; ⑵若 tan? ? cot? ? 5 ,求
2 f (2? ?

?
4

) ?1

1 ? tan ?

的值。

解:⑴设最高点为 ( x1 , 1) ,相邻的最低点为 ( x2 , ? 1) ,则|x1–x2|= ∴

T (T ? 0) 2

T2 2? ? 4 ? 4 ? ? 2 ,∴ T ? 2? ? ,∴ ?=1 ………………………(3 分) ? 4 ? ∴ f ( x) ? sin( x ? ? ) , ∵ f ( x) 是偶函数,∴ sin ? ? ?1 , ? ? k? ? (k ? Z ) .
∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ?

?
2

2

,∴ f ( x ) ? sin( x ?

?
2

) ? cos x …………… (6 分)

⑵∵ tan ? ? cot ? ? 5 ,∴ sin ? cos ? ?

2 cos(2? ? ) ? 1 2 4 ∴原式 ? ? 2sin ? cos ? ? 1 ? tan ? 5
36、(福建省漳州一中 2008 年上期期末考试)已知 A、B 是△ ABC 的两个内角,向量

?

1 ………………………………(8 分) 5

? A? B A? B 6 ? a ? 2 cos ( , sin ) ,若 | a |? . 2 2 2
(Ⅰ)试问 tan A ? tan B 是否为定值?若为定值,请求出;否则请说明理由; (Ⅱ)求 tan C 的最大值,并判断此时三角形的形状. 解:(Ⅰ)由条件

3 6 ? ? ( )2 ?| a |2 ………………………………………………(2 分) 2 2

A? B A? B 1 ? cos( A ? B) ? sin 2 ? 1 ? cos( A ? B) ? 2 2 2 1 ∴ cos( A ? B ) ? cos( A ? B ) ………………………………………………………(4 分) 2 1 ∴ 3sin A sin B ? cos A cos B ∴ tan A ? tan B ? 为定值.………………………(6 分) 3 tan A ? tan B (Ⅱ) tan C ? ? tan( A ? B) ? ? ………………………………………(7 分) 1 ? tan A tan B 1 由(Ⅰ)知 tan A ? tan B ? ,∴ tan A, tan B ? 0 ………………………………(8 分) 3 3 3 从而 tan C ? ? (tan A ? tan B ) ≤ ? ? 2 ? tan A tan B ? ? 3 ………………(10 分) 2 2 ? 2 cos 2
∴取等号条件是 tan A ? tan B ? ∴此时Δ ABC 为等腰钝角三角形 37 、 ( 甘 肃 省 河 西 五 市

? 3 , 即A?B? 取得最大值, 6 3
2008 年 高 三 第 一 次 联 考 ) 已 知 函 数

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f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? 2 cos 2 x. .

(I)求 f (x) 的最小正周期及最大值; (II)求使 f (x) ≥2 的 x 的取值范围 解:(I)? f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? 2 cos 2 x

? sin 2 x cos

?
6

? cos 2 x sin

?
6

? sin 2 x cos

?
6

? cos 2 x sin

?
6

? 2 cos 2 x ? 1 ……2 分

? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 1 ………………4 分

? f ( x) max ? 2 ? 1 ? 3 2? 2? T? ? ? ? …………………………6 分 |? | 2 ? (II)由 f ( x) ? 2 得 2sin(2 x ? ) ? 1 ? 2 6 ? 1 ? ? 5 ? sin( 2 x ? ) ? ? 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ? 6 2 6 6 6 ? ? k? ? x ? k? ? (k ? Z ) 3 ? ? f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是 {x | k? ? x ? k? ? , k ? Z } 3
38、(甘肃省兰州一中 2008 届高三上期期末考试)在△ABC 中,已知 BC ? 5 3 ,外接圆半 径为 5. (Ⅰ)求∠A 的大小; (Ⅱ)若 AB ? AC ?

11 ,求 ?ABC 的周长. 2

解:(Ⅰ)由正弦定理, (Ⅱ)∵ AB ? AC ?

5 3 3 ? 2 ? 5,? sin A ? , ?A ? 60?或120? ……4 分 sin A 2
11 11 ,? ?A ? 60?, bc cos 60? ? , bc ? 11 2 2
…………6 分

由余弦定理, 75 ? b 2 ? c 2 ? bc ? (b ? c) 2 ? 3bc,? (b ? c) 2 ? 108 ……8 分

a ? b ? c ? 6 3 ? 5 3 ? 11 3
39、(广东省 2008 届六校第二次联考)已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,

2 5 . 5 (Ⅰ)求 cos(? ? ? ) 的值; ? ? 5 (Ⅱ)若 0 ? ? ? , ? ? ? ? 0 , 且 sin ? ? ? , 求 sin ? . 2 2 13 a ?b ?
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解:(Ⅰ)? a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,

?a ? b ? ? cos? ? cos ?, ? ? sin ? ? . sin
? a ?b ?


2 5 , 5

?

? cos ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? sin ? ?
2

2

?

2 5 , 5

2 ? 2 cos ?? ? ? ? ?

? ? ? 0, ? 0 ? ? ? ? ? ? , 2 2 3 4 ? cos ?? ? ? ? ? , ? sin ?? ? ? ? ? . 5 5 5 12 ? sin ? ? ? , ? cos ? ? , 13 13 ? sin ? ? sin ??? ? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ? ? ? , ?

(Ⅱ)? 0 ? ? ?

?

?

4 , 5

? cos ?? ? ? ? ?

3 . 5

4 12 3 ? 5 ? 33 . ? ? ? ?? ? ? ? 5 13 5 ? 13 ? 65
40、 (广东省佛山市 2008 年高三教学质量检测一) 如图 A 、 B 是单位圆 O 上的点, C 是圆与 x 轴正半轴的交点, A 点的坐 标为 ( , ) ,三角形 AOB 为正三角形. (Ⅰ)求 sin ?COA ; (Ⅱ)求 | BC |2 的值. 解:(Ⅰ)因为 A 点的坐标为 ( , ) ,根据三角函数定义可知 x ?

y
B O

A

错误!未找到引用源。

3 4 5 5

C

x

3 4 5 5

3 , 5

y?

4 , 5

r ?1
所以 sin ?COA ?

……2 分

y 4 ? r 5

……4 分

( Ⅱ ) 因 为 三 角 形 AOB 为 正 三 角 形 , 所 以 ?AOB ? 60? , sin ?COA ?

4 , 5

cos ?COA ?

3 , 5

……5 分

所以 cos ?COB ? cos(?COB ? 60? ) ? cos ?COB cos60? ? sin ?COB sin 60?
? 3 1 4 3 3?4 3 ? ? ? ? 5 2 5 2 10

……8 分

所以 | BC |2 ?| OC |2 ? | OB |2 ?2 | OC || OB | cos ?BOC

3?4 3 7 ? 4 3 ? 10 5 41、(广东省惠州市 2008 届高三第三次调研考试)在△ ABC 中,已知角 A 为锐角,且 ?1?1? 2?

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f ( A) ?

[cos(? ? 2 A) ? 1] sin(? ?

A ? A ) sin( ? ) 2 2 2 ? cos2 A . ? A A sin 2 ( ? ) ? sin 2 (? ? ) 2 2 2

(I)求 f (A)的最大值;

7? , f ( A) ? 1, BC ? 2 ,求△ABC 的三个内角和 AC 边的长. 12 A A A A (cos2 A ? 1) sin cos 2 cos2 A sin cos 2 2 ? cos2 A ? 2 2 ? cos2 A 解:(I) f ( A) ? A A cos A cos2 ? sin 2 2 2
(II)若 A ? B ?

?
……3 分 ∵

1 1 2 ? 1 sin 2 A ? cos2 A ? (sin 2 A ? cos 2 A ? 1) ? sin(2 A ? ) ? . … … 2 2 2 4 2
角 A 为 锐 角 ,

?0 ? A ?

? ?
2 4 ,

? 2A ?

?
4 ?

?

5? . …………………………………4 分 4 时, f ( A) 取值最大值, 其最大值为

? 当2 A ?
6分

?
4

?
2

2 ?1 . …………………… 2

(II)由 f ( A) ? 1得

2 ? 1 ? 2 sin(2 A ? ) ? ? 1,? sin(2 A ? ) ? . ………………8 分 2 4 2 4 2

? 2A ?


?
4

?

3? ? 7? ? 5? , A ? .又 ? A ? B ? ,? B ? . ? C ? . ………………10 4 4 12 3 12 BC AC BC sin B ? . ? AC ? ? ? ? 6. sin A sin B sin A
?

在△ABC 中,由正弦定理得:

42、(广东省揭阳市 2008 年高中毕业班高考调研测试)如图某河段的两岸可视为平行, 为了测量该河段的宽度, 在河段的一岸边选取两点 A、 观察对岸的点 C,测得 ?CAB ? 75 , B,

?CBA ? 45? ,且 AB ? 100 米。
(1)求 sin 75 ; (2)求该河段的宽度。
? ? ? ? ? ? ? 解:(1) sin 75 ? sin(30 ? 45 ) ? sin 30 cos 45 ? cos30 sin 45 ?

1 2 3 2 6? 2 ------------------------4 分 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 4
(2)∵ ?CAB ? 75 , ?CBA ? 45
?

C

?

D

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A

B

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∴ ?ACB ? 180? ? ?CAB ? ?CBA ? 60? , 由正弦定理得:

AB BC ? sin ?ACB sin ?CAB

∴ BC ?

AB sin 75? ------------6 分 sin 60?
BD , ------------8 分 BC

如图过点 B 作 BD 垂直于对岸,垂足为 D,则 BD 的长就是该河段的宽度。 在 Rt ?BDC 中,∵ ?BCD ? ?CBA ? 45? , sin ?BCD ?

AB sin 75? ? ? sin 45? ? ∴ BD ? BC sin 45 = sin 60?

100 ?

6? 2 2 4 ? 2 3 2

?

25(6 ? 2 3) (米) 3

∴该河段的宽度

25(6 ? 2 3) 米。 3

43、(广东省揭阳市 2008 年第一次模拟考试)已知:向量 a ? ( 3, ?1) ,

?

? ? ? b ? (sin 2x, cos 2 x) ,函数 f ( x) ? a ? b
(1)若 f ( x) ? 0 且 0 ? x ? ? ,求 x 的值;

(2)求函数 f ( x) 的单调增区间以及函数取得最大值时,向量 a 与 b 的夹角. 解:∵ f ( x) ? a ? b = 3 sin 2 x ? cos 2 x -----------------2 分 (1)由 f ( x) ? 0 得 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 0 即 tan 2 x ? ∵0 ? x ??, ∴x?

?

?

? ?

3 3
, 或 2x ? 7? , 6

? 0 ? 2 x ? 2?

∴ 2x ?

?
6

?
12



7? -------------------------------------------------4 分 12

(2)∵ f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2( = 2(sin 2 x cos

3 1 sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

?

? cos 2 x sin ) 6 6

?

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由 2 k? ? ∴

?
2

? 2sin(2 x ? ) ----------------------------------8 分 6 ? 2x ?
f ( x)

?

?

6

? 2 k? ?


?

2

, k ? Z 得 k? ?


?

6

? x ? k? ?

?

3

,k ?Z
区 间





[ k? ?

, k? ? ], k ? Z .---------------------------------10 分 6 3 ? ? ? ? ? ? 由上可得 f ( x)max ? 2 ,当 f ( x) ? 2 时,由 a ? b ?| a | ? | b | cos ? a, b ?? 2 得
∴ ? a, b ?? 0

?

?

? ? ? ? ? ? a ?b cos ? a, b ?? ? ? ? 1,? 0 ?? a, b ?? ? | a |?| b |

? ?

44、(广东省汕头市潮阳一中 2008 年高三模拟)已知△ABC 的面积 S 满足 3≤S≤3 3 且

AB ? BC ? 6, AB与BC 的夹角为 ? ,
(Ⅰ)求 ? 的取值范围; (Ⅱ)求 f (? ) ? sin 2 ? ? 2 sin ? cos x ? 3 cos2 ? 的最小值。 解(Ⅰ)由题意知 AB ? BC ?| AB | ? | BC | cos? ? 6

?| AB | ? | BC |?

6 cos ?

S?

1 1 1 6 | AB | ? | BC | sin(? ? ? ) ? | AB | ? | BC | sin ? ? ? ? sin ? ? 3 tan ? 2 2 2 cos ?
……………………3 分

?3 ? S ? 3 3 ? 3 ? 3 tan? ? 3 3即 ? tan? ? 3 ……………………4 分 1
??是AB与BC 的夹角
?? ? [0, ? ]

?? ? [ , ] ……………………6 分 4 3
(Ⅱ) f (? ) ? sin
2

? ?

? ? 2 sin ? cos? ? 2 cos2 ? ? 1 ? sin 2? ? 2 cos2 ? ?
?
4 ) ……………………9 分

2 ? 2 sin 2? ? cos 2? ? 2 ? 2 (2? ? ?? ? [ , ] 4 3

? ?

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3? 11? , ] 4 4 12 ? 11? ? ? 当2? ? ? 即当 ? ? 时f (? ) 有最小值。 4 12 3 ? 2a ? ?[
f (? ) 的最小值是

?

3? 3 ……………………12 分 2

45 、 ( 广 东 省 汕 头 市 澄 海 区 2008 年 第 一 学 期 期 末 考 试 ) 已 知 函 数 f(x)=4sin (
2

? ? ? +x)-2 3 cos2x-1( ? x ? ) 4 4 2

(1)求 f (x) 的最大值及最小值; (2)若不等式|f(x)-m|<2 恒成立, 求实数 m 的取值范围 解:(1)∵ f ( x) ? 2[1 ? cos(

?
2

? 2 x)] ? 2 3 cos 2 x ? 1 ? 2 sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 1
(3 分)

? 4 sin( 2 x ?
又∵ 即

?
3

) ?1 ?

?
4

?x?

?
2

?
6

? 2x ?

?
3

?

3 ? 4 sin( 2 x ?

?
3

2? 3

(5 分)

) ?1 ? 5
(7 分)

∴ymax=5, ymin=3 (2)∵ | f ( x) ? m |? 2 ∴?

? m ? 2 ? f ( x) ? m ? 2
(11 分) (12 分)

(9 分)

?m ? 2 ? 3 ?m ? 2 ? 5

解得 3 ? m ? 5

即所求的 m 的取值范围是(3, 5) 46 、 ( 广 东 省 韶 关 市 2008

届 高 三 第 一 次 调 研 考 试 ) 已 知

3x x 3x x c , f ( x) ? c o s c o s? s i n s i n? 2 s i x n ox s 2 2 2 2
(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ) 当 x ? ?

?? ? , ? ,求函数 f (x) 的零点. ?2 ? ?

解:(Ⅰ) f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x = 2 cos( 2 x ?

?
4

) …………………….4 分

故 T ? ? …………………………………………………5 分 (Ⅱ)令 f ( x) ? 0 , 2 cos(

?

?? ? ? 2 x ) =0,又? x ? ? , ? ? 4 ?2 ?

…… ………….7 分

?

5? ? 9? ? 3? ? ? 2x ? ? ? 2x ? …………………………………………9 分 4 4 4 4 2

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故x ?

5? 8

函数 f (x) 的零点是 x ?

5? 8

……………. 12 分

47 、 ( 广 东 省 深 圳 市 2008 年 高 三 年 级 第 一 次 调 研 考 试 ) 已 知 向 量

? a ? ( 1? s i n 2 x

? ? ? , xs?i n ,c o s sin x ? cos x) ,函数 f ( x) ? a ? b . x b ? (1, )

(Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及相应的 x 的值; (Ⅱ)若 f (? ) ?

8 ?π ? ,求 cos 2 ? ? 2? ? 的值. 5 ?4 ?
?

解: (Ⅰ)因为 a ? (1 ? sin 2x , sin x ? cos x) , b ? (1, sin x ? cos x) ,所以

?

f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos2 x
π? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 . 4? ?
因此,当 2 x ?

π π 3 ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? π ( k ? Z )时, f ( x) 取得最大值 2 ? 1 ; 4 2 8 8 3 (Ⅱ)由 f (? ) ? 1 ? sin 2? ? cos 2? 及 f (? ) ? 得 sin 2? ? cos2? ? ,两边平方得 5 5 9 16 1 ? sin 4? ? ,即 sin 4? ? . 25 25

16 ?π ? ?π ? 因此, cos 2 ? ? 2? ? ? cos ? ? 4? ? ? sin 4? ? . 25 ?4 ? ?2 ?
48、(广东省深圳外国语学校 2008 届第三次质检)在△ABC 中,角 A、B、C 所对边分别 为 a,b,c,已知 tan A ? , tan B ? ,且最长边的边长为 l.求: (I)角 C 的大小; (II)△ABC 最短边的长.

1 2

1 3

1 1 ? tan A ? tan B ? ? 2 3 ? ?1 解:(I)tanC=tan[π -(A+B)]=-tan(A+B) ? ? 1 1 1 ? tan A tan B 1? ? 2 3
∵0 ? C ? ? , ∴C ?

3? 4

……………………5 分

(II)∵0<tanB<tanA,∴A、B 均为锐角, 则 B<A,又 C 为钝角, ∴最短边为 b ,最长边长为 c……………………7 分 由 tan B ?

1 10 ,解得 sin B ? ……………………9 分 10 3

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10 10 ? 5 ………………12 分 5 2 2 49、 (广东实验中学 2008 届高三第三次段考)已知函数 f(x)=·其中=(sinω x+cosω x, 3 , π cosω x),=cosω x-sinω x,2sinω x)(ω >0), f(x)相邻的对称轴之间的距离不小于 . 若 2

b c 由 ? sin B sin C

c ? sin B ,∴ b ? ? sin C

1?

(1)求ω 的取值范围; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,a= 3,b+c=3,当ω 最大时,f(A)=1,求△ ABC 的面积.

?1 解 、?f ?x ? ? cos2?x ? sin 2?x ? 2 3cos?xsin?x ? ? ? ?1'
?? ? ? cos2?x ? 3sin2?x ? ? ? ?1' ? 2sin? 2x ? ? ? ? ? ?1' 6? ?
依 题 意 : ? ? 0 ? ? ? 1 ? ? ? ?2' 2? 2 ?2?? ? max ? 1? sin ? 2A ? ? ? ? 1 ? ? ? ?1' 又 ? ? 2A ? ? ? 13? ? ? ? 1' ? ? 6? 2 6 6 6 ? ? 5? ? ? 2A ? ? ? A ? ? ? ? ?1'由 余 弦 定 理 得2 ? c 2 ? bc ? 3 - - - 1'结 合b ? c ? 3 b 6 6 3 1 得bc ? 2 - - - -1'? S ?ABC ? bcsinA ? 0.5 ? ? ? ?2' 2
50 、 ( 广 东 省 四 校 联 合 体 第 一 次 联 考 ) 设 函 数 f ( x) ? a ? b , 其 中 向 量

?

?

? ?

? ? a ? ( 2 c oxs , b? ) , 1

x c o s , x 3 xs i n 2 ) , ( ? R
? ? ?? , , 求x; ? 3 3? ?
?

(1)若函数 f ( x) ? 1 ? 3, 且x ? ? ?

(2)若函数 y ? 2sin 2 x 的图象按向量 c ? (m, n)( m ? 求实数 m 及 n 的值。

?
3

) 平移后得到函数 y ? f ( x) 的图象,

2 解:(1) a ? b ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

?1 ? 2 sin(2 x ? ? x ? [? ? 2x ?

?
6

) ? 1? 3 ? 2x ?

即 sin(2 x ? ? [?

?
6

)?? 3

? ?

, ] 3 3 ??

?
6

? 5?

, ] 3 6

?
6

?
3

得x ? ?

?
4

(2) y ? 2sin 2 x 的图象按向量 c ? (m, n) 平移后得到 y ? 2 sin(2 x ? 2m) ? n 的图象

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?m ? ?

?
12

n ?1

51 、 在 △ ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c. 已 知 a+b=5 , c =

7 ,且

4 si n2

A? B 7 ? cos2C ? . 2 2

(1) 求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积. 解:(1) ∵A+B+C=180°

A? B 7 C 7 …………1 分 ? cos 2C ? 得4 cos 2 ? cos 2C ? 2 2 2 2 1 ? cos C 7 ∴4? ………………3 分 ? (2 cos 2 C ? 1) ? 2 2
由 4 sin 2
2 整理,得 4 cos C ? 4 cosC ? 1 ? 0

…………4 分

解 得: cos C ?

1 2

……5 分

∵ 0? ? C ? 180 ? ∴C=60° ………………6 分 2 2 2 2 2 (2)解:由余弦定理得:c =a +b -2abcosC,即 7=a +b -ab …………7 分 ∴ 7 ? (a ? b) 2 ? 3ab ………………8 分

由条件 a+b=5 得 7=25-3ab …… 9 分 ab=6 ……10 分 ∴ S ?ABC ?

1 1 3 3 3 ab sin C ? ? 6 ? ? 2 2 2 2

…………12 分

52、 (贵州省贵阳六中、 遵义四中 2008 年高三联考)已知函数 f(x)=2sinxcosx+cos2x. (Ⅰ)求 f (

? 1 )= ,求 cos2 ? 的值. 5 2 ? ? ? 解:(Ⅰ)∵f(x)=sin2x+cos2x,∴f( )=sin +cos =1………5 分 4 2 2 ? 1 1 24 (Ⅱ)∵f( )=sinα +cosα = ,∴1+sin2α = , sin2α = ? ,……7 分 25 25 5 2
(Ⅱ)设 ? ∈(0,
3 4

? )的值; 4

? ),f

(

∴cos2α = ?

3 3 7 ∵α ∈(0, π )∴2α ∈(π , π ) ∴cos2α <0. 4 2 25
7 ……10 分 25

故 cos2α = ?

53 、 ( 安 徽 省 合 肥 市

2008

年 高 三 年 级 第 一 次 质 检 ) 已 知 函 数

f ( x) ?

2 2 oxs c ?

2

3 s i?n x x

cx s R 1 ( ?o

)

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(1)求函数 f ( x) 的周期、对称轴方程;(2)求函数 f ( x) 单调增区间。
2 解: f ( x) ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?

?
6

)

3分 6分

(1) f ( x) 的周期 T ? ? ,函数 f ( x) 对称轴方程为 x ? (2)由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k ? ?

?
2

( k ? Z ) 得 k? ?

?
3

k? ? ? (k ? Z ) ; 2 6 ? x ? k? ?

?

∴求函数 f ( x) 单调增区间为 [ k? ?

?
3

, k? ?

?
6

6

(k ? Z )

](k ? Z ) 。

8 8 ? 4 ,? 2 cos x ? 2 sin x ? ,即 cos( x ? ) ? …………2 分 5 5 4 5 ? ? ? ? ? 3 ? 3 ∵ ? x ? ,? 0 ? x ? ? , sin( x ? ) ? , tan( x ? ) ? ……4 分 4 2 4 4 4 5 4 4 ? ? 4 tan( x ? ) ? ? cot( x ? ) ? ? 4 4 3 ? ? 7 sin 2 x ? cos( 2 x ? ) ? 2 cos 2 ( x ? ) ? 1 ? …………6 分 2 4 25 sin 2 x(1 ? tan x) ? 7 4 28 ? sin 2 x ? tan( x ? ) ? ? (? ) ? ? . …………10 分 ∴ 1 ? tan x 4 25 3 75
解:? a ? b ?
? ?

54、(河北衡水中学 2008 年第四次调考)已知向量=(cosx,sinx),=( 2, 2),若·= 8 π π sin 2 x(1 ? tan x) ,且 <x< , 求 的值. 5 4 2 1 ? tan x

55、(河北省正定中学高 2008 届一模)已知△ABC 中,AB=4,AC=2, S?ABC ? 2 3 .(1)求 △ABC 外接圆面积. (2)求 cos(2B+

? )的值. 3
1 1 3 AB ? AC sin A ? ? 4 ? 2sin A ? 2 3,sin A ? , 2 2 2

解:依题意, S? ABC ? 所以 A ?

?
3

或A?

(1)当 A ?

?
3

2? ;………………………………………………………………..(1 分) 3

时,BC=2 3 ,△ABC 是直角三角形,其外接圆半径为 2,

2 面积为 2 ? ? 4? ;……………………………………………………………………. (3 分)

当A?

2? 2? 2 2 2 ? 16 ? 4 ? 8 ? 28 , 时,由余弦定理得 BC ? AB ? AC ? 2 AB?AC cos 3 3

BC=2 7 ,△ABC 外接圆半径为 R= 面积为

BC 2 21 , ? 2sin A 3

28? ;……………………………………………………………………………….(5 分) 3

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(2)由(1)知 A ? 当A? 当A?

?
3

或A?

?
3

2? , 3

时, △ABC 是直角三角形,∴ B ?

?
6

, cos(2B+

? 2? 1 ? ? ;………..7 分 )=cos 3 3 2

2? 2 7 2 21 时,由正弦定理得, , ? ,? sin B ? 3 14 3 sin B 2

cos(2B+

? ? ? )=cos2Bcos -sin2Bsin 3 3 3

2 ? 21 1 21 5 7 3 1 ? ? (1 ? 142 ) ? 2 ? 2 ? 14 ? 14 ? 2 ? ? 7 2 =(1-2sin B)cos -2sinBcosBsin = (10 分) 3 3
56 、 已 知 角 A, B, C 为 ?ABC 的 三 个 内 角 , 其 对 边 分 别 为 a, b, c , 若

A A A A 1 m ? (? c o s , s i n ) , n ? (cos , sin ) , a ? 2 3 ,且 m ? n ? . 2 2 2 2 2
(1)若 ?ABC 的面积 S ? (2)求 b ? c 的取值范围.

3 ,求 b ? c 的值.

A A A A 1 , sin ) , n ? (cos , sin ) ,且 m ? n ? . 2 2 2 2 2 A A 1 1 2? ? ? cos 2 ? sin 2 ? ,即 ? cos A ? ,又 A ? (0, ? ) ,? A ? ………..2 分 2 2 2 2 3 1 又由 S ?ABC ? bc ? sin A ? 3 ,? bc ? 4 2 2? 2 2 2 ? b 2 ? c 2 ? bc 由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc ? cos 3
解:(1) m ? (? cos

?16 ? (b ? c) 2 ,故 b ? c ? 4 ………………………………………………….
(2)由正弦定理得:

5分

b c a 2 3 ? ? ? ? ? 4 ,又 B ? C ? ? ? A ? , 2? 3 sin B sin C sin A sin 3

? b ? c ? 4 sin B ? 4 sin C ? 4 sin B ? 4 sin(
?0 ? B ?

?
3

? B) ? 4 sin( B ?

?
3

) ………………8 分

?
3

,则

?
3

? B?

?
3

?

2? 3 ? .则 ? sin(B ? ) ? 1 ,即 b ? c 的取值范围是 3 2 3

(2 3,4]. …10 分
57、(河北省正定中学 2008 年高三第五次月考)已知 A、B、C 的坐标分别为 A(4,0) ,B (0,4) ,C( 3 cos? ,3 sin ? ).

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(Ⅰ)若 ? ? (?? ,0) ,且 AC ? BC ,求角 ? 的大小; (Ⅱ)若 AC ? BC ,求

2 sin 2 ? ? sin 2? 的值。 1 ? tan?
9 cos 2 ? ? (3 sin ? ? 4) 2
因 …… …5 分 为

2 2 解、 (Ⅰ)由已知得: (3 cos ? ? 4) ? 9 sin ? ?



sin ? ? cos ?

? ? (?? ,0)

?? ? ?

(Ⅱ)由 (3 cos? ? 4) ? 3 cos? ? 3 sin ? ? (3 sin ? ? 4) ? 0 得

3? 4

3 s ? ? ic ? ?o n 4 7 16

s







sin 2? ? ?
而 分

………..8 分

2 sin 2 ? ? sin 2? 2 sin 2 ? cos? ? 2 sin ? cos2 ? 7 ? ? 2 sin ? cos? ? sin 2? ? ? ---10 1 ? tan? sin ? ? cos? 16
58 、 ( 河 南 省 开 封 市 2008 届 高 三 年 级 第 一 次 质 量 检 ) 设 函 数

f ( x) ? a ? b, 其中向量a ? (2 cos x,1),b ? (cosx, 3 sin 2x), x ? R
(1)若 f ( x) ? 1 ? 3 , 且x ? [ ?

? ?

, ]求x; 3 3

(2)若函数 y ? 2 sin 2 x的图象按向量 c ? (m, n)(| m |? 的图象,求实数 m,n 的值。 解:(1) f ( x) ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x

?
2

) 平移后得到函数 y ? f (x)

? 1 ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 1? 3

? sin(2 x ?
?? ??

?
6

)??

3 2

?
?
3 2

?x?

?
3

? 2x ?

?

? 2x ?

?
6

??

?

6 3

?

5? 6

即x ? ?

?
4

(2)函数 y ? 2 sin 2x的图明按向量 ? (m, n) 平移后得 y ? 2 sin 2( x ? m) ? n c 而 f ( x ) ? 2 sin 2( x ?

?
12

) ?1

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?| m |? ?m ? ?

?
2 ,n ?1

?
12

59、(河南省濮阳市 2008 年高三摸底考试)在锐角△ABC 中,已知内角 A、B、C 所对的边分 别为 a、b、c,且 (tanA-tanB)=1+tanA·tanB. (1)若 a -ab=c -b ,求 A、B、C 的大小; (2)已知向量 m=(sinA,cosA),n=(cosB,sinB),求|3m-2n|的取值范围.
2 2 2

60 、 ( 河 南 省 上 蔡 一 中

2008

届 高 三 月 考 ) 已 知

? ? a ? 2 ( ? o s ? x c bo s ? c x ,?
直线 x ?

? ? ) x , (其中 0 x ? ?s1 ),函数 3 ? x ? ?i a ?n ,若 ) ? ( c? o , f s b

?
3

是函数 f(x)图象的一条对称轴,

(1)试求 ? 的值; (2)先列表再作出函数 f ( x) 在区间

y
3

? ?? ,? ? 上的图象.

2

1

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错 错 错 误 误! 误! ! 未 未

O -1

错 误 !

错 误 !

错 x 误 !

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解: f ( x) ? a ? b ? 2 ? cos ? x, cos ? x ? ? cos ? x, 3 sin ? x ? 2cos ? x ? 2 3 cos ? x sin ? x
2

? ?

?

?

? 1 ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? 1 ? 2sin(2? x ? ) ………………(4 分) 6 ? 2?? ? 2?? ? ? ? ) ? ?1 ,? ? ? k? ? ( k ? Z ) (1)? 直线 x ? 为对称轴,? sin( 3 3 6 3 6 2 3 1 ?? ? k ? , 2 2 1 1 1 ? 0 ? ? ? 1?? ? k ? ? k ? 0 ? ? ? ……(6 分) 3 3 2
(2) f ( x) ? 1 ? 2sin( x ?

?

?

6

) ?

x?

?
6

5 ? ? 6

?
?

x
y

??
0

2 2 ? ? 3
-1

0

?
6
1

? 2 ? 3
3

?
5 ? 6
1

7 ? 6

?
0

………………(9 分) 函数 f(x)在 [ ?? , ? ] 的图象如图所示。

……(12 分) 61、(河南省许昌市 2008 年上期末质量评估)已知向量 a =(sinθ ,1), b =(1,cosθ ),
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?

?

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π <θ < . 2 (Ⅰ)若 a ⊥ b ,求θ ; (Ⅱ)求| a + b |的最大值.

?

?

?

?

62 、 ( 黑 龙 江 省 哈 尔 滨 九 中 2008 年 第 三 次 模 拟 考 试 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 2 cos 2 x ? a sin x cos x, f ( ) ? 0 6
(1)求函数 f (x) 的最小正周期及单调增区间; (2)若函数 f (x) 的图象按向量 m ? ( 解析式.
2 解:(1)? f ( x) ? 2 cos x ? a sin x cos x

?

?
6

,?1) 平移后得到函数 g (x) 的图象,求 g (x) 的

? 2(cos

?
6

) 2 ? a sin

?
6

cos

?
6

f( )?0 6

?

? 0 ? a ? ?2 3

? f ( x) ? 2 cos2 x ? (?2 3 ) sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 5 ? 2 sin(2 x ? x) ? 1 6 2x ?T ? ?? 2 ? 5 ? 2k? ? ? 2 x ? ? ? 2kx ? 2 6 2 ? kx ? k?Z 3 6 ? f ( x)的最小正周期为 ?
单调增区间为 [ k? ?

?

? x ? k? ?

?

?
3

k? ?

?
6

] k?Z

…………6 分

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(2) y ? 1 ? 2 sin[ 2( x ?

?
6

)?

y ? 2 sin( 2 x ?

?
2

5 x] ? 1 6

) ? 2 cos 2 x

? g ( x)的解析式为 ( x) ? 2 cos2x …………10 分 g
63、(黑龙江省哈尔滨三中 2008 年高三上期末)△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, 若 m ? (1, sin
2

B? C 7 ) , n ? (cos 2 A ? ,?4), m ? n 。 2 2

(1)求角 A 的度数; (2)若 a ? 答案:(1)A=

3, ?ABC的面积S ?ABC ?

3 , 求b和B. 2

? 3

(2)b=1 或 b=2,B=

? 2
2008 届 高 三 上 期 末 ) 设 向 量

64 、 ( 黑 龙 江 省 哈 师 大 附 中

a ? (1 ? cos? , sin ? ),b ? (1 ? cos? , sin ? ), c ? (1,0),? ? (0, ? ), ? ? (? ,2? ) ,
a与c的夹角为 ?1 , b与c的夹角为 ? 2 , 且?1 ? ? 2 ?
解: a ? 2 cos

?
3

, 求 sin , sin

? ??
2 )

的值。

?
2

(cos

?
2

, sin

?
2

) b ? 2 sin

?
2

(cos ,

? ??
2

? ??
2

2 ? 65 、 ( 湖 北 省 三 校 联 合 体 高 2008 届 2 月 测 试 ) 已 知 向 量 a ? (2cos x, tan( x ? ? )),

c ? (1,0), ?1 ?

?
2

,? 2 ?

? ??
2

,?1 ? ? 2 ?

? ? ??
3 2

??

?
6

,? sin

? ??

??

1 2

? b ? ( 2 sin( x ? ? ), tan( x ? ? )), ? ? P(?t , ?t )(t ? 0) ,记 f ( x) ? a ? b 。

已 知 角 ? (? ? (?

? ?

, )) 的 终 边 上 一 点 2 2

⑴求函数 f ?x ? 的最大值,最小正周期; ⑵作出函数 f ?x ? 在区间[0,π ]上的图象。

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解:⑴角 ? (? ? (?

? ?

, )) 的终边上一点 P(?t , ?t )(t ? 0) 2 2

? tan ? ? 1 ? ? ?

?

? f ( x) ? a ? b ? 2
? ?

4

……………2 分

2 cos x sin( x ? ) ? tan( x ? )( x ? ) 4 4 4

?

?

?

? 2 cos x sin x ? 2 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) ……………6 分 4

?

f ?x ? 的最大值为 2 ,
⑵略。……………12 分

最小正周期 T ? ?

……………8 分

x x 66、(湖北省鄂州市 2008 年高考模拟)设函数 f(x)=a·b,其中向量 a=(cos ,sin ), 2 2 (x∈R),向量 b=(cos?,sin?) (Ⅰ)求 ? 的值; x (Ⅱ)若函数 y=1+sin 的图象按向量 c=(m,n) (| m |<?)平移可得到函数 2

y=f(x)的图象,求向量 c.
x x x π 解:(Ⅰ)f(x)=a?b=cos cos?+sin sin?=cos( -?),∵f(x)的图象关于 x= 2 2 2 6 对称, ∴ f ( ) ? cos(

?

?

6

∴? ?

?

12

? ? ) ? cos(? ?
π 2

?
12

) ? ?1 ,………………………3 分
π 12 ………………………5 分

12

? k? , k ? Z ,又|?|< ,∴?= .

x π x 5π 1 5π (Ⅱ)f(x) =cos( - )=sin( + ) =sin (x+ ), 2 12 2 12 2 6 x 1 5π 5π 由 y=1+ sin 平移到 y =sin (x+ ),只需向左平移 单位,再向下平移 1 个单 2 2 6 6 位, 考虑到函数的周期为 ? ,且=(m,n) (| m |<π ),………………………8 分 5? 5π , n ? ?1 ,即=(- ,-1) .………………………10 分 ∴m ? ? 6 6 x π x 5π 1 5π 另解:f(x) =cos( - )=sin( + ) =sin (x+ ), 2 12 2 12 2 6
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5? 5? ? ? ? x ? x '? x ? ? x 1 5? ? x '? ) ,只要 ? 由 y ? 1 ? sin 平移到 y ' ? sin ( x '? 即? 6 6 , 2 2 6 ? y ' ? y ?1 ? y '? y ? ?1 ? ?
5π ∴=(- ,-1) .………………………10 分 6 【总结点评】 本题是一道三角函数与平面向量相结合的综合问题, 既考查了三角函数的变形 以及三角函数的图象与性质,又考查了运用平面向量进行图象平移的知识. 67、(湖北省黄冈市麻城博达学校 2008 届三月综合测试)已知锐角三角形△ABC 中,角 A、 B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c , tan B ? (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)求 sin( B ? 10? )[1 ? 3 tan( B ?10? )] 的值。 答案:(1)60°;(2)-1 68、(湖北省黄冈中学 2008 届高三第一次模拟考试)已知 A、B、C 为 ?ABC 的三个内角,向 量a ? (
65 A? B A? B 3 sin , cos ) ,且 | a |? 5. 5 2 2 5

3ac 。 a ? c2 ? b2
2

(1)求 tan Atan B 的值; (2)求 C 的最大值,并判断此时 ?ABC 的形状. 解:(1)∵ | a |? 即
13 5
3 13 A? B A? B 9 5, ? sin 2 ? cos 2 ? ,……2 分 5 5 2 2 5

1 ? cos( A ? B) 1 ? cos( A ? B) 9 ? ? 2 2 5

即 13cos( A ? B) ? 5cos( A ? B), ? 4cos A cos B ? 9sin A sin B ……4 分 由于 cos Acos B ? 0 ,故 tan A tan B ? ……6 分 (2)由 tan A tan B ? ? 0知 tan A, tan B ? 0, tan A ? tan B ≥ 2 tan A tan B ? ……8 分
tan C ? ? tan[? ? ( A ? B)] ? ? tan( A ? B) ? ? ≤? 9 12 tan Ag tan B ? ? 5 5 12 . 5 tan A ? tan B 9 ? ? (tan A ? tan B) ……10 分 1 ? tan A tan B 5 4 9 4 3 4 9

当且仅当 tanA=tanB,即 A=B 时,tanC 取得最大值 ? 所以 C 的最大值为 ? ? arctan

12 ,此时 ?ABC 为等腰三角形. ……12 分 5

69 、 ( 湖 北 省 黄 冈 市

2007 年 秋 季 高 三 年 级 期 末 考 试 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 4sin 2 ( x ? ) ? 4 3 sin 2 x ? (1 ? 2 3) ,且 x 满足 ? x ? ,求 f ( x) 的最大值和 4 2 4
最小值。

?

?

?

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2 解: f ( x) ? 4 3 sin ( x ?

?
4

) ? 4 3 sin 2 x ? (1 ? 2 3)

? 2[1 ? cos(2 x ? )] ? 2 3 cos 2 x ? 1 ? 4sin(2 x ? ) ? 1 2 3
?

?

?

(6 分)

?

4

?x?

?

,? 3 ? 4sin(2 x ? ) ? 1 ? 5 2 3

?

2 故函数 f ( x) ? 4 3 sin ( x ?

?

4

) ? 4 3 sin 2 x ? (1 ? 2 3) 的最大值为 5,最小值 3. (12 分)

70、(湖北省荆门市 2008 届上期末)已知向量 a ? (cos 且x??

?

3x 3x ? x x ,sin ) , b ? (cos , ? sin ) , 2 2 2 2

? ? 3? ? , ?2 2 ? ? ? ? (1)求 | a ? b | 的取值范围; ? ? ? ? (2)若 f ( x) ? a ? b? | a ? b | ,试求 f ( x) 的取小值,并求此时 x 的值。

解: a ? b ? 1, a ? b ? cos 2 x, a ? b ? (1)? x ? ?

2 ? 2 cos2 x ? ?2 cos x
? 0 ? ?2 cos x ? 2
………………………………6 分

? ? 3? ? , ?2 2 ? ?

? ?1 ? cos x ? 0

即 a ? b ? [0,2]

? ? ? ? (2)? f ( x) ? a ? b? | a ? b |
1 3 ? f ( x) ? cos 2 x ? 2 cos x ? 2 cos 2 x ? 2 cos x ? 1 ? 2(cos x ? ) 2 ? 2 2 1 2? 4? ? 当 cos x ? ? 时 即x ? 或x ? 时 2 3 3

? ? ? ? 3 f ( x) ? a ? b? | a ? b | 的最小值为 -2

71、(湖北省荆州市 2008 届高中毕业班质量检测)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为

a、b、c , m ? (2b ? c, a) , n ? (cos A, ? cos C ) ,且 m ? n 。
⑴求角 A 的大小;
2 ⑵当 y ? 2sin B ? sin(2 B ?

?
6

) 取最大值时,求角 B 的大小

解:⑴由 m ? n ,得 m ?n ? 0 ,从而 (2b ? c) cos A ? a cos C ? 0 由正弦定理得 2sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C ? 0

2sin B cos A ? sin( A ? C ) ? 0, 2sin B cos A ? sin B ? 0

? A, B ? (0, ? ) , sin B ? 0, cos A ? ?
分)
2 ⑵ y ? 2sin B ? sin(2 B ?

1 ? , A? ? 3 2

(6

?
6

) ? (1 ? cos 2 B) ? sin 2 B cos

?
6

? cos 2 B sin

?
6

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? 1?

3 1 ? sin 2 B ? cos 2 B ? 1 ? sin(2 B ? ) 2 2 6
2? ? ? 7? ? ? , ? ? 2B ? ? ,? ?? ? ? 时, 3 6 6 6 6 2

由 (1) 得, 0 ? B ? 即B ?

?
3

时, y 取最大值 2

72、(湖北省随州市 2008 年高三五月模拟)已知向量 OP ? (2cos x ? 1,cos 2x ? sin x ? 1) ,

??? ?

??? ? ??? ??? ? ? OQ ? (cos x, ?1) ,定义 f ( x) ? OP? OQ
⑴求出 f ( x) 的解析式。当 x ? 0 时,它可以表示一个振动量,请指出其振幅,相位及初相。 ⑵ f ( x) 的图像可由 y ? sin x 的图像怎样变化得到? ⑶当 x ? ? ?

1 ? 7? 3? ? , ? ? 且 f ( x) 的反函数为 f ?1 ( x) ,求 f ?1 ( ) 的值。 2 4 ? ? 4

?

73、(湖北省武汉市武昌区 2008 届高中毕业生元月调研测试)已知 a =(1+ cos 2 x ,1),
?

b =(1, m ? 3 sin 2 x )( x , m ∈R),且 f (x) ? a · b .

?

?

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(Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的最小正周期; (Ⅱ)若 f (x) 的最大值是 4,求 m 的值,并说明此时 f (x) 的图象可由 y ? 2 sin( x ? 的图象经过怎样的变换而得到. 解:(Ⅰ) f ( x) ? (1 ? cos 2 x) ? (m ? 3 sin 2 x) ? 2 sin( 2 x ? ∴最小正周期为 T= (Ⅱ)当 2 x ?

?
6

)

?
6

) ? m ?1,

? ? = 2k? ? , k ? Z ,时, 6 2
…………………………………8 分

2? ?? . 2

………………………………6 分

f (x) max =2+ m +1=4 ? m =1.
此时, f (x) = 2 sin( 2 x ? 将 y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 2.
1 ,纵坐标不变,再向上平移 2 个 2

?
6

) 的图象上各点的横坐标变为原来的

单位即可得到 f (x) 的图象.

………………………………………12 分

74 、 ( 湖 南 省 十 二 校 2008 届 高 三 第 一 次 联 考 ) 在 △ ABC 中 ,

A(cosx, cos2x), B(? 3 sin x,? cos x),C(?,1),0 ? x ? ? , 若△ABC 的重心在 y 轴负半轴上,
求实数 ? 的取值范围.

? cos 2 x ? cos x ? 1 ?0 ? ? 3 解:依题意得: ? ? cos x ? 3 sin x ? ? ? 0 ? 3 ?

(1) ??????? 2分 (2)
1 2
…………………………5 分

2 由(1)得: 2 cos x ? cos x ? 0,? 0 ? cos x ?

?0 ? x ? ?

?

?
3

?x?

?
2

由(2)得: ? ? 3 sin x ? cos x ? 2 sin( x ?

?
6

)

………………………… 8 分

?

?
3

?x?

?
2

?

?
6

? x?

?
6

?

?
3

1 ? 3 ? ? sin(x ? ) ? 2 6 2

……………………………………………… 11 分 ∴ ? 的取值范围是 (1, 3 ). ………………… 12 分 2008 届 高 三 第 六 次 月 考 ) 已 知 函 数

?1 ? ? ? 3

75 、 ( 湖 南 省 长 沙 市 一 中

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f ( x) ? 3 sin ?x ? cos ?x ? cos 2 ?x ?
函数取最大值. (1)求 f (x) 的解析式;

3 ? (? ? R, x ? R) 的最小正周期为 ? , 且当 x ? 时, 3 2

(2)试列表描点作出 f (x) 在[0, ? ]范围内的图象. 解:(1) f ( x) ?

3 1 ? cos2?x 3 ? sin 2?x ? ? ? sin(2?x ? ) ? 1 ……………(4 分) 2 2 2 6

∵ f (x) 的周期为 ? ,∴

2? ? ? ?| ? |? 1. | 2? |

? ? ? ?1 .
1°当 ? =1 时, f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? 1.

? f ( ) ? sin ? 1 ? 2 是函数的最大值,? ? ? 1. ……………………………………(5 分) 3 2
2°当 ? =-1 时, f ( x ) ? ? sin( 2 x ?

?

?

?

? 5? ? f ( ) ? sin ? 1 不是函数的最大值. ? ? ? ?1(舍去)…………………………(7 分) 3 6
∴ f ( x) ? sin( 2 x ? (2)
x 0 1 2 π 6 3 2 π 3 2 π 2 3 2 2π 3 1 2 5π 6 0 π 1 2

6

) ? 1.

?

6

) ? 1. ………………………………………………………………… 分) (8

F(x)

作图如下.

……………………………………………………………(12 分) 76、 (湖南省雅礼中学 2008 年高三年级第六次月考)在△ABC 中, A、 C 的对边分别为 a、 角 B、

b、c,若 AB ? AC ? BA? BC ? k (k ? R). (Ⅰ)判断△ABC 的形状;
(Ⅱ)若 c ?

2 , 求k 的值.
…………1 分

解:(I)? AB ? AC ? cb cos A, BA? BC ? ca cos B

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又 AB ? AC ? BA ? BC ? bc cos A ? ac cos B ? sin B cos A ? sin A cos B 即 sin A cos B ? sin B cos A ? 0 ? sin(A ? B) ? 0 ? ?? ? A ? B ? ? ?A? B ? ?ABC 为等腰三角形. (II)由(I)知 a ? b b2 ? c2 ? a2 c2 ? AB ? AC ? bc cos A ? bc ? ? 2bc 2 ?c ? 2 ?k ?1
cos B b ?? . cos C 2a ? c
(I)求角 B 的大小;

…………3 分 …………5 分

…………7 分

…………10 分

…………12 分 77、(湖南省岳阳市 2008 届高三第一次模拟)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, 且

(II)若 b ? 13,a ? c ? 4 ,求△ABC 的面积. 解:(I)解法一:由正弦定理

a b c ? ? ? 2R 得 sin A sin B sin C

a ? 2 R sin A,b ? 2 R sin B,c ? 2 R sin C
将上式代入已知

cos B b cos B sin B ?? 得 ?? cos C 2a ? c cos C 2 sin A ? sin C

即 2 sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0 即 2 sin A cos B ? sin( B ? C) ? 0 ∵ A ? B ? C ? ?,∴ sin( B ? C) ? sin A,∴2 sin A cos B ? sin A ? 0 ∵ sin A≠ 0,∴ cos B ? ?

1 , 2
2 ?. 3

∵B 为三角形的内角,∴ B ?

a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 , cos C ? 解法二:由余弦定理得 cos B ? 2ac 2ab
将上式代入
2

cos B b a 2 ? c2 ? b2 2ab b ?? 得 × 2 ?? 2 2 cos C 2a ? c 2ac 2a ? c a ?b ?c
2 2

整理得 a ? c ? b ? ?ac ∴ cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 ?ac 1 ? ?? 2ac 2ac 2

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∵B 为三角形内角,∴ B ? (II)将 b ?

2 ? 3 2 ? 代入余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 得 3

13,a ? c ? 4 ,B ?

b 2 ? (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B ,
∴ 13 ? 16 ? 2ac(1 ? ∴ S △ABC ?

1 ),∴ac ? 3 2

1 3 ac sin B ? 3. 2 4

78、(湖南省株洲市 2008 届高三第二次质检)已知 ?ABC 中, a 、b 、c 是三个内角 A 、 B 、

C 的对边,关于 x 的不等式 x2 cos C ? 4 x sin C ? 6 ? 0 的解集是空集. (1)求角 C 的最大值; 7 3 3 ,求当角 C 取最大值时 a ? b 的值. (2)若 c ? , ?ABC 的面积 S ? 2 2 ?cos C ? 0 解析:(1)显然 cos C ? 0 不合题意, 则有 ? , ?? ? 0 ?cos C ? 0 ?cos C ? 0 ? 即? , 即? 1, 2 ?16sin C ? 24cos C ? 0 ?cos C ? ?2或 cos C ? 2 ? 1 C cos C ? 故 , ∴ 角 的 最 大 值 为 2 60? 。 …………………6 分 1 3 3 (2)当 C = 60? 时, S?ABC ? ab sin C ? ab ? 3 ,∴ ab ? 6 , 2 4 2 2 2 2 2 由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C ? (a ? b) ? 2ab ? 2ab cos C , 121 11 2 2 ∴ ( a ? b) ? c ? 3ab ? ,∴ a ? b ? 。 …………………12 分 4 2 ? ? 79 、 ( 黄 家 中 学 高 08 级 十 二 月 月 考 ) 设 函 数 f ? x ? ?a , 其 中 b ?
? ? a ? ? 2cos x,1? , b ? cos x, 3 sin 2 x , x ? R

?

?

(I) 求 f ? x ? 的最大值;

(II)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 f(A)=2,a= 3,b+c=3,求 b,c 的值

【解】:(I)由题意知 f ? x ? ? a ? b ? 2cos2 x ? 3 sin 2x

? ?

当 2x ?

?
6

?

?
2

?? ? ? cos 2x ? 3 sin 2x ? 1 ? 2sin ? 2x ? ? ? 1 6? ?
? 2k? ,即 x ? ? ? k? , ? k ? Z ? 时 f ? x ?max ? 2 ?1 ? 3
6

? (II)由(I)知 f (A) ? 2sin(2A ? ) ?1, 6
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? 2sin(2A+

? ? 1 )+1=2, ? sin(2A+ )= , 6 6 2

? ?A为三角形的内角, 2A+ ?

?
6

?

?
6

,

? 2A ?

?
6

?

5? ? ,? A ? 6 3

由余弦定理得 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bccos A, 即 3 ? (b ? c)2 ? 2bc ? bc ? 9 ? 3bc,? bc ? 2,

? b ? 1 ?b ? 2 ? b、c为二次方程x 2 ? 3x ? 2 ? 0的两根, ? ? 或? ?c ? 2 ? c ? 1
80 、 ( 吉 林 省 吉 林 市 2008 届 上 期 末 ) 已 知 函 数

f ( x) ? sin 4 x ? 2 3 sin x ? cos x ? cos4 x, x ? R.
(1)求 f (x) 的最小正周期的最小值; (2)求 f ( x)在[0, ? ] 上的单调递减区间;
4 4 解:(1)由 f ( x) ? sin x ? 2 3 sin x ? cos x ? cos x, 则f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) …2 分

?T ?

2? ? ? ……………………………………………………………………… 4 分 |? |

令 2x ?

?

1 1 ? 2k? ? ? , (k ? Z )则x ? k? ? ? , (k ? Z ) 时 6 2 6

f ( x)的最小值为? 2 …………6 分
(2)设 2k? ? 则 k? ?

?
2

? 2x ?

?

2? 5 ? x ? k? ? ? , (k ? Z ) ……………………8 分 3 3

3 ? 2k? ? ? , (k ? Z ) 6 2

又? x ? [0, ? ]

2 ?函数f ( x)在[0, ? ] 上的单调减区间为 [ ? , ? ] ………………10 分 3
81 、 ( 吉 林 省 实 验 中 学 2008 届 高 三 年 级 第 五 次 模 拟 考 试 ) 已 知 函 数

f ( x) ? a(2 cos 2

x ? sin x) ? b 。 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f (x) 的单调递增区间: (Ⅱ)当 a ? 0 ,且 x ? ?0, ? ? 时, f (x) 的值域是 ?3,4? ,求 a, b 的值。 解:(Ⅰ)? f ( x) ? 1 ? cos x ? sin x ? b ?

2 sin( x ?

?
4

) ? b ?1,

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3? ?? ? ? 递增区间为 2?? ? , ? (? ? ?) ……………………4 分 2?? ? 4 4? ? ?
(Ⅱ)? f ( x) ? a(sin x ? cos x) ? a ? b ? 而 x ? ?0, ? ?, 则x ?

2a sin( x ?

?
4

) ? a ? b …………6 分
…………8 分

?

? ? 2 ? ? ? 5? ? ? ? , ?,? sin(x ? ) ? ?? ,1? 4 ?4 4 ? 4 ? 2 ?

? 2a ? a ? b ? 4 ?a ? 2 ? 1 ? 故? ………………………………10 分 ?? 2 b ? 3. 2a (? ) ? a ? b ? 3, ? ? 2 ?
82、(江苏省常州市北郊中学 2008 届高三第一次模拟检测)已知向量 a=(3sinα ,cos α ),b=(2sinα , 5sinα -4cosα ),α ∈( (1)求 tanα 的值; (2)求 cos(
3π , ),且 a⊥b. 2π 2

?
2

?

π )的值. 3

解:(1)∵a⊥b,∴a·b=0.而 a=(3sinα ,cosα ),b=(2sinα , 5sinα -4cosα ), 2 2 故 a·b=6sin α +5sinα cosα -4cos α =0.

4 1 ,或 tanα = . 3 2 1 4 3π ∵α ∈( , ),tanα <0,故 tanα = (舍去).∴tanα =- . 2π 2 2 3 ? 3π 3π (2)∵α ∈( , ),∴ ? . ( ,π) 2π 2 2 4 4 ? 1 ? 由 tanα =- ,求得 tan ? ? , tan =2(舍去). 3 2 2 2 ? 5 ? 2 5
由于 cosα ≠0,∴6tan α +5tanα -4 =0.解之,得 tanα =-
2

∴ sin cos(

2

?

5

, cos

2

??

5



?
2

?

π ? π ? π )= cos cos ? sin sin 3 2 3 2 3 2 5 1 5 3 2 5 ? 15 ? ? ? =? =? . 5 2 5 2 10
3 . 5

83、(江苏省南京市 2008 届高三第一次调研测试)已知:在△ABC 中,cosA = (1)求 cos
2

A
2

– sin(B+C)的值;

(2)如果△ABC 的面积为 4,AB = 2 ,求 BC 的长. 解:(1)? 在 ?ABC 中, cos A ?

3 , 5 ? 4 ? A ? (0, ) sin A ? ……2 分. , 2 5

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A 1 ? cos A ? sin( B ? C ) ? ? sin(? ? A) …………………………3 2 2 1 ? cos A ? ? sin A ……………………………4 2 3 1? 5 ?4 ?0 ? 2 5 1 ? bc sin A ? 4 …………………………8 分 (2)? S ?ABC ? 4 2 4 ?bc ? 10 ? c ? AB ? 2 ,? b ? 5 ……10 分 ? sin A ? 5 3 ? BC 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 5 2 ? 2 2 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? 17 ……12 分 5

? cos 2

? BC ? 17 ………………………………………………………………14 分
84、(江苏省南通市 2008 届高三第二次调研考试)在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为
tan A 2c . ? tan B b

a,b,c,且 1 ?

(Ⅰ)求角 A;

(Ⅱ)若 m ? (0, ?1) ,n ? cos B, 2cos2 C ,试求|m ? n|的最小值. 2 解:(Ⅰ) 1 ? 即 ∴
c tan A 2c sin A cos B 2sin C ,………………………………3 分 ? ?1? ? tan B b sin B cos A sin B

?

?

sin B cos A ? sin A cos B 2sin C , ? sin B cos A sin B sin( A ? B) 2sin C ? sin B cos A sin B





1 A ? . ………………………………………………5 分 o s 2


A?

0? A? π





π .………………………………………………………………7 分 3

(Ⅱ)m ? n ? (cos B,2cos2

C ? 1) ? (cos B,cos C) , 2 2π 1 π ? B) ? 1 ? sin(2B ? ) .…… 3 2 6

? |m ? n| 2 ? cos2 B ? cos2 C ? cos2 B ? cos2 (
……10 分 ∵A? 从
? π 6 2B π 7π

π 2π 2π ,∴ B ? C ? ,∴ B ? (0, ) . 3 3 3

而 .……………………………………………………………12 分 ? = )1 , 即 B ?
π 时 , |m ? n | 3
2

6

π ∴ 当 s i nB(?2 6
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取 得 最 小 值

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1 .……………………13 分 2

所 |m ? n| min ?





2 .………………………………………………………………14 分 2 评讲建议:

本题主要考查解三角形和向量的运算等相关知识, 要求学生涉及三角形中三角恒等变换 时,要从化角或化边的角度入手,合理运用正弦定理或余弦定理进行化简变形;在第二 小题中,要强调多元问题的消元意识,进而转化为函数的最值问题,注意定义域的确定 对结论的影响,并指明取最值时变量的取值. 85 、 ( 江 苏 省 前 黄 高 级 中 学 2008 届 高 三 调 研 ) 已 知 函 数

?? ? ?? f ( x) ? m ? n, 其中m ? (sin ? x ? cos ? x, 3 cos ? x) , ? ? n ? (cos ? x ? sin ? x,2sin ? x), 其中? ? 0, 若f ( x) 相邻两对称轴间的距离大于等于 . 2
(Ⅰ)求 ? 的取值范围; (Ⅱ)在 ?ABC中, a, b, c分别是角A, B, C的对边, a ? 3, b ? c ? 3,

当?最大时, f ( A) ? 1, 求?ABC 的面积.
解:(Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 2 3cos ? x ? sin ? x ? cos 2? x ? 3sin 2? x

?? ?

? 2? ? T ? ? ? ? 2sin(2? x ? ) 。? ? ? 0 ,?函数f ( x)的周期T ? ? , 由题意可知 ? ,即 ? , 6 2? ? 2 2 2? 2
解得 0 ? ? ? 1,即?的取值范围是{? | 0 ? ? ? 1} 。 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ? 的最大值为 1,? f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

)。

? ? 1 ? ? 13 ? 5 ? f ( A) ? 1 ,?sin(2 A ? ) ? 。 而 ? 2 A ? ? ? ,? 2 A ? ? ? ? A ? 3 6 2 6 6 6 6 6 2 2 2 b ?c ?a ?b ? 2 ?b ? 1 由余弦定理知 cos A ? ,?b2 ? c 2 ? bc ? 3. 又b ? c ? 3 ,联立解得 ? 或? 2bc ?c ? 1 ?c ? 2
? S ?ABC ? 1 3 。 bc sin A ? 2 2

86、(江苏省如东高级中学 2008 届高三四月份模拟)已知 A(3,0),B(0,3),C( cos? , sin ? ) . (1)若 AC ? BC ? ?1, 求 sin(? ?

?
4

)的值;

(2)若 OA ? OC |? 13, 且? ?(0, ? ),求OB与 | OC 的夹角 解:(1)? AC ? (cos? ? 3, sin ? ), BC ? (cos? , sin ? ? 3)

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

? AC ? BC ? (cos? ? 3) cos? ? sin ? (sin? ? 3) ? ?1
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cos2 ? ? sin 2 ? ? 3(cos? ? sin ? ) ? ?1

? cos ? ? sin ? ?

2 , 3

? sin(? ?

?
4

)?

2 3
1 ? (3 ? cos ? ) 2 ? sin 2 ? ? 13,? cos ? ? , 2

(2)? OA ?OC |? 13 |

?? ? (0, ? ),?? ?

?
3

, sin ? ?

1 3 3 , ? C ( , ), 2 2 2


?OB ? OC ?

3 3 , 设OB与OC的夹角为? 2

3 3 OB ? OC 3 cos? ? ? 2 ? 3 2 | OB || OC |
? ? ? (0, ? ) ?? ?

?
6

即为所求。

87、(江苏省泰兴市 2007—2008 学年第一学期高三调研)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分 别为 a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 m ? ? sin A,cos 2 A? ,n ? ? 4k,1?? k ? 1? ,且m ? n 的最大值是 5,求 k 的值.
2

??

?

?? ?

解:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC, ∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.……………………………………………2 分 即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB =sin(B+C) ∵A+B+C=π ,∴2sinAcosB=sinA.…………………………………………4 分 ∵0<A<π ,∴sinA≠0.
0 0 7 0 3 1

1 ∴cosB= .…………………………………………………………………5 分 2
6

∵0<B<π ,∴B=

? .…………………………………………………………6 分 3

(II) m ? n =4ksinA+cos2A.…………………………………………………………7 分 =-2sin A+4ksinA+1,A∈(0, 设 sinA=t,则 t∈ (0,1] . 则 m ? n =-2t +4kt+1=-2(t-k) +1+2k ,t∈ (0,1] .…………………………12 分
2 2 2 2

?? ?

22 )……………………………………10 分 3

?? ?

∵k>1,∴t=1 时, m ? n 取最大值.

?? ?

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依题意得,-2+4k+1=5,∴k=

3 .……………………………………………………14 分 2

88、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)某单位在抗雪救灾中,需要在A、B 两地之间架设高压电线,测量人员在相距6000m的C、D两地(A、B、C、D在同一平面上), 测得∠ACD=45°,∠ADC=75°,∠BCD=30°,∠BDC=15°(如图),假如考虑到电线的自然 下垂和施工损耗等原因,实际所须电线长度大约应该是A、B距离的1.2倍,问施工单位至少 应该准备多 长 的 电 线 ? ( 参 考 数 据 :

A
解: 在△ACD CD=6000, ∠ 根据正弦定

2 ? 1.4, 3 ? 1.7, 7 ? 2.6 )
中,∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60° ACD=45°

C

45? 30?

15?

75?

D



AD=

B

CD sin 45? 2 ? CD sin 60? 3

5′ 在△BCD中,∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135° CD=6000,∠BCD=30° 根据正弦定理BD=

CD sin 30? 2 ? CD sin135? 2

10′

又在△ABD中,∠ADB=∠ADC+∠BDC=90° 根据勾股定理有

AB ? AD2 ? BD2 ?

2 1 ? CD =1000 42 3 2

13′

实际所需电线长度约为1.2AB≈7425.6(m) 15′ 89、(江苏省盐城市 2008 届高三六校联考)在△ABC 中,A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? AB ? AC ? BA ?BC
(1)判断△ABC 的形状; (2)若 AB ? AC ? 2 ,求边 c 的值. 解(1)∵ AB ? AC ? BA ? BC

??? ???? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?
??? ??? ? ?

∴ | AB || AC | cos A ?| BA || BC | cos B ………………………………………2 分

??? ??? ? ?

b cos A ? a cos B
∴2RsinBcosA=2RsinAcosB …………………………………………………4 分 A? B ∴tanA=tanB ∴△ABC 为等腰三角形 ………………………………………………………6 分 (2)由 AB ? AC ? 2 得

??? ???? ?

??? ??? ? ? | AB || AC | cos A ? 2
……………………………………………………………9 分

∴bc

b2 ? c2 ? a 2 ?2 2bc

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又 a=b, ∴c =4 ∴c=2 …………………………………………………12 分 90、(江西省鹰潭市 2008 届高三第一次模拟)已知锐角△ABC 三个内角为 A、B、C,向量

2

? ? ? p = (2 - 2sin A,cos A + sin A) 与向量 q = (sin A- cos A,1+ sin A) 是共线向量. C - 3B 2 (Ⅰ)求角 A. (Ⅱ)求函数 y = 2sin B + cos 的最大值. 2 ? ? ? 解:(Ⅰ) ? p, q 共线 ?? 2 ? 2sin A??1 ? sin A? ? ?cos A ? sin A??cos A ? sin A? ……2 分 3 ? sin 2 A ? …………4 分 4 ? 3 ? A ? ………6 分 又 A 为锐角,所以 sin A ? 3 2 ? ? ? ? ? ? ? B ? ? 3B C ? 3B 3 ? 2 ? 2sin 2 B ? cos ? (Ⅱ) y ? 2sin B ? cos 2 2 ? 1 3 ? 2sin 2 B ? cos( ? 2 B) ? 1 ? cos 2 B ? cos 2 B ? sin 2 B 3 2 2 ? 3 1 ? sin 2 B ? cos 2 B ? 1 ? sin(2 B ? ) ? 1 ……………9 分 6 2 2 ? ? ? 5? ? ? ?? ? B ? ? 0, ? ? 2 B ? ? ? ? , ? …………10 分 6 ? 6 6 ? ? 2? ? ? ? ? 2 B ? ? ? B ? 时, ymax ? 2 …………12 分 6 2 3 C C 91、(宁夏区银川一中 2008 届第六次月考)在三角形 ABC 中, m =(cos ,sin ), 2 2 C ? C n =(cos ,-sin ) 且 m,n 的夹角为 2 2 3
(1)求 C; (2)已知 c=

7 3 3 ,三角形的面积 S= ,求 a+b(a、b、c 分别∠A、∠B、∠C 所对的边) 2 2 C 2 C ? sin 2 ? cos C 解:(1) m ? n ? cos 2 2 ? 1 m ? n ?| m || n | cos ? 3 2 1 ? cosC= C= 2 3 7 2 2 2 (2) c =a +b -2abcosC c= 2 49 2 2 2 =a +b -ab=(a+b) -3ab. 4
Ab=6 (a+b) =
2

S=

1 1 ? 3 3 3 absinC= absin = ab= 2 2 3 4 2
a+b=

49 49 121 +3ab= +18= 4 4 4

11 2

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92、(山东省济南市 2008 年 2 月高三统考)设向量 a ? (cos( ? ? ), sin( ? ? )) , ? ?

?

? ? ? 4 3 b ? (cos(? ? ? ),sin(? ? ? )) ,且 a ? b ? ( , ) . 5 5
(1)求 tan ? ;

2cos 2
(2)求

?
2

? 3sin ? ?1

2 sin(? ? ) 4
解:(1) a ? b

?



? ?

? (cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? )

4 3 ? (2 cos ? cos ? , 2sin ? sin ? ) ? ( , ) 5 5 4 3 ∴ 2 cos ? cos ? ? , 2sin ? sin ? ? 5 5 3 ∴ tan ? ? 4

3分 4分 6分

2cos 2
(2)

?
2

? 3sin ? ? 1

2 sin(? ? ) 4
f ( x) ? 2 sin 2 (

?

?

cos ? ? 3sin ? 1 ? 3tan ? 5 ? ?? . cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 7
2008

12 分

93 、 ( 山 东 省 聊 城 市

届 第 一 期 末 统 考 ) 已 知 函 数

?
4

? x) ? 3 cos 2 x ? 1, x ? R.

(1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)若对任意的 x∈ [

? ?

, ] ,不等式 f(x)>m-3 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2

2 解:(1)? f ( x) ? 2 sin (

?

? 1 ? cos(

?
2

4

? x) ? 3 cos 2 x ? 1

? 2 x) ? 3 cos 2 x ? 1

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?
∴函数 f (x) 的最小正周期 T ?

?
3

) ……………………3 分

2? ? ? . ……………………5 分 2 ? ? ? ? 2? ], (2)当 x ? [ , ]时,2 x ? ? [ , 4 2 3 6 3

? f ( x) min ? 1 ……………………7 分
故只需 1>m-3,解得 m<4……………………9 分 即 m 的取值范围为(-∞,4)……………………10 分
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94 、 ( 山 东 省 实 验 中 学 2008 届 高 三 第 三 次 诊 断 性 测 试 ) 已 知 向 量

??? ? ??? ? ??? ???? ? OP ? (2cos x ?1,cos 2x ? sin x ?1), OQ ? (cos x, ?1) ,定义 f ( x) ? OP ? OQ . (1)求函数 f (x) 的单调递减区间; (2)求函数 f (x) 的最大值及取得最大值时的 x 的取值集合.
? 2 cos2 x ? cos x ? cos2 x ? sin x ? 1 ? cos ? sin x
? 2 sin( x ? 令 2 k? ?
……………4 分

解:(1) f ( x) ? OP ? OQ ? (2 cos x ? 1, cos2x ? sin x ? 1) ? (cosx,?1)

?

3? ? 5? , k ? Z, 解得2k? ? ? x ? 2k? ? . 2 4 2 4 4 ? 5? ], k ? Z. ……………9 分 所以,函数 f ( x)的单调递减区间为 [2k? ? ,2k? ? 4 4 ? x? ? 2k? ?
(2)函数 f ( x)的最大值是

?

4

) ……………………………………………………… 6 分

?

2 , 此时 x ?

?

4

? 2k? ?

?

2

, 即x ? 2k? ?
?

?

4

.

所以,函数 f ( x)取得最大值 2时的 x的取值集合为 {x | x ? 2k? ?

, k ? Z}. …………12 分 4 95 、 ( 山 西 省 实 验 中 学 2007 — 2008 学 年 度 高 三 年 级 第 四 次 月 考 ) 已 知

A(3,0), B(0,3), C (cos ? , sin ? ), ? ?
(1)求

1 ? sin 2? ? cos 2? 的值 1 ? tan ?

k? (k ? Z ), 若 AC ? BC ? ?1 4

(2)若 | OA ? OC |? 13 ,其中 O 是原点,且 ? ? (0, ? ),求OB与OC 的夹角。 解:(1) cos ? ? sin ? ?

1 ? sin 2? ? cos 2? ? 2 sin ? cos ? 1 ? tan ? 5 ?? 9 1 (2) cos ? ? 2

2 3

…………2 分 …………4 分 …………5 分 …………7 分

cos ? OB, OC ?? sin ? ?

3 2

…………9 分

? OB, OC ?? 30?

…………10 分

96 、 ( 山 西 省 实 验 中 学 2007 — 2008 学 年 度 高 三 年 级 第 四 次 月 考 ) 已 知 其图像关于直线 x ? f ( x) ? cos(??x ? ?)(? ? 0, ? ? [0, ? ]) 是 R 上的奇函数, 在区间 [?

3 对称, 且 4

1 1 , ] 上是单调函数,求 ?和? 的值。 4 4

解:(1) ? ?

?

2

…………2 分

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97、(山东省郓城一中 2007-2008 学年第一学期期末考试)已知 ?ABC 中,角 A,B,C,所 对的边分别是 a, b, c ,且 2 a 2 ? b2 ? c 2 ? 3ab ; (1)求 sin 2 A ? B

4 1 (k ? ) 3 2 0?? ? 2 2 ? ? 2, ? ? 3

??

…………6 分 …………10 分 …………12 分

?

?

2

(2)若 c ? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值。 解:(Ⅰ)? a ? b ? c ?
2 2 2

3 a2 ? b2 ? c2 3 ab,? cosC ? ? ?2分? 2 2ab 4

? A ? B ? ? ? C ,? sin 2

A ? B 1 ? cos ? A ? B ? 1 ? cos C 7 ? ? ? ?6分? 2 2 2 8 3 3 2 2 2 2 ? 2 (Ⅱ)? a ? b ? c ? ab, 且c ? 2, a ? b ? 4 ? ab, 2 2 3 2 2 又? a ? b ? 2ab,? ab ? 2ab ? 4,? ab ? 8?8分? 2
2

3 7 ?3? ?10分? ? cosC ? ,? sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ? ? ? ? 4 4 ?4?
? S ?ABC ? 1 ab sin C ? 7 , 2

当且仅当 a ? b ? 2 2 时,△ABC 面积取最大值,最大值为 7 . 98、(山西大学附中 2008 届二月月考)已知向量 a ? (1 ? tan x, 1), b ? (1 ? sin 2 x ? cos 2 x, ?3) , 记 f ( x) ? a ?b.
?? ? (1)求 f(x)的值域及最小正周期;(2)若 f ? ? ? ?2? ?? ? ? ? ?? f ? ? ? ? 6 ,其中 ? ? ? 0, ? ,求 ?2 4? ? 2?

角 ?. 解:(1)根据条件可知:
f ( x) ? (1 ? tan x)(1 ? sin 2 x ? cos 2 x) ? 3 ?
? 2(cos2 x ? sin 2 x) ? 3

cos x ? sin x (2cos2 x ? 2sin x cos x) ? 3 cos x

? 2cos2x ? 3

因 为

f(x) 的 定 义 域 为

{x | x ? k? ?

?
2

, k ? Z},

1] ∴f(x)的值域为 (?5, ? ,f(x)的最小正周期为? .

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?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? (2) f ? ? ? f ? ? ? ? 2cos ? ? 2cos ? ? ? ? ? 2(cos ? ? sin ? ) ? 2 2 sin ? ? ? ? ? 6. 2? 4? ?2? ?2 4? ? ?
所以, sin ? ? ? 所以 ? ?
? ?

??

3 ? ? ? 2? ? ?? ,又因为 ? ? ? 0, ? ,所以 ? ? ? 或? ? ? , ?? 4? 2 4 3 4 3 ? 2?

?
12

或? ?

5? . 12

99、(上海市部分重点中学 2008 届高三第二次联考)已知向量 a =(?cosx,sinx), b = (cosx , 3 cos x ),函数 f(x)= a ? b , x ? [0, ? ] (1)求函数 f(x)的最大值 (2)当函数 f(x)取得最大值时,求向量 a与b 夹角的大小. [解](1)f(x)= a ? b =?cos x+ 3 sinxcosx
2

?

?

? ?

? ?

? ?

…………………2 分 …………………………4 分

=

3 1 1 sin2x? cos2x? 2 2 2

1 ? )? …………………………6 分 2 6 1 1 ? ∵x∈[0,π ],∴当 x= 时,f(x)max=1? = ………8 分 2 2 3 ? ? a?b ? (2)此时 x= ,设向量 a与b 夹角为 ? 则 cos ? = …………9 分 a?b 3
=sin(2x? =

1 1 1 = = …………………………11 分 4 cos x 4 cos ? 2 3

所以 向量 a与b 夹角为 100、

? ?

? 3

………………12 分

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