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广东省中山市华侨中学2014届高三数学上学期第三次模拟考试试卷 文


中山市华侨中学 2014 届高考模拟(三)数 学 试 卷(文)
考试范围:集合、逻辑用语、函数导数、三角函数、解三角、向量、复数、立体几何 本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 2013-11-01 15:00-17: 00 参考公式: 柱体体积公式 锥体体积公式 球体积公式 球的表面积, (其中 S 为底面面积, h 为高)

/>
V ? Sh

V ?

1 sh 3

V ?

4 3 ?R 3

S ? 4?R 2

(其中 R 为球的半径)

一、选择题:(本大题共 10 小题;每小题 5 分,满分 50 分) 1.已知 A ? ?x | x ?1 ? 0? , B ? ??2, ?1,0,1? ,则 (CR A) ? B ? ------( ) A. ??2, ?1? B. ??2? 2.复数 z ? a ? ?1 ? a ? i C. ??1,0,1? D. ?0,1? ) )

(a ? R) 是纯虚数,则 z 2 的值为------(
C. i D. ?i

A.0

B. ?1
2

3.命题“ ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0 ”的否定为------------------ --( A. ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 C. ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 B. ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 D. ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 [

4. 下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是-----( ) A. y ?

1 x

B. y ? lg | x |
1 2 x

C. y ? ? x2 ? 1

D. y ? e? x

?1? 5.函数 f(x)= x ? ? ? 的零点个数为-----( ?2?
A .0 B.1 C.2 D.3



6.如右上图,在 ?ABC 中,点 D 是 BC 边上靠近 B 的三等分点,则 AD ? ---(



A.

2 1 AB ? AC 3 3
2 1 AB ? AC 3 3

1 2 AB ? AC B. 3 3
D.

C

D A B

C.

1 2 AB ? AC 3 3

(第 9 题)

7.已知函数 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

3? ? 的是---( ? ( x ? R) ,下面结论错误 .. 2 ?



1

A.函数 f ( x) 的最小正周期为 ? C.函数 f ( x) 的图象关于直线 x ?

B.函数 f ( x) 是偶函数

? 对称 4

D.函数 f ( x) 在区间 ? 0,

? ?? 上是增函数 ? 2? ?


8.设 ? 、? 是两个不重合的平面, m、 n 是两条不重合的直线,则以下结论错误 的是-( .. A.若 ? // ? ,m ? ? ,则 m// ? C. 若 m ? ? ,n ? ? ,m// ? ,n// ? ,则

B. 若 m// ? ,m// ? ,? ? ? ? n ,则 m//n

? // ?

D.若 m// ? , m⊥ ? ,则

? ⊥?

9、 (2013 深圳二模)某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图 形,则此几何体的体积是 -------( 20 A. π B 6π 3 .
2 1 2
正(主)视图

) C.
10 π 3

D.

16 π 3

4
侧(左)视图

俯视图

(第 9 题图)

10.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (4) ? f (?2) ? 1 ,

f ?( x)

f ?( x) 为 f ( x) 的导函数,且导函数 y ? f ?( x) 的图象如右图所示.
则不等式 f ( x) ? 1 的解集是-----( A. (?2,0) C. (0,4) B. (?2,4) D. (??,?2) ? (4,??) ) -2

O 4
第 10 题图

x

二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将正确答案填在题中横线上) 11.已知向量 a = ( 3, 1) ,b ? (0,?1) ,c = (k, 3 ) 。 若 a ? 2b 与 c 共线, 则 k=__________。 12.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是
x

2

13.在△ABC 中,已知∠BAC=60°,∠ABC=45°,

,则 AB=_

_

14. 如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有

2 两个动点 E、F,且 EF ? .给出下列结论 2
①. AC ? BE ②. EF / /平面ABCD ③.三棱锥 A ? BEF 的体积为定值 ④.异面直线 AE, BF 所成的角为定值 其中正确的命题是 (填所有正确的选项)

C1

E

F

B1

D1

A1

C
D

B A

三.解答题(共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? 在定义域 ? 0, ??? 上为增函数,且满足 f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? , f ?3? ? 1 ①.求 f ?9? , f ? 27? 的值 ; ②.求不等式 f ? x ? ? f ? x ? 8? ? 2 的解集

16. (本小题 13 分)设命题 p :实数 x 满足 x ? 4mx ? 3m ? 0 ,其中 m ? 0 ;
2 2

命题 q :实数 x 满足 ?

2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 2 ? ?x ? 2x ? 8 ? 0

①.若 m ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; ②. ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围。

17.(本小题满分 13 分) 已各坐标平面上三个点: A(2,0), B(0,2) , C(cos? , sin? ) ①.若 (OA ? OC) 2 ? 7 , O 为原点,求向量 OB 与 OC 的夹角的大小; ②.若 AC ? BC ,求 sin 2? 的值。 (1)若 (OA ? OC )2 ? 7 (O为原点) ,求向量 OB 与 OC 夹角的大小; 解: (1)∵ OA ? OC ? (2 ? cos?, sin ? ) ,

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? (OA ? OC)2 ? 7 ,

3

∴ (2 ? cos? ) 2 ? sin 2 ? ? 7 , ∴ cos ? ?

????? 2 分 ????? 4 分

1 . 2

又 B(0,2) , C (cos? , sin ? ) ,设 OB 与 OC 的夹角为 ? ,则:

cos? ?

OB ? OC OB OC

?

2 sin ? 3 , ? sin ? ? ? 2 2

∴ OB 与 OC 的夹角为

??? ?

??? ?

? 5 或 ?. 6 6

???? 7 分

(2)若 AC ? BC ,求 sin 2? 的值. 解 :? AC ? (cos ? ? 2,sin ? ) ,

??? ?

BC ? (cos?, sin ? ? 2) ,
由 AC ? BC ,∴ AC ? BC ? 0 , 可得 cos ? ? sin ? ? ∴ (cos ? ? sin ? ) ?
2

??? 9 分

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?
1 ,① 2

???? 11 分

1 3 ,∴ 2 sin ? cos ? ? ? , 4 4
????12 分

sin 2? ? ?

3 4

18. (本小题满分 14 分) 已知向量 m ? ( 3 sin 2x ? 2,cos x) , n ? (1, 2cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n , x ? R . ①求 f ( x) 的最大值以及此时相应的自变量 x 的集合; ②在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 f ( A) ? 4, b ? 1, ?ABC 的

??

?

面积为

3 ,求 a 的值. 2

19. (本小题满分 14 分)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别是 AC,AB 上的中点, 点 F 为线段 CD 上的一点.将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图 2. ①求证:DE∥平面 A1CB; ②求证:A1F⊥BE;

4

③线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由.

20. (14 分)已知函数 f(x) ? ?

?? x 3 ? x 2 ? bx ? c......(x ? 1) 的图象过点(﹣1,2) , .......... .....(x ? 1) ?a ? ln x..........

且在点(﹣1,f(﹣1) )处的切线与直线 x﹣5y+1=0 垂直. ①求实数 b,c 的值; ②求 f(x)在[﹣1,e](e 为自然对数的底数)上的最大值; ③对任意给定的正实数 a,曲线 y=f(x)上是否存在两点 P,Q,使得△POQ 是 以 O 为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?

5


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