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福建省龙岩市一级达标学校联盟2014届高三毕业班5月联合考试理科数学试题 图片版含答案( 2014高考) (1)


1

2

数学(理科)参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并指出了一种或者几种解法供参考,如果考生的解 法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后续部分的解答有 较严重的错误,就不再给分. 三、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 1-5 DDCAD 6-10 ABAAB 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分 11.-1 12.1 或 127 13.-1 或 0 14.2 15. 3 ? m ? 4 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.本小题主要考查二倍角公式、降幂公式、向量的数量积、递推数列、数列求和等基础知识,考查运算 求解能力、化归与转化思想,函数与方程思想.满分 13 分. 解:(Ⅰ)

3 C7 7 ? 3 C10 24 7 17 ? 至少有一天空气质量超标的概率为 1 ? . …………………7 分 24 24 (Ⅲ) ? ? 0,1,2,3 ………………………8 分 3 27 54 1 2 3 2 P(? ? 0) ? ( ) 3 ? P(? ? 1) ? C 3 ( )( ) ? 5 125 5 5 125 2 3 36 2 8 P(? ? 2) ? C 32 ( ) 2 ( ) ? P(? ? 3) ? ( ) 3 ? 5 5 125 5 125 ? ? 的分布列为

(Ⅱ)没有一天空气质量超标的概率为

P

0

1

2

3

54 36 8 125 125 125 27 54 36 8 6 ? 1? ? 2? ? 3? ? . …………13 分 ? 数学期望 E? ? 0 ? 125 125 125 125 5
18.本小题主要考查直线与直线、平面与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识,考查 空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想 等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)由 ABC ? ADC 可知 AC 既是等腰 ?ABD 也是等边 ?BCD 的角平分线,也是高,所以 AO ⊥ BD , CO ⊥ BD …………………………2 分 由于在平面图形中, AO ⊥ BD , CO ⊥ BD ,折起后这种关系不变,且 AO ? CO ? O 所以折起后 BD ⊥平面 AOC , ……………………………4 分 又 AC ? 平面 AOC ,故 BD ⊥ AC , 即不论 ? 在(0, ? ) 内为何值,均有 AC⊥BD . …………………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 BD ⊥平面 AOC ,又 BD ? 平面 BCD ,所以平面 AOC ⊥平面 BCD 过点 A 作 AE ⊥ OC 于点 E ,因为平面 AOC ? 平面 BCD ? OC , 所以 AE ⊥平面 BCD ,即 AE 是三棱锥 A ? BCD 的高,

?

27 125

? m ? (4 x,1) , n ? (cos 2 (? ? ), tan 2? ) , f ( x) ? m ? n 8 ? ? f ( x) ? 4 x cos 2 (? ? ) ? tan 2? 8 ? ? f ( x) ? 2 x(1 ? cos(2? ? )) ? tan 2? ………………………………4 分 4 2 tana 2( 2 ? 1) 由 tan2? ? ? ?1 2 1 ? tan ? 1 ? ( 2 ? 1) 2 ? ?? 是锐角, ? 2? ? 4 ? ? cos(2? ? ) ? 0 ? f ( x) ? 2 x ? 1 . ………………………7 分 4 (Ⅱ)? a1 ? 1, an?1 ? f (an ) ,? an?1 ? 2an ? 1 , ………………………9 分 an?1 ? 1 ? 2, ?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) , an ? 1
Sn ? 2(2n ? 1) ? n ? 2n?1 ? 2 ? n . 2 ?1
40 ? x ? 44 ? 45 解得 x ? 6 . 2

??an ? 1?是首项为 a1 ? 1+1 ? 2 ,公比 q ? 2 的等比数列,? an ? 2n ?1…11 分
…………………………………13 分

1 3 ? 4? 4? =4 3 2 2 1 8 3 sin ? , 故三棱锥 A ? BCD 的体积为 V ? ? 4 3 ? 2sin ? ? 3 3 8 3 当三棱锥 A ? BCD 的体积为 时, sin ? ? 1 ,此时点 E 与点 O 重合.…9 分 3
在 Rt ?AOE 中, AE ? AO sin ? ? 2sin ? , S?BCD ? 解法一: 由上面证明易得 CO ⊥平面 ABD ,过 O 点作 OF ⊥ AD 于点 F ,连接 CF , 因为 AD ? 平面 ABD ,所以 AD ⊥ OC ,又 OF ? OC = O , 所以 AD ⊥平面 OFC , 所以 AD ⊥ CF ,则∠ OFC 就是二面角 B ? AD ? C 的平面角. ………11 分 在 Rt ?OFC 中, OF = 2 , OC = 2 3 ,所以 CF = 14 ,

17.本小题主要考查茎叶图、样本中位数、古典概型,独立重复试验等基础知识,考查数据处理能力、运 算求解能力及应用意识,考查必然与或然思想等.满分 13 分. 解:(Ⅰ)由题意可知 ……………………3 分
3

所以 cos∠OFC ?

OF 2 7 ? ? CF 7 14
7 . 7
…………………………13 分

所以二面角 B ? AD ? C 的余弦值为

解法二: 根据上面的证明过程可知 OC 、 OD 、 OA 两两垂直, 则分别以 OC 、 OD 、 OA 所在的直线为 x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则 C ( 2 3 ,0,0), D (0,2,0), A (0,0,2), CD ? (?2 3,2,0), AD ? (0,2, ?2) , 设平面 ACD 的法向量为 m ? ( x, y, z) 则

? x2 ? y2 ? 1 ? ?4 由? 得 (m 2 ? 9) x 2 ? 12mx ? 0 , ?y ? 3 x ?1 ? 2m ? 12 m 12m 9 ? m 2 ? x1 ? 0, x 2 ? 2 ? D( 2 , ) m ?9 m ? 9 m2 ? 9 据已知, m ? 0, m 2 ? 3 .

……………………10 分

?x ? 3 ? ??2 3x ? 2 y ? 0 ? ?m CD ? 0 ? ?? ? ? y ? 3 , 取m ? ( 3,3,3) . ? ?m AD ? 0 ? ?2 y ? 2 z ? 0 ?z ? 3 ? ?
又平面 ABD 的一个法向量 n ? (1,0,0) ,

…………11 分

z

A

FD

y

m2 ?1 9 ? m2 ? 2 2 2 2 2 m ? 9 ? (m ? 3)(m ? 3) ? ? m ? 3 ? 直线 CD 的斜率 k ? 1 ? m 4m 12m 4m ? 4m(m 2 ? 3) ? 2 2 1? m 9?m 2 m ?1 m2 ? 3 4m ?? (x ? 2 ) . ………12 分 ? 直线 CD 的方程为 y ? 2 4m m ?1 m ?1 令 x ? 0 ,得 y ? 2, ? CD 与 y 轴交点的位置与 m 无关. …………13 分
20.本小题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与 方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等.满分 14 分. 解:(Ⅰ)

mn 7 所以 cos ? m, n ?? ? | m || n | 7
显然所求角是锐二面角, 所以二面角 B ? AD ? C 的余弦值为

O (E)
B
7 . 7
………13 分 (第 18 题图)

C

x

19.本小题主要考查椭圆标准方程与性质、直线与圆锥曲线位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求 解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想等.满分 13 分. 解:(Ⅰ)? A(0,1), B(0,?1) , M ( m, ) ? AM ? ( m, ? ), BM ? ( m, ) .
2 又 AM ? BM ? AM ? BM ? 0 即 m ?

1 2

1 2

3 2

………2 分

f ?( x) ? 3x2 ? 3(t ? 1) x ? 3t ? 3( x ?1)( x ? t ) ,又 f ( x) 在 (0, 2) 无极值 ?t ? 1 …………………………………………3 分 ( Ⅱ ) ① 当 t ? 0 时 , f ( x ) 在 (0,1) 单 调 递 减 , 在 (1, 2) 单 调 递 增 , ? f ( x) 在 ? 0, 2? 的 最 小 值 为 1 3 f (1) ? ? t 2 2 ②当 0 ? t ? 1 时, f ( x ) 在 (0, t ) 单调递增,在 (t ,1) 单调递减,在 (1, 2) 单调递增, ? f (1) ? f (0) 或 f (t ) ? f (2)
由 f (t ) ? f (2) 得: ?t 3 ? 3t 2 ? 4 在 0 ? t ? 1 时无解

3 3 ,解得 m ? ? . ……5 分 4 2 1 3 (Ⅱ)直线 AM 的斜率为 k1 ? ? ,直线 BM 斜率为 k 2 ? . 2m 2m 1 3 x ? 1 ,直线 BM 的方程为 y ? x ? 1 .…6 分 ? 直线 AM 的方程为 y ? ? 2m 2m ? x2 ? y 2 ? 1. ? 4m ?4 2 2 由? 得 (m ? 1) x ? 4mx ? 0 ,? x1 ? 0, x 2 ? 2 . m ?1 ? y ? ? 1 x ? 1, ? 2m ?
?C ( 4m m 2 ? 1 , ) m2 ? 1 m2 ? 1
……………………………………8 分

? f (1) ? f (0) 1 ?0 ? t ? ?? 3 ?0 ? t ? 1 ③当 t ? 1 时,不合题意; ④当 1 ? t ? 2 时, f ( x ) 在 (0,1) 单调递增,在 (1, t ) 单调递减,在 (t , 2) 单调递增, ? f (1) ? f (2) ? f (t ) ? f (0) 或? ?? ?1 ? t ? 2 ?1 ? t ? 2 ?1 3 ? 1 3 3 2 ? ? t ? 3 ?? t ? t ? 1 ? 1 即 ?2 2 或? 2 2 ? ? ?1 ? t ? 2 ?1 ? t ? 2 5 ? ? t ? 2 或 3 ? t (舍去) 3 ⑤当 t ? 2 时, f ( x ) 在 (0,1) 单调递增,在 (1, 2) 单调递减,
? f ( x) max ? f (1) ?
4

1 3 ? t 2 2

综 上 : t ? ? ??, ? ? ? , ?? ? 时 , 存 在 x0 ? (0, 2) , 使 得 f ( x0 ) 是 f ( x ) 在 ? 0, 2? 上 的 最 3 3

? ?

1? ?

?5 ?

? ?

值.
3 2

…………………………………………………8 分
x 2

(Ⅲ)当 t ? 1 时,若 f ( x) ? xex ? 5x2 ? 5x ? m ? 2 对任意 x ??0, ??? 恒成立 即 x ? 3x ? 3x ? 1 ? xe ? 5x ? 5x ? m ? 2 对任意 x ??0, ??? 恒成立

? m ? xe x ? x3 ? 2 x 2 ? 2 x ? 1 , 即 m ? x(e x ? x2 ? 2 x ? 2) ? 1 对任意 x ??0, ??? 恒成立
令 g ( x) ? e x ? x2 ? 2 x ? 2 , x ??0, ???

(3) 本小题主要考查绝对值不等式等基础知识, 考查运算求解能力、 推理论证能力, 考查化归与转化思想. 满 分7分. 1 3 1 解:(Ⅰ)当 a ? 1 时,得 2 x ? 1 ? 1 , 即 x ? 1 ? , 解得 x ? 或x ? , 2 2 2 1 3 ∴不等式的解集为 (??, ] [ , ??) . ……………… 3 分 2 2 ax ? 1 ? ax ? a ? a ? 1 , (Ⅱ)∵ ∴原不等式解集为 R 等价于 a ? 1 ? 1. ∴ a ? 2, 或a ? 0. ∵ a ? 0 ,∴ a ? 2. ∴实数 a 的取值范围为 [2,??) . …………… 7 分

g ?( x) ? e x ? 2 x ? 2 ,若 g?( x0 ) ? ex0 ? 2x0 ? 2 ? 0 ,即 ex0 ? 2x0 ? 2
则 0 ? x0 ? 2

? g ( x)min ? g ( x0 ) ? ex0 ? x02 ? 2x0 ? 2 ? 2x0 ? 2 ? x02 ? 2x0 ? 2 ? 4 ? x02 ? 0 ? xg ( x) ? 0 ,? xg ( x) ? 1 ? 1 ,? m ? 1 . ……………………14 分
21.(1)本小题主要考查矩阵的运算等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分7分. (Ⅰ)设矩阵 B ? ?

?a b? ?1 ? , 则由 A ? PBP 得 AP ? PB ?c d?

?? a ? 3c ? ?2 ? ?b ? 3d ? 9 ? 5 3 ?? ?1 3 ? ? ?1 3 ?? a b ? ? 即? 整理得 ? , ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 0 ?? 1 ?2 ? ? 1 ?2 ?? c d ? ? a ? 2c ? 2 ? ? b ? 2 d ? ?6 ? 2 0? 解得 a ? 2, b ? 0, c ? 0, d ? 3 ,即 B ? ? ………………4 分 ?. ? 0 3?
(Ⅱ)由(1)知 B 2 ? ?

? 2 0 ?? 2 ?? ? 0 3 ?? 0 ? 4 0 ?? 2 3 2 所以 B ? B B ? ? ?? ? 0 9 ?? 0

0? ? 4 0? ??? ?, 3 ? ?0 9 ? 0? ?8 0 ? ??? ?. 3 ? ? 0 27 ?

……………………7 分

(2)本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想.满分7 分. 解:(Ⅰ)曲线 C 的普通方程为: ( x ?1) ? y ? 1
2 2

直线 l 的直角坐标方程: y ? x . (Ⅱ)圆心(1,0)到直线 l 的距离 d ?

……………………3 分

2 , 2 2 2 +1 | AB |? 2 12 ? ( )2 ? 2 , 2 2

则圆上的点到直线的最大距离为 d ? r = 所以 ?ABM 面积的最大值为 S?ABM ?

1 2 2 ?1 ? 2 ?( ? 1) ? .……7 分 2 2 2
5


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