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陕西省兴平市秦岭中学2015届高三数学上学期第一次摸底试卷 文(含解析)


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陕西省兴平市秦岭中学 2015 届高三上学期第一次摸底数学试卷 (文 科)
一、选择题(每题只有一个正确答案,共 10 道小题,每题 5 分,共计 50 分) 2 2 1. (5 分)若 A={x|x =1},B={x|x ﹣2x﹣3=0},则 A∩B=() A. 3 B. 1

C. ? D. ﹣1 2. (5 分)a=0 是复数 a+bi(a,b∈R)为纯虚数的()条件. A. 充分 B. 必要 C. 充要

D. 非充分非必要

3. (5 分)为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将二人最近 6 次数学测试的分数进行 统计,甲乙两人的平均成绩分别是 、 ,则下列说法正确的是()

A. B. C. D.

> > < <

,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛 ,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛 ,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛 ,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛

4. (5 分)不等式|x ﹣2|<2 的解集是() A. (﹣1,1) B. (﹣2,2) (0,2)

2

C. (﹣1,0)∪(0,1) D. (﹣2,0)∪

5. (5 分)已知等差数列{an}的前 13 项之和为 39,则 a6+a7+a8 等于() A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 6. (5 分)运行如图所示框图的相应程序,若输入 a,b 的值分别为 log23 和 log32,则输出 M 的值是()

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A. 0

B. 1

C. 2

D. ﹣1

7. (5 分)某几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积为()

A. 12
2

B.

C.

D.

8. (5 分)函数 y=ax +1 的图象与直线 y=x 相切,则 a=() A. B. C. D. 1

9. (5 分)已知 x,y 满足不等式组

,则 z=2x+y 的最大值与最小值的比值为()

A.

B.

C.

D. 2

10. (5 分)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(﹣1)+g(1)=2,f(1)+g(﹣1) =4,则 g(1)等于() A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

二、填空题(本题共 4 小题,每题 5 分,共计 25 分) 11. (5 分)若直线 2tx+3y+2=0 与直线 x+6ty﹣2=0 平行,则实数 t 等于.

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12. (5 分)函数 f(x)=ax ﹣2ax +(a+1)x 不存在极值点,则实数 a 的取值范围是. 13. (5 分)从 1=1,1﹣4=﹣(1+2) ,1﹣4+9=1+2+3,1﹣4+9﹣16=﹣(1+2+3+4) ,…,推广 到第 n 个等式为.

3

2

14. (5 分)已知向量 和 的夹角为 120°,且| |=2,| |=5,则(2 ﹣ )? =. ?

考生注意:请在 15、16、17 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.【几 何证明选做题】 15. (5 分) (几何证明选讲选做题)如图,CD 是圆 O 的切线,切点为 C,点 B 在圆 O 上,BC=2, ∠BCD=30°,则圆 O 的面积为.

【极坐标系与参数方程选做题】 16.极坐标方程 ρ =2sinθ +4cosθ 表示的曲线截 θ = (ρ ∈R)所得的弦长为.

【不等式选做题】 17.不等式|2x﹣1|<|x|+1 解集是.

三、解答题(要求要有一定的解答或推理过程,本题共 6 小题,共计 75 分, ) 2 18. (12 分)已知函数 f(x)=sin2x﹣2sin x (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期. (Ⅱ)求函数 f(x)的最大值及 f(x)取最大值时 x 的集合. 19. (12 分)等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9, (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

20. (12 分) 已知三棱锥 P﹣ABC 中, PC⊥底面 ABC, AB=BC, D、 F 分别为 AC、 PC 的中点, DE⊥AP 于 E. (Ⅰ)求证:AP⊥平面 BDE;

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅱ)求证:平面 BDE⊥平面 BDF.

21. (12 分)袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各 1 个,从中任取 1 只,有放回地抽取 3 次. 求: (1)3 只全是红球的概率; (2)3 只颜色全相同的概率; (3)3 只颜色不全相同的概率. 22. (13 分)已知三点 P(5,2) 、F1(﹣6,0) 、F2(6,0) . (Ⅰ)求以 F1、F2 为焦点且过点 P 的椭圆标准方程; (Ⅱ)设点 P、F1、F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P′、F1′、F2′,求以 F1′、F2′为焦点 且过点 P′的双曲线的标准方程. 23. (14 分)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 P(1,f(1) )处的切线方程 为 y=3x+1. (1)若函数 y=f(x)在 x=﹣2 时有极值,求 f(x)表达式; (2)若函数 y=f(x)在区间[﹣2,1]上单调递增,求实数 b 的取值范围.
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陕西省兴平市秦岭中学 2015 届高三上学期第一次摸底数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(每题只有一个正确答案,共 10 道小题,每题 5 分,共计 50 分) 2 2 1. (5 分)若 A={x|x =1},B={x|x ﹣2x﹣3=0},则 A∩B=() A. 3 B. 1 C. ? D. ﹣1 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 先求出 A 与 B 的解集,然后根据交集的定义即可得出答案. 2 2 解答: 解:∵A={x|x =1}={﹣1,1},B={x|x ﹣2x﹣3=0}={﹣1,3}, ∴A∩B={﹣1}, 故选 D. 点评: 本题考查了交集及其运算,属于基础题,关键是掌握交集的定义. 2. (5 分)a=0 是复数 a+bi(a,b∈R)为纯虚数的()条件. A. 充分 B. 必要 C. 充要

D. 非充分非必要

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考点: 复数的基本概念. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 复数 a+bi(a,b∈R)为纯虚数? 解答: 解:复数 a+bi(a,b∈R)为纯虚数? ,即可判断出. ,

因此 a=0 是复数 a+bi(a,b∈R)为纯虚数的必要不充分条件. 故选:B. 点评: 本题考查了复数为纯虚数的充要条件,属于基础题. 3. (5 分)为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将二人最近 6 次数学测试的分数进行 统计,甲乙两人的平均成绩分别是 、 ,则下列说法正确的是()

A. B. C. D.

> > < <

,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛 ,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛 ,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛 ,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛

考点: 茎叶图;众数、中位数、平均数. 专题: 计算题. 分析: 根据茎叶图所给的两组数据,做出甲和乙的平均数,把两个人的平均数进行比较, 得到乙的平均数大于甲的平均数,得到结论. 解答: 解:由茎叶图知, 甲的平均数是 乙的平均数是 =82, =87

∴乙的平均数大于甲的平均数, 从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定, 故选 D. 点评: 本题考查两组数据的平均数和稳定程度,这是经常出现的一个问题,对于两组数据 通常比较他们的平均水平和稳定程度,注意运算要细心. 4. (5 分)不等式|x ﹣2|<2 的解集是()
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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. (﹣1,1) (0,2) B. (﹣2,2) C. (﹣1,0)∪(0,1) D. (﹣2,0)∪

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 直接利用绝对值不等式的解法,去掉绝对值后,解二次不等式即可. 2 2 2 解答: 解:不等式|x ﹣2|<2 的解集等价于,不等式﹣2<x ﹣2<2 的解集,即 0<x <4, 解得 x∈(﹣2,0)∪(0,2) . 故选 D. 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,考查转化思想与计算能力. 5. (5 分)已知等差数列{an}的前 13 项之和为 39,则 a6+a7+a8 等于() A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题;整体思想. 分析: 根据等差数列的前 n 项和的公式列得 s13=39,化简得到一个关系式,然后利用等差数 列的通项公式表示出所求的式子,整体代入可得值. 解答: 解:根据等差数列的求和公式可得:s13=13a1+ d=39,化简得:a1+6d=3,

所以 a6+a7+a8=a1+5d+a1+6d+a1+7d=3a1+18d=3(a1+6d)=3×3=9. 故选 B 点评: 考查学生掌握等差数列的通项公式及前 n 项和的公式,学生做题时应注意整体代入 的思想方法. 6. (5 分)运行如图所示框图的相应程序,若输入 a,b 的值分别为 log23 和 log32,则输出 M 的值是()

A. 0

B. 1

C. 2

D. ﹣1

考点: 程序框图. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是计算分段函数 M= 的值.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是计算分段函数 M= 的值.

∵a=log23,b=log32, ∴a>b ∴M=log23×log32+1=2 故选 C 点评: 本题考查的知识眯是程序框图,其中根据程序框图分析出程序框图的功能是解答本 题的关键. 7. (5 分)某几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积为()

A. 12 考点: 专题: 分析: 解答: 所以 V=

B.

C.

D.

由三视图求面积、体积. 计算题. 由三视图可知,几何体为三棱柱,再根据公式求解即可. 解:由三视图可知,几何体为三棱柱, ,

故选 D. 点评: 本题考查学生的空间想象能力,是基础题. 8. (5 分)函数 y=ax +1 的图象与直线 y=x 相切,则 a=() A. B. C. D. 1
2

考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 因为函数与直线相切,则函数与直线有一个公共点,则把两个解析式联立得到一个 一元二次方程,利用△=0 求出 a 即可. 2 解答: 解:把两个解析式联立得方程 ax ﹣x+1=0,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 当 a≠0 时,由△=0 即得 a= 故答案为 B. 点评: 此题利用导数作麻烦!利用两个函数求交点的思路来做比较简单.

9. (5 分)已知 x,y 满足不等式组

,则 z=2x+y 的最大值与最小值的比值为()

A.

B.

C.

D. 2

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 本题处理的思路为: 根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域, 再用角点法, 求出目标函数的最值,即可求解比值. 解答: 解:约束条件 对应的平面区域如下图示: 当直线 z=2x+y 过 A(2,2)时,Z 取得最大值 6. 当直线 z=2x+y 过 B(1,1)时,Z 取得最小值 3, 故 z=2x+y 的最大值与最小值的比值为:2. 故选 D.

点评: 本题考查的知识点是线性规划,考查画不等式组表示的可行域,考查数形结合求目 标函数的最值. 10. (5 分)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(﹣1)+g(1)=2,f(1)+g(﹣1) =4,则 g(1)等于() A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 考点: 专题: 分析: g(1) . 解答: =4②, 奇偶性与单调性的综合. 函数的性质及应用. 由 f(x) 、g(x)的奇偶性可得关于 f(1) 、g(1)的方程组,消掉 f(1)即可求得 解:由 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数得,﹣f(1)+g(1)=2①,f(1)+g(1)

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 由①②消掉 f(1)得 g(1)=3, 故选 B. 点评: 本题考查函数奇偶性及其应用,属基础题,定义是解决该类问题的基本方法. 二、填空题(本题共 4 小题,每题 5 分,共计 25 分) 11. (5 分)若直线 2tx+3y+2=0 与直线 x+6ty﹣2=0 平行,则实数 t 等于 .

考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 两直线平行需斜率相等,且截距不等,由此可得 t 的值. 解答: 解:∵直线 2tx+3y+2=0 的斜率为 要使两直线平行,需直线 x+6ty﹣2=0 有斜率, 且 = , ,

解得 t= ,或 t=﹣ 当 t=﹣ 时,两直线方程均可化为 x﹣3y﹣2=0,直线重合应舍去, 故答案为: . 点评: 本题考查直线的一般式方程和平行关系,注意去掉重合的情形是解决问题的关键, 属基础题. 12. (5 分)函数 f(x)=ax ﹣2ax +(a+1)x 不存在极值点,则实数 a 的取值范围是 0≤a≤3. 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 由已知函数解析式可得导函数解析式,根据导函数不变号,函数不存在极值点,分 别讨论 a=0 和 a≠0 时,a 的取值,综合讨论结果可得答案. 3 2 解答: 解:∵f(x)=ax ﹣2ax +(a+1)x 2 ∴f′(x)=3ax ﹣4ax+(a+1) 若 a=0,则 f′(x)=1>0 恒成立,f(x)在 R 上为增函数,满足条件 2 若 a≠0,则△=16a ﹣12a(a+1)≤0 时, 即 0<a≤3 时,f′(x)≥0 恒成立,f(x)在 R 上为增函数,满足条件 3 2 综上,函数 f(x)=ax ﹣2ax +(a+1)x 不存在极值点的充要条件是 0≤a≤3 故答案为:0≤a≤3 点评: 本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件,其中 a=0 这种情况易被忽略. 13. (5 分)从 1=1,1﹣4=﹣(1+2) ,1﹣4+9=1+2+3,1﹣4+9﹣16=﹣(1+2+3+4) ,…,推广 n+1 2 n+1 到第 n 个等式为 1﹣4+9﹣16+…+(﹣1) ?n =(﹣1) ?(1+2+3+…+n) . 考点: 归纳推理.
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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 本题考查的知识点是归纳推理, 解题的步骤为, 由 1=1, 1﹣4=﹣ (1+2) , 1﹣4+9=1+2+3, 1﹣4+9﹣16=﹣(1+2+3+4) ,…,中找出各式运算量之间的关系,归纳其中的规律,并大胆猜 想,给出答案. 1+1 解答: 解:∵1=1=(﹣1) ?1 2+1 1﹣4=﹣(1+2)=(﹣1) ?(1+2) 3+1 1﹣4+9=1+2+3=(﹣1) ?(1+2+3) 4+1 1﹣4+9﹣16=﹣(1+2+3+4)=(﹣1) ?(1+2+3+4) … n+1 2 n+1 所以猜想:1﹣4+9﹣16+…+(﹣1) ?n =(﹣1) ?(1+2+3+…+n) n+1 2 n+1 故答案为:1﹣4+9﹣16+…+(﹣1) ?n =(﹣1) ?(1+2+3+…+n) 点评: 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的 相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) .

14. (5 分)已知向量 和 的夹角为 120°,且| |=2,| |=5,则(2 ﹣ )? =13. ? 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 由向量数量积的运算性质可得(2 ﹣ )? = 解答: 解:∵ 和 的夹角为 120°,且| |=2,| |=5, 则(2 ﹣ )? = =8﹣2×5×cos120°=13 ,代入已知即可求解

故答案为:13 点评: 本题主要考查了向量的数量积的基本运算性质的应用,解题的关键是 数练应用基本 公式. 考生注意:请在 15、16、17 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.【几 何证明选做题】 15. (5 分) (几何证明选讲选做题)如图,CD 是圆 O 的切线,切点为 C,点 B 在圆 O 上,BC=2, ∠BCD=30°,则圆 O 的面积为 4π .

考点: 弦切角. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 通过弦切角转化为,圆周角,然后求出圆心角,结合弦长,得到半径,然后求出圆 的面积. 解答: 解:因为弦切角等于同弧上的圆周角,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 所以,∠BCD=30°, ∠A=30°, 则∠BOC=60°, 根据 60°的圆心角所对弦等于半径 因为 BC=2 所以圆的半径为 2 所以圆的面积为:4π 故答案为:4π

点评: 本题是基础题,考查弦切角的应用,圆周角与圆心角的关系,确定面积的求法,考 查计算能力. 【极坐标系与参数方程选做题】 16.极坐标方程 ρ =2sinθ +4cosθ 表示的曲线截 θ = (ρ ∈R)所得的弦长为 .

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 分别化圆和直线的极坐标方程为直角坐标方程,求出圆的圆心和半径,由点到直线 的距离公式求出弦心距,由勾股定理得答案. 2 解答: 解:由 ρ =2sinθ +4cosθ ,得 ρ =2ρ sinθ +4ρ cosθ , 2 2 2 2 即 x ﹣4x+y ﹣2y=0, (x﹣2) +(y﹣1) =5. ∴圆的圆心(2,1) ,半径 r= . 由θ = ,得 tanθ =1,表示直线 y=x,即 x﹣y=0, , .

点(2,1)到 x﹣y=0 的距离 d= 半弦等于

∴所得的弦长为 . 故答案为: . 点评: 本题考查了简单曲线的极坐标方程,考查了直线和圆的位置关系,是基础题. 【不等式选做题】 17.不等式|2x﹣1|<|x|+1 解集是{x|0<x<2}.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 专题: 分析: 解答: 绝对值不等式的解法. 计算题;不等式. 利用绝对值的几何意义,分类讨论,即可得出结论. 解:x<0 时,不等式可化为 1﹣2x<﹣x+1,解得 x>0,不成立;

0≤x≤ 时,不等式可化为 1﹣2x<x+1,解得 x>0,∴0<x≤ ; x> 时,不等式可化为 2x﹣1<x+1,解得 x<2,∴ <x<2, 综上,0<x<2, 故答案为:{x|0<x<2}. 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了等价转化的数学思想,属于中档题. 三、解答题(要求要有一定的解答或推理过程,本题共 6 小题,共计 75 分, ) 2 18. (12 分)已知函数 f(x)=sin2x﹣2sin x (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期. (Ⅱ)求函数 f(x)的最大值及 f(x)取最大值时 x 的集合. 考点: 三角函数的周期性及其求法. 分析: (1)先将函数 f(x)化简为 f(x)= (2)令 2x+ =2kπ + ,可直接得到答案. sin(2x+ )﹣1 sin(2x+ )﹣1,根据 T= 可得答案.

解答: 解: (1)因为 f(x)=sin2x﹣(1﹣cos2x)= 所以函数 f(x)的最小正周期为 T= (2)由(1)知,当 2x+ =2kπ + =π ,即 x=kπ

(k∈Z)时,f(x)取最大值 ,k∈Z}

因此函数 f(x)取最大值时 x 的集合为:{x|x=kπ +

点评: 本题主要考查三角函数最小正周期合最值的求法.属基础题. 19. (12 分)等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9, (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (I)由 a7=4,a19=2a9,结合等差数列的通项公式可求 a1,d,进而可求 an (II)由 = = ,利用裂项求和即可求解

解答: 解: (I)设等差数列{an}的公差为 d ∵a7=4,a19=2a9,

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解得,a1=1,d= ∴ (II)∵ ∴sn= = = = = =

点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用,试题比较容易 20. (12 分) 已知三棱锥 P﹣ABC 中, PC⊥底面 ABC, AB=BC, D、 F 分别为 AC、 PC 的中点, DE⊥AP 于 E. (Ⅰ)求证:AP⊥平面 BDE; (Ⅱ)求证:平面 BDE⊥平面 BDF.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)利用线面垂直的判定定理易证 BD⊥平面 PAC,于是有 PA⊥BD,再利用线面垂 直的判定定理即可证得 AP⊥平面 BDE; (Ⅱ)依题意知,DF∥AP,而 AP⊥DE,于是可得 DF⊥DE,即平面 BDE 与平面 BDF 的二面角为 直角,从而可证平面 BDE⊥平面 BDF. 解答: 解: (Ⅰ)∵PC⊥底面 ABC,BD? 底面 ABC, ∴PC⊥BD; 又 AB=BC,D 为 AC 的中点, ∴BD⊥AC,PC∩AC=C, ∴BD⊥平面 PAC,PA? 平面 PAC, ∴PA⊥BD,又 DE⊥AP,BD∩DE=E, ∴AP⊥平面 BDE; (Ⅱ)由 AP⊥平面 BDE 知,AP⊥DE;又 D、F 分别为 AC、PC 的中点, ∴DF 是△PAC 的中位线,∴DF∥AP,∴DF⊥DE,即∠EDF=90°, 由 BD⊥平面 PAC 可知, DE⊥BD, DF⊥BD, ∠EDF 为平面 BDE 与平面 BDF 的二面角, 又∠EDF=90°, ∴平面 BDE⊥平面 BDF.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查线面垂直的判定定理与性质定理的应用,考查面面垂直的定义的应用,考 查推理与证明的能力,属于中档题. 21. ( 12 分)袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各 1 个,从中任取 1 只,有放回地抽取 3 次. 求: (1)3 只全是红球的概率; (2)3 只颜色全相同的概率; (3)3 只颜色不全相同的概率. 考点: 等可能事件的概率;互斥事件与对立事件;相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 计算题. 分析: (1)由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率,从袋中摸球,摸到红球的 概率是 ,三次有放回到摸球可以看做是三次独立重复试验,根据概率公式得到结果. (2)三只颜色全相同,则可能抽到红色和黄色两种情况,这两种情况是互斥的,根据做出的 每个球被抽到的概率和相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率,得到结果. (3)根据二问做出的结果,三只颜色不全相同,是三只颜色全部相同的对立事件,用对立事 件的概率得到结果,或者是用树状图列出的结果求出比值. 解答: 解: (1)由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率, 从袋中摸球,摸到红球的概率是 , 三次有放回到摸球可以看做是三次独立重复试验, ∴P= (2)利用树状图我们可以列出有放回地抽取 3 次球的所有可能结果:





3 只颜色全相同的概率为 P2=2× =2? = . (3)3 只颜色不全相同的概率为 (或 )

答:全部摸到红球的概率是 ,3 只颜色全相同的概率是 ,3 只颜色不全相同的概率是 点评: 本题考查等可能事件的概率,相互独立事件同时发生的概率,本题解题的关键是看 清条件中所给的是有放回的抽样, 注意区别有放回和无放回两种不同的情况, 本题是一个中档 题目. 22. (13 分)已知三点 P(5,2) 、F1(﹣6,0) 、F2(6,0) . (Ⅰ)求以 F1、F2 为焦点且过点 P 的椭圆标准方程; (Ⅱ)设点 P、F1、F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P′、F1′、F2′,求以 F1′、F2′为焦点 且过点 P′的双曲线的标准方程.

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考点: 圆锥曲线的综合;椭圆的应用. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)根据题意设出所求的椭圆的标准方程,然后代入半焦距,求出 a,b.最后写 出椭圆标准方程. (Ⅱ)根据三个已知点的坐标,求出关于直线 y=x 的对称点分别为点,设出所求双曲线标准方 程,代入求解即可. 解答: 解: (1)由题意可设所求椭圆的标准方程为 (a>b>0) , 其半焦距 c=6



,b =a ﹣c =9.

2

2

2

所以所求椭圆的标准方程为 (2)点 P(5,2) 、F1(﹣6,0) 、F2(6,0) 关于直线 y=x 的对称点分别为点 P′(2,5) 、F1′(0,﹣6) 、F2′(0,6) . 设所求双曲线的标准方程为 由题意知,半焦距 c1=6, , b1 =c1 ﹣a1 =36﹣20=16. 所以所求双曲线的标准方程为 .
2 2 2

点评: 本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本 运算能力.属于中档题. 23. (14 分)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 P(1,f(1) )处的切线方程 为 y=3x+1. (1)若函数 y=f(x)在 x=﹣2 时有极值,求 f(x)表达式; (2)若函数 y=f(x)在区间[﹣2,1]上单调递增,求实数 b 的取值范围. 考点: 函数在某点取得极值的条件;函数的单调性与导数的关系. 分析: (1)求出导函数,令导函数在 1 处的值为 3,在﹣2 处的值为 0,函数在 1 处的值为 4,列出方程组求出 a,b,c 的值.
3 2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)令导函数大于等于 0 在[﹣2,1]上恒成立,通过对对称轴与区间关系的讨论求出导函数 在区间的最小值,令最小值大于等于 0,求出 b 的范围. 2 解答: 解: (1)f′(x)=3x +2ax+b ∵曲线 y=f(x)在点 P(1,f(1) )处的切线方程为 y=3x+1. ∴ 即

∵函数 y=f(x)在 x=﹣2 时有极值 ∴f′(﹣2)=0 即﹣4a+b=﹣12



解得 a=2,b=﹣4,c=5 3 2 ∴f(x)=x +2x ﹣4x+5 (2)由(1)知,2a+b=0 2 ∴f′(x)=3x ﹣bx+b ∵函数 y=f(x)在区间[﹣2,1]上单调递增 2 ∴f′(x)≥0 即 3x ﹣bx+b≥0 在[﹣2,1]上恒成立 f′(x)的最小值为 f′(1)=1﹣b+b≥0∴b≥6 f′(﹣2)=12+2b+b≥0∴b∈?

,f′(x)的最小值为 ∴0≤b≤6 总之 b 的取值范围是 b≥0. 点评: 本题考查导数的几何意义:导数在切点处的值是切线的斜率;考查函数单调递增对 应的导函数大于等于 0 恒成立, .

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