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等比数列的概念课件


临沂一中高二数学组

旧知回顾
名称 概念 常数 性质 通项 通项 变形 等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数 公差(d) d可正可负,且可以为零

an ? a1 ? (n ? 1)d
a n ? a k ? (n ? k )d
(n, k ? N )
*

> 创设情景,引入新课
(1)“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”

(2) 一位数学家说过:你如果能将一张 纸对折38次,我就能顺着它在今天晚上爬 上月球。

以上两个实例所包含的数学问题:

1 1 1 1 (1) 1 , , , , ,… 4 8 2 16
(2) 1 ,2 ,4 ,8 ,16 ,32 ,…

等比数列概念
等比数列
?

一般地,如果一个数列从第2项起,每一 项与它的前一项的 比 等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列 ,这个常数叫 做等比数列的公比(q)。

等差数列
?

一般地,如果一个数列从第2项起,每一 项与它的前一项的 差 等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列 ,这个常数叫 做等差数列的公差(d)。

课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) (2) (3) (4) (5) 1,3,9,27,81,…
1 1 1 1 , , , ,? 2 4 8 16

是,公比 q=3
1 是,公比 q= 2

5,5,5,5,5,5,… 1,-1,1,-1,1,… 1,0,1,0,1,…

是,公比 q=1 是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列

(6)
(7)

0,0,0,0,0,… 2 3 4

1, x , x , x , x , ?( x ? 0)

是,公比 q= x

对概念的更深理解 an?1 ? q(是与n无关的数或式子 且q ? 0) , an
(1) (2) (3) (4) (5) (6)

1. 各项不能为零,即 an ? 0 1,3,9,27,… 2. 公比不能为零,即 q ? 0 1 1 1 1 , , , , ? 3. 当q>0,各项与首项同号
2 4 8 16

5, 5, 5, 5,… 1,-1,1,-1,… 1,0,1,0,… 0,0,0,0,…

当q<0,各项符号正负相间 4. 数列 a, a , a , … a ? 0 时,既是等差数列 又是等比数列;

a ? 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.

等差数列通项公式的推导:
方法一:(叠加法)

a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d a4 ? a3 ? d … … an?1 ? an?2 ? d

an ? an?1 ? d

?

an ? an?1 ? d
a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d

方法二:(归纳法)

(n-1)个 式子

? a1 ? 2d

? (a1 ? d ) ? d

a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d

? a1 ? 3d

an ? a1 ? (n ? 1)d

an ? a1 ? (n ? 1)d

… …

an ? q ?n ? 2? 等比数列通项公式的推导: n ?1 a
方法一:叠乘法

a2 ?q a1

a3 ?q a2 a4 ?q a3 an ?q an ?1

… …

?

方法二:归纳法

a2 ? a1q

(n-1)个 式子

a3 ? a2 q ? (a1q)q 2 ? a1q
a4 ? a3q ? (a1q )q
2

? a1q

3

… …
n ?1

an n ?1 ?q a1

an ? a1q

等比数列的通项公式
等比数列 an ,首项为 a1,公比为q,则通项公式为
当q=1时,这是 一个常函数。

? ?

an ? 0

an ? a1 ? q

n ?1

变形结论:
在等差数列 ?an ? 中

an ? am ? (n ? m)d
(n, m ? N * )
试问:在等比数列 ?an ? 中,如果知道 am 和公 比q,能否求 an ?如果能,请写出表达式。

an ? amq

n ?m

(n, m ? N )
*

等比中项的定义
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成 等比数列,那么G就叫做a与b的等比中项 在这个定义下,由等比数列的定义可得

G b ? 即 a G 2 G ? ab ? G ? ? ab

等比数列的通项公式练习

课后练习P53 A1 , 7

典型例题
例1 一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18,求它的第1项与第2项.
解:设这个等比数列的第1项是

a

a q ? 12 a q ? 18
2 1 3 1

1

,公比是q ,那么

解得, 因此

3 q? 2
2 1

16 , a ? 3
1

16 答:这个数列的第1项与第2项分别是 与 8. 3

16 3 a ? aq ? ? ?8 3 2

课堂互动
1 4 ? ,求它的第1项; (1)一个等比数列的第5项是 ,公比是 9 3

解:设它的第一项是 a1,则由题意得

1 5?1 4 a1 ? ( ? ) ? 3 9
解得,

a1 ? 36

答:它的第一项是36 .
(2)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项. 解:设它的第一项是 a1,公比是 q ,则由题意得 a1q ? 10 , a1q 2 ? 20 解得, a1 ? 5 , q ? 2 a4 ? a1q3 ? 40 因此 答:它的第一项是5,第4项是40.

等比数列的例题
求证

例2 已知 ?a n ?, ?bn ?是项数相同的等比数列,

?an ? bn ? 是等比数列.
n?1 1 n?1

证明:设数列 ?an ?首项为a1,公比为q1? n ?首项为b1,公比为q 2 ;b 那么数列 ?an ? bn ?的第n项与第n+1项 分别为:

a1 ? q
即为

? b1 ? q2 与a1 ? q ? b1 ? q2
n 1

n

a1b1 (q1q2 ) 与a1b1 (q1q2 )

n?1

n

an?1 ? bn?1 a1b1 (q1q2 ) n ? ? ? q1q2 .它是一个与n无关的常数, n ?1 an ? bn a1b1 (q1q2 )
所以 ?an ? bn ? 是一个以 q1q2 为公比的等比数列

合作交流
例3、等比数列 { a n } 中, a 4 · 7 = -512,a 3 + a 8 = 124, a
公比 q 为整数,求 a 10. 法一:直接列方程组求 a 1、q。 法二:在法一中消去了 a 1,可令 t = q 5 法三:由 a 4 · 7 = a 3 · 8 = -512 a a
2 ? a3 ? 124 3 ? 512 ? 0 a

? a3 ? 128 a3 ? ?4 或
∵ 公比 q 为整数

? a 3 ? 128 ? a 3 ? ?4 ?? 或? ? a 8 ? ?4 ?a 8 ? 128

? a3 ? ?4 128 5 ?? ?q ? ? ?32 ? q ? ?2 ?4 ?a8 ? 128
∴ a 10 = a 3×q 10 -3= -4×(-2) 7= 512

回顾小结
等比数列 从第2项起,每一项与它前 一项的比等同一个常数 公比(q) q可正可负,但不可为零
名称 概念

等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数 公差(d) d可正可负,且可以为零

常数

性质
通项 通项 变形

an ? a1 ? q n? k an ? akq

n ?1

(n, k ? N )
*

an ? a1 ? (n ? 1)d a n ? a k ? (n ? k )d *

(n, k ? N )


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