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专题04 三角函数与三角形-2014届高三名校数学(理)试题解析分项汇编(第02期) Word版含解析


一.基础题组 1.
( 【浙江省嘉兴一中 2014 届高三上学期入学摸底数学(理)】函数 y ? 2 sin( ) A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 ? 的偶函数 B. 最小正周期为 D.最小正周期为

?
2

? 2 x) 是

?
2

的奇函数

r />
?
2

的偶函数

2.

【浙江省温州市十校联合体 2014 届高三 10 月测试数学试题(理科) 】函数

f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0 )的图象如右图所示,为了得到 g ( x) ? A sin ?x 的
图象,可以将 f ( x) 的图象( A.向右平移 ) B.向左平移

?
6

个单位长度

?
3

个单位长度

C.向左平移

? 个单位长度 6

D.向右平移

? 个单位长度 3

【答案】A 【解析】 试题分析:由题意知 A ? 1, T ? 4(

( , 0) 代入解析式,可取 ? ? ,故 f ( x) ?sin(2 x ? ) sin[2( ? 3 3 3
的图象向右平移

?

?

7? ? 2? ? ) ? ? ,? ? ? 2 ,所以 f ( x) ? sin(2 x ? ?) ,将点 12 3 T

?

x? )]

?

? 个单位长度得到函数 g ( x) ? sin 2 x 的图象. 6

6

,因此可以将 f ( x)

考点:1.图象平移;2.知图求解析式.

3.

【江西师大附中 2014 届高三年级 10 月测试试卷理】把函数 y ? sin x( x ? R) 图像上所有 点的横坐标缩短到原来的

1 ? 倍(纵坐标不变), 再把图像上所有的点向左平行移动 个单 2 6


位长度,得到的图像所表示的函数是(

(2 x ? A. y ? sin

?
3

)( x ? R ) )( x ? R)

(2 x + C. y ? sin

?
3

x ? )( x ? R) 2 6 2? (2 x + )( x ? R) D. y ? sin 3 ( + B. y ? sin

4.

【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学(理科) 】 sin 2a ?

0?? ?
A.

?
2

,则 2 cos(

?
4

24 , 25

? ? ) 的值为(
1 5
C. ?



1 5

B. ?

1 5

D.

7 5

5.

【河北省邯郸市 2014 届高三 9 月摸底考试数学理科】设函数 f ( x) ? sin x cos 2 x 图象的一 个对称轴是( ) B. x ? 0 C. x ?

A. x ? ?

? 4

?
4

D. x ?

?
2

6.

【江西师大附中 2014 届高三年级 10 月测试试卷理】已知 sin(? ? ? ) ? .

3 , ,则 5

cos(? ? 2? ) =

7. 【湖北省武汉市 2014 届高三 10 月调研测试数学(理) 】设 θ 为第二象限角,若 tan(θ+4)
1 =2,则 sinθ+cosθ= 10 【答案】- 5 .

π

8. 【2014 届广东高三六校第一次联考理】在△ ABC 中,内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、
b 、 c ,已知 a ? 5 , b ?

? 5 2 , A ? ,则 cos B ? 4 3

.

? 9. .【湖北省重点中学 2014 届高三 10 月阶段性统一考试(理) 】若 ? ? ?

5? 3? ? ,则 , ? 4 2 ? ?

1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? 可化简为
【答案】 2 cos ? . 【解析】 试题分析:当 ? ? ?

.

? 5? ?? ? 5? 3? ? ? ,则 sin ? ? cos ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 0 , , ? 时, ? ? ? ? ? 4 4 4? ? 4 2 ? ?



3? ? 7? ?? ? ?? ? ? ,? sin ? ? cos ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 0 ,故 1 ? sin2 ? ? 1 ?sin2 ? ? 2 4 4 4? ?

sin? ? cos? ? sin ? ? cos? ? ?cos? ? sin ? ? ? ?cos? ? sin ? ? ? 2cos? .
考点:1.辅助角公式;2.同角三角函数的基本关系;3.二倍角

二.能力题组

1.

【江西师大附中 2014 届高三年级 10 月测试试卷理】若 f ( x) ? 2cos(? x ? ? ) ? m 对任 意实数 t 都有 f (t ? A. ? 1

?

) ? f (?t ) ,且 f ( ) ? ?1 ,则实数 m 的值等于( 4 8
C. ? 3

?



B.-1 或 3

D.-3 或 1

2.

【浙江省温州八校 2014 届高三 10 月期初联考数学(理)】将函数 y ? 3 cos x ? sin x 的 )

图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位后, 所得到的图像关于 y 轴对称, 则 m 的最小值是 ( A.

π 12

B.

π 6

C.

π 3

D.

5π 6

3. 【浙江省嘉兴一中 2014 届高三上学期入学摸底数学(理)】?ABC 的内角 A, B , C 的对边分
别为 a , b , c ,且 a sin A ? c sin C ? 2a sin C ? b sin B . 则 ?B ? ( A. ) D.
3? 4

?
6

B.

?
4

C.

?
3

4.

【广东省广州市执信、广雅、六中 2014 届高三 10 月三校联考(理) 】将函数 y=2cos2x 的

图象向右平移

?
2

个单位长度,再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的 ) C.y=-2sin4x D.y=-2cos4x

1 倍(纵坐标不 2

变) ,得到的函数解析式为( A.y=cos2x B.y=-2cosx

5.

【中原名校联盟 2013-2014 学年高三上期第一次摸底考试理】如图所示,M,N 是函数 y

=2sin(wx+ ? ) (ω >0)图像与 x 轴的交点,点 P 在 M,N 之间的图像上运动,当△MPN 面 积最大时 PM · PN =0,则ω =

uuu r

uuu r





A.

? 4

B.

? 3

C.

? 2

D.8

考点:三角函数图像与性质,向量的数量积,学生的数形结合能力以及化归与转化的数学思 想.

6.

【山西省山大附中 2014 届高三 9 月月考数学理】已知函数 f ? x ? ? sin ?2 x ? ? ? ,其中 ? 为

实数,若 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒成立,且 f ( ) ? f (? ) .则下列结论正确的是(

?

?

6

2



A. f ?

? 11 ? ? ? ? ?1 ? 12 ?

B. f ?

? 7? ? ?? ? ?? f? ? ? 10 ? ?5? ? ?

C. f ? x ? 是奇函数 【答案】D 【解析】

D. f ? x ? 的单调递增区间是 ?k? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

?k ? Z ?

? 7. .【湖北省重点中学 2014 届高三 10 月阶段性统一考试(理) 】若函数 y ? tan ? x ?? ? N ?

的一个对称中心是 ? A. 2 D. 9

?? ? , 0 ? ,则 ? 的最小值为 ?6 ?
B. 3

( C. 6



8.

【湖北省重点中学 2014 届高三 10 月阶段性统一考试(理) 】若 tan ? ? lg ?10a ? , ( )

1 ? tan ? ? lg ,且 ? ? ? ? ,则实数 a 的值为 a 4

A. 1 D. 1 或 10

B.

1 10

C. 1 或

1 10

9.

【湖北省重点中学 2014 届高三 10 月阶段性统一考试(理) 】在 ?ABC 中, )

“ sin ? A ? B ? cos B ? cos ? A ? B ? sin B ? 1”是 “ ?ABC 是直角三角形”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条

? sin B ? 1,故“ sin ? A ? B? cos B ? cos ? A ? B ? sin B ? 1”是 “ ?ABC 是直角三角形”的
充分不必要条件,故选 A. 考点:1.两角和的正弦公式;2.充分必要条件

10.

【湖北省重点中学 2014 届高三 10 月阶段性统一考试(理) 】已知方程

sin x ?k在 x

?0, ??? 上有两个不同的解 ? 、 ? ?? ? ? ? ,则下列结论正确的是(
A. sin 2? ? 2? cos ?
2



B. cos 2? ? 2? sin ?
2

C. sin 2? ? 2? cos2 ? D. cos2 ? ? 2 ? sin 2 ?

当 x ??? ,2? ? 时, f ? x ? ? ? sin x ,则 f ? ? x ? ? ? cos x ,故 k ? f ? ? ? ? ? ? cos ? ,在切点处 有 k? ? f

?? ?

? ? sin ? ,即 ? sin ? ? ?? cos ? ,?sin ? ? ? cos ? ,两边同时乘以 2 cos ? 得,

sin 2? ? 2? cos2 ? ,故选 C.
考点:1.函数的零点;2.函数的图象;3.利用导数求切线的斜率

11.

【浙江省温州八校 2014 届高三 10 月期初联考数学(理)】设当 x ? ? 时,函数 .

f ( x) ? sin x ? 2 cos x 取得最大值,则 cos ? ?

12.

【浙江省嘉兴一中 2014 届高三上学期入学摸底数学(理)】已知 x , y 均为正数,
10 3( x ? y )
2 2

sin? cos ? cos 2 ? sin2 ? ? ? ? ? 且满足 , 2 ? ? ?( , ) , 2

4 2

x

y

x

y

, 则

x 的值为 y

____



考点:本小题主要考查三角函数、不等式、方程,以及换元思想,考查学生的分析、计算能 力.

13.

【浙江温州市十校联合体 2014 届高三上学期期初联考数学(理科) 】将函数

y ? 3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位后,所得到的图像关于 y
轴对称,则 m 的最小值是___________________.

14. 【湖北省重点中学 2014 届高三 10 月阶段性统一考试(理) 】 在锐角 ?ABC 中,BC ? 1 ,
B ? 2 A ,则

AC 的值等于 cos A

; AC 的取值范围为

.

三.拔高题组 1.
【江西师大附中 2014 届高三年级 10 月测试试卷理】已知函数

f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x), x ? R .
(I)求函数 f ( x ) 图像的对称中心;

? ? 3? ? (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. ?8 4 ?

2.

【江西师大附中 2014 届高三年级 10 月测试试卷理】 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别
2

为 a, b, c 且 2sin

A? B ? cos 2C ? 1 . 2 b 3

(I)求角的 C 大小; (II)若向量 m ? (3a, b) ,向量 n ? (a, ? ) , m ? n , (m ? n) ? (m ? n) ? 16 ,求 a, b, c 的 值. 【答案】 (Ⅰ) C ? 【解析】

?
3

; (Ⅱ) a ? 1, b ? 3, c ? 7 ;

3.

【湖北省武汉市 2014 届高三 10 月调研测试数学(理) 】在△ABC 中,角 A,B,C 的对边

分别为 a,b,c.已知 2cos(B-C)+1=4cosBcosC. (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a=2 7,△ABC 的面积为 2 3,求 b+c. 【答案】 (Ⅰ) A ? 【解析】 试题分析:(Ⅰ) 对于 2cos(B-C)+1=4cosBcosC 通过三角恒等变换,再结合角的范围即可得; (Ⅱ)利用余弦定理、面积公式可求. 试题解析:(Ⅰ) 由 2cos(B-C)+1=4cosBcosC,得 2(cosBcosC+sinBsinC)+1=4cosBcosC, 即 2(cosBcosC-sinBsinC)=1,亦即 2cos(B+C)=1, 1 ∴cos(B+C)=2. ∵A+B+C=π, π ∵0<B+C<π,∴B+C=3. 2π ∴A= 3 .??????????????????6 分

2? ; (Ⅱ)6. 3

4.

【浙江省温州八校 2014 届高三 10 月期初联考数学(理)】在△ ABC 中,内角 A、B、C

的对边分别为 a、b、c ,已知 a ? b cos C ? c sin B . (Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值.

由已知及余弦定理得 4 ? a ? c ? 2ac cos
2 2

?
4

……10 分

又 a ? c ? 2ac .故 ac ?
2 2

4 2? 2

,当且仅当 a ? c 时,等号成立.

因此⊿ ABC 的面积的最大值为 2 ? 1 . 考点:解三角形,正余弦定理,基本不等式

……14 分

5.

【广东省广州市执信、广雅、六中 2014 届高三 10 月三校联考(理) 】(本题满分 12 分)已 知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 3sin x cos x ? 3cos2 x , x ? R .求:

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (II)求函数 f ( x ) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的值域. 6 3

试题解析:(I)由二倍角的正余弦公式及其变形,得

f ( x) ?

1 ? cos 2 x 3(1 ? cos 2 x) ? 3 sin 2 x ? 2 2

? 2 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x
? 2 ? 2( 3 1 sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

? 2sin(2 x ? ) ? 2 ………………………4 分 6

?

6.

【2014 届广东高三六校第一次联考理】已知函数

?? ?? ? ? . f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? cos 2 x ? a ( a ? R, a 为常数) 6? 6? ? ?
(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期和单调增区间; (2) 若函数 f ? x ? 的图像向左平移 m ? m ? 0? 个单位后, 得到函数 g ? x ? 的图像关于 y 轴对称, 求实数 m 的最小值.

当 2k? ? 故所

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) ,即 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

(k ? Z ) 时,函数 f ( x) 单调递增,

7.

【浙江省温州市十校联合体 2014 届高三 10 月测试数学试题(理科) 】(本题满分 14 分) 设

? ? ? ? R, f ( x) ? cos x(? sin x ? cos x) ? cos 2 ( ? x) 满足 f (? ) ? f (0) .
2 3
(1)求函数 f ( x) 的对称轴和单调递减区间; (2) 设△ABC 三内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c 且 值域.

cos A a ?? , 求 f ( x) 在 ?0,A? 上的 cos B b ? 2c

所以 ? ? 2 3 -----------3 分

8. 【浙江温州市十校联合体 2014 届高三上学期期初联考数学(理科) 】 (本题满分 14 分) 设
? ?ABC 的三个内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 sin( A ? ) ? cos A . 6
(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 2 ,求 b ? c 的最大值. 【答案】(1) A ? 【解析】 试题分析: (1)利用两角和与差的公式展开得 tan A ? 3 ,再求角; (2)利用正弦定理进行边 角互化,转化成一角一函数 b ? c ? 4 sin( B ? 试题解析: (1)由已知有 sin A ? cos

?
3

;(2) (b ? c)max ? 4 .

?
6

) ,结合 B ?

?
6

的范围求解其最值.

?
6

? cos A ? sin
??? 3 分

?
6

? cos A ,

得:

3 1 sin A ? cos A ? cos A , 2 2

则 sin A ? 3 cos A ,

??? 5 分

tan A ? 3 ,

9.

【中原名校联盟 2013-2014 学年高三上期第一次摸底考试理】 (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= sin x -sin(2x-
2

? ) . 2

(1)求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,c=3,f( 求△ABC 的面积.

C 1 )= ,若 sinB=2sinA, 4 2

10.

【河北省邯郸市 2014 届高三 9 月摸底考试数学理科】 (本题满分 12 分)设 ?ABC 的内
2 2 2

角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,且满足 a ? c ? b ? 3bc . (1)求角 B 的大小; (2) 若 2b cos A ? 面积. 【答案】 (1) B ?

3 (c cos A ? a cos C ) , BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求 ?ABC 的

?
6

.(2)

3.

方法一:由余弦定理可知:

2 | AM | 2 ?| CM | 2 ? | AC | 2 ?2 | CM | ? | AC | ? cos ? ? m ? 2, 3
S ?ABC ?

…………………11 分

1 2? ……………………12 分 | CA | ? | CB | ? sin ? 3, 2 3 2 1 1 方法二: AM ? ( AB ? AC ) ? AM ? ( AB ? AC ) 2 2 4 2 2 2 2 2 2 1 1 ? AM ? ( AB ? AC ? 2 AB ? AC ) ? AM ? ( AB ? AC ? 2 | AB | ? | AC | ? cos ) 4 4 6
得m ? 2 ………………………11 分

S ?ABC ?

1 2? | CA | ? | CB | ? sin ? 3, 2 3

………………12 分

考点:正弦定理、余弦定理的应用及三角形面积公式的应用.

11.

【湖北省重点中学 2014 届高三 10 月阶段性统一考试(理) 】已知函数

?? ? f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? x ? R, A ? 0, ? ? 0, ? ? ? 的部分图象如图 3 所示. 2? ?
(1)试确定函数 f ? x ? 的解析式; (2)若 f ?

?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? 的值. ? ? ,求 cos ? ? 2? ? 3 ? 3 ?

设函数 f ? x ? 的最小正周期为 T ,则 故函数 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? ,

T 5 1 1 2? 2? ? ? ? ,所以 T ? 2 ,?? ? ? ?? , 4 6 3 2 T 2

12.

【湖北省重点中学 2014 届高三 10 月阶段性统一考试(理) 】如图 4 所示,一个半圆和

长方形组成的铁皮,长方形的边 AD 为半圆的直径, O 为半圆的圆心, AB ? 1 , BC ? 2 , 现要将此铁皮剪出一个等腰三角形 PMN ,其底边 MN ? BC . (1)设 ?MOD ? 30 ,求三角形铁皮 PMN 的面积; (2)求剪下的铁皮三角形 PMN 的面积的最大值.

【答案】 (1)三角形铁皮 PMN 的面积为

6?3 3 ; (2)剪下的铁皮三角形 PMN 的面积的最 8

大值为

3? 2 2 . 4

则有

2 ?? ? ? sin ? x ? ? ? 1 ,所以 1 ? t ? 2 , 2 4? ?
2

且 t ? ? sin x ? cos x ?
2

t 2 ?1 ? 1 ? 2sin x cos x ,所以 sin x cos x ? , 2


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