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河南省郑州一中2014届高三上学期期中考试--数学理


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郑州一中 2013—2014 学年上期中考 14 届 高三数学(理科)试题
说明: 1、本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2、将第Ⅰ 卷的答案代表字母填(涂)在第

Ⅱ 卷的答题表(答题卡)中。 第Ⅰ 卷 (选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A ? {x | y ? A. {x | x ? 0}

4 ? x 2 } , B ? { y | y ? 2 x } ,则 A B ? ( B. { y | y ? 2} C. {x | 0 ? x ? 2}

) D. ? )

2. 若复数 z 满足: z (1 ? i ) ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则 z 的共轭复数 z ? ( A. ?i B. ? 2i C. i D. 2i 3. 某班有男生 30 人,女生 20 人.现按分层抽样的方法抽取 10 人去参加座谈会,则女生应抽取人数为 ( ) A.6 B.4 C.5 D.3 4.已知双曲线 kx ? y ? 1(k ? 0) 的一条渐近线与直线 ) 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则双曲线的离心率是 (
2 2

A.

5. 如果执行右边的程序框图,且输入 n ? 6 , m ? 4 ,则 输出的 p ? ( ) A.240 B.120 C.720 D.360

5 2

B.

3 2

C. 4 3

D. 5

?a x? 9 6. 若 ? ? 的展开式中 x 3 的系数为 ,则常数 a ? ( ? ?x 4 2? ? ?
A.1 B.3 C.4 D.9 7. 已知 {an } 是等差数列,且 a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则

9



(第 5 题图)

1 主视图 1 1 左视图

a1 ? a2 ?

? a7 ? (



A.14 B.21 C. 28 D. 35 8. 如右图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的 体积为( ) A.1 B.

1 俯视图

1 2

C.

3 4

D.

3 2


(第 8 题图)

9. 将一颗骰子掷两次,观察出现的点数并设第一次出现的点数为 m ,第二次出现的点数为 n ,
向量 p ? ( m, n) , q ? (3, 6) ,则 p 与 q 共线的概率为(

1 1 D. 18 12 ?x ? y ? 4 ? 0 ? x? y 10. 实数 x, y 满足条件: ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 2 的最小值是( ? x ? 0,?? y ? 0 ?
A. B. C. A.16 B. 4 C. 1 D.

1 9

2 9



1 2

11. 设锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 对边分别为 a, b, c ,若 A ? 2 B 则
-1-

a 的取值范围是( b



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A. (0,1) B. (1, 3) C. ( 2, 3) D. (0, 2) 12. 设 f ( x) 的定义域为 D ,若 f ( x) 满足下面两个条件则称 f ( x) 为闭函数:① f ( x) 是 D 上 单调函数;② 存在 [a, b] ? D ,使 f ( x) 在 [a, b] 上值域为 [a, b] . 现已知 ) f ( x) ? 2 x ? 1 ? k 为闭函数,则 k 的取值范围是( 1 1 A. k ? 1 B. ?1 ? k ? ? C. ? k ? 1 2 2

D. k ? ?1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13. 已知向量 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k , 7) ,若 (a ? b) / / c ,则 k ? 14. 由曲线 y ? x 与 y ?
3
3

. .

x 所围成的封闭图形的面积为

15. 已知 f ( x) ? sin 16. 给出下列命题:

?
3

( x ? 1) ? 3 cos

?
3

( x ? 1) ,则 f (1) ? f (2) ?
2

? f (2014) ?

.

① 已知命题 p : ?x ? R, tan x ? 2 ,命题 q : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则命题 p ? q 为真; ② 函数 f ( x) ? 2 ? 2 x ? 3 在定义域内有且只有一个零点;
x

③ 数列 {an } 满足: a1 ? 2068 ,且 an ?1 ? an ? n 2 ? 0(n ? N *) ,则 a11 ? 2013 ; ④ 设 0 ? x ? 1 ,则

a2 b2 2 的最小值为 (a ? b) . ? x 1? x
.

其中正确命题的序号是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ )设 bn ? ? 2n ? 1? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .

? 2n ?1 an ?

n , n? N* . 2

18. (本小题满分 12 分) 如图,斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面是直角三角形,?ACB ? 90? ,点 B1 在底面内的射 影恰好是 BC 的中点,且 BC ? CA . (Ⅰ )求证:平面 ACC1 A1 ? 平面 B1C1CB ; (Ⅱ )若二面角 B ? AB1 ? C1 的余弦值为 ? 设

B1

A1
C1

5 , 7

AA1 ? ? ,求 ? 的值. BC

B
C

A

19. (本小题满分 12 分) 有甲乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀统计成绩
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后,得到如下的列联表. 甲班 乙班 合计 优秀 10 非优秀 30 105 总计

已知在全部 105 人中抽到随机抽取 1 人为优秀的概率为

2 . 7

(Ⅰ )请完成上面的列联表; (Ⅱ )根据列联表的数据,若按 95% 的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系” ; (Ⅲ )若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人: 把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号, 先后两次抛掷一枚均匀的骰子, 出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到 6 或 10 号的概率. 参考公式: 参考数据:

K2 ?

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635

P ( K 2 ? k0 )

k0
20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 x2 y 2 如图,已知椭圆 C1 : ? ? 1 的焦点分别为 F1 , F2 ,双曲线 C2 : ? ? 1 ,设 P 8 4 4 4 为双曲线上异于顶点的任意一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D. (Ⅰ )设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,求: k1 ? k 2 的值; y
(Ⅱ )是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB ? CD 恒成立? 若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由.
B F1 A C P

o
D

F2

x

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? (a ? 1) x???(a ? R, a ? 0) . 2

(Ⅰ )求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ )记函数 y ? F ( x) 的图象为曲线 C .设点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 是曲线 C 上的不同两点.如果在 曲线 C 上存在点 M ( x0 , y0 ) ,使得:①x0 ? 明理由.

x1 ? x2 ;② 曲线 C 在点 M 处的切线平行于直线 2 AB ,则称函数 F ( x) 存在“中值相依切线”.试问:函数 f ( x) 是否存在“中值相依切线”,请说

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲
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如右图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A ,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B, C , ?APC 的平分线分别交 AB, AC 于点 D, E . A (Ⅰ )证明: ?ADE ? ?AED ; E PC (Ⅱ )若 AC ? AP ,求 的值. D PA C P O B

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴,与直角坐标系 xOy 取 相同的长度单位, 建立极坐标系. 设曲线 C 的参数方程为 ? 极坐标方程为 ? cos ? ? ?

? x ? 3 cos ? ? ( ? 为参数) , 直线 l 的 ? ? y ? sin ?

??2 2. 4? (Ⅰ )写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ )求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离.
24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 若不等式 a ? 1 ? 3 x ? 1 ? 3 y ? 1 ? 3 z ? 1 对满足 x ? y ? z ? 1 的一切正实数

? ?

??

x, y, z 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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#X#X#K

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2013—2014 学年上期中考 14 届 高三理科数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 A 5 D 6 C 7 C 8 B 9 D 10 D 11 C 12 B

答案

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13. ?7 14. 1 15.

3

16. ① ② ③ ④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解: (1)∵a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? ∴ 当 n ? 2 时, a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? ① -② 得, 2n ?1 an ?

? 2n ?1 an ?

n ,① 2 n ?1 ,② ? 2n ? 2 an ?1 ? 2

1 1 ,∴an ? n ? n ? 2 ? ,③ 2 2 1 1 又∵a1 ? 也适合③ 式,∴an ? n ? n ? N * ? . 2 2 1 1 1 1 (2)由(1)知 bn ? ? 2n ? 1? ? n ,∴S n ? 1 ? ? 3 ? 2 ? 5 ? 3 ? 2 2 2 2 1 1 1 1 1 S n ? 1? 2 ? 3 ? 3 ? 5 ? 4 ? ? ? 2n ? 1? ? n ?1 ,⑤ 2 2 2 2 2
④ -⑤ 得,

? ? 2n ? 1? ?

1 ,④ 2n

1 1 ? 1 1 1 Sn ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? 2 2 ?2 2 2
?

1? 1 ? 1 ? n ?1 ? ? 1 ? 1 1 1 4 2 ? ? n ? ? ? 2n ? 1? ? n ?1 ? ? 2 ? ? ? ? 2n ? 1? ? n ?1 1 2 ? 2 2 2 1? 2
∴S n ? 3 ?

1 1 1 3 2n ? 3 ? 1 ? n ?1 ? ? 2n ? 1? ? n ?1 ? ? n ?1 , 2 2 2 2 2

2n ? 3 . 2n

18. 解:(1)取 BC 中点 M ,连接 B1M ,则 B1M ? 面 ABC ,

? 面BB1C1C ? 面ABC BC ? 面BB1C1C ? 面ABC , AC ? BC ? AC ? 面BB1C1C AC ? 面ACC1 A1 ? 面ACC1 A1 ? 面BCC1B1 ……………4 分 ( 2 )以 CA 为 ox 轴 , CB 为 oy 轴 , 过点 C 与面 ABC 垂直方向为 oz 轴,建立空间直角坐标
系……5 分 设 AC ? BC ? 2 , B1M ? t 则 A(2,0,0), B(0, 2,0), C (0,1, t ), C (0, ?1, t ) 即 AB1 =( ? 2,1, t ), AB ? ( ?2, 2,0), B1C1 ? (0, ?2,0) 设 面

1 AB1 B 法 向 量 n1 ? ( x, y , z ) ? n1 ? (1,1, ) ; 面 t
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AB1C1 法 向 量

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t n2 ? ( x, y , z ) ? n2 ? ( ,0,1) …9 分 2 5 cos n1 , n2 ? ? ? t ? 3 ……………11 分 7
19. 解:(Ⅰ ) 合计 30 75

? BB1 ? 2,即? ? 1 ……………12 分

105

(Ⅱ )根据列联表中的数据,得到

105 ? (10 ? 30 ? 20 ? 45)2 k? ? 6.109 ? 3.841 55 ? 50 ? 30 ? 75
因此有 95%的把握认为“成绩与班级有关系”. (Ⅲ )设“抽到 6 或 10 号”为事件 A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为(x,y). 所有的基本事件有(1,1) 、 (1,2) 、 (1,3) 、……、 (6,6) ,共 36 个. 事件 A 包含的基本事件有: (1,5) 、 (2,4) 、 (3,3) 、 (4,2) 、 (5,1) (4,6) 、 (5,5) 、 (6、 4) ,共 8 个? P ( A) ?

8 2 ? . 36 9

20. (Ⅱ )设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), P ( x0 , y0 ) ,则 k1 ?
2 2

y0 y0 , k2 ? x0 ? 2 x0 ? 2

2 2 因为点 P 在双曲线 x ? y ? 4 上,所以 x0 ? y0 ? 4.

因此 k1 k2 ?

y0 y y ? 0 ? 2 0 ? 1 ,即 k1 k2 ? 1. x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4

(Ⅲ )由于 PF1 的方程为 y ? k1 ( x ? 2) ,将其代入椭圆方程得

(2k12 ? 1) x 2 ? 8k12 x ? 8k12 ? 8 ? 0
由违达定理得 x1 ? x2 ? ? 所以 | AB |? 1 ? k1
2

8k12 8k12 ? 8 , x x ? 1 2 2k12 ? 1 2k12 ? 1

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
k12 ? 1 8k12 2 8k12 ? 8 (? 2 ) ? 4 ? 2 ?4 2 2 2k1 ? 1 2k1 ? 1 2k1 ? 1
2 k2 ?1 1 1 1 2k12 ? 1 2k22 ? 1 . ? ? ( ? 2 ) 则 2 | AB | | CD | 4 2 k12 ? 1 2k 2 ?1 k2 ? 1

? 1? k

2 1

同理可得 | CD |? 4 2 又 k1 k2 ? 1

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2 ?1 1 1 1 2k ? 1 k12 2 2k12 ? 1 k12 ? 2 3 2 ? ? ( ? )? ( 2 ? 2 )? 所以 1 | AB | | CD | 4 2 k ? 1 8 k1 ? 1 k1 ? 1 8 ?1 2 k1
2 1 2 1

故 | AB | ? | CD |?

3 2 | AB | ? | CD | 8

因此,存在 ? ?

3 2 ,使 | AB | ? | CD |? ? | AB | ? | CD | 恒成立。 8

21. 解: (Ⅰ )显然函数 f ( x) 的定义域是 (0, ??) .

1 a ( x ? 1)( x ? ) 1 a . 由已知得, f '( x) ? ? ax ? a ? 1 ? ? x x
⑴ 当 a ? 0 时, 令 f '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ; 令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 所以函数 f ( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减. ⑵ 当 a ? 0 时,

1 1 ? 1 时 , 即 a ? ?1 时 , 令 f '( x) ? 0 , 解 得 0 ? x ? ? 或 x ? 1 ; 令 f '( x) ? 0 , 解 得 a a 1 1 1 ? ? x ? 1 .所以,函数 f ( x) 在 (0, ? ) 和 (1, ??) 上单调递增,在 (? ,1) 上单调递减; a a a 1 ② 当 ? ? 1 时,即 a ? ?1 时, 显然,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增; a 1 1 ③当 ? ? 1 时,即 ?1 ? a ? 0 时 , 令 f '( x) ? 0 , 解得 0 ? x ? 1 或 x ? ? ; 令 f '( x) ? 0 , 解得 a a 1 1 1 1 ? x ? ? .所以,函数 f ( x) 在 (0,1) 和 (? , ??) 上单调递增,在 (1, ? ) 上单调递减. a a a
\①当 ? 综上所述,地方有限, 略.……6 分 (Ⅱ )假设函数 f ( x) 存在“中值相依切线”. 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 是曲线 y ? f ( x) 上的不同两点,且 0 ? x1 ? x2 , 则 y1 ? ln x1 ?

1 2 1 ax1 ? (a ? 1) x1 , y2 ? ln x2 ? ax2 2 ? (a ? 1) x2 . 2 2

k AB ?

y2 ? y1 x2 ? x1

1 (ln x2 ? ln x1 ) ? a ( x2 2 ? x12 ) ? (a ? 1)( x2 ? x1 ) 2 ? x2 ? x1

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?

ln x2 ? ln x1 1 ? a ( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) x2 ? x1 2
x1 ? x2 x ?x 2 )? ? a ? 1 2 ? (a ? 1) , 2 x1 ? x2 2

曲线在点 M ( x0 , y0 ) 处的切线斜率 k ? f ?( x0 ) ? f ?(

依题意得:

ln x2 ? ln x1 1 x ?x 2 ? a ( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) ? ? a ? 1 2 ? (a ? 1) . x2 ? x1 2 x1 ? x2 2

化简可得:

ln x2 ? ln x1 x 2( x2 ? x1 ) 2 ,即 ln 2 = ? ? x2 ? x1 x1 ? x2 x1 x2 ? x1

2(

x2 ? 1) x1 . x2 ?1 x1
4 ? 2. t ?1



x2 2(t ? 1) 4 ,上式化为: ln t ? , ? 2? ? t ( t ? 1) t ?1 t ?1 x1

即 ln t ?

(t ? 1) 2 1 4 4 令 g (t ) ? ln t ? , g '(t ) ? ? .因为 t ? 1 ,显然 g '(t ) ? 0 ,所以 g (t ) 在 ? t ?1 t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2
(1, ??) 上递增, 显然有 g (t ) ? 2 恒成立.所以在 (1, ??) 内不存在 t ,使得 ln t ?
综上所述,假设不成立.所以,函数 f ( x) 不存在“中值相依切线”.12 分 22.解: (1)∵PA 是切线, AB 是弦,∴?APD ? ?CPE , ∴?BAP ? ?APD ? ?C ? ?CPE . ∵?ADE ? ?BAP ? ?APD , ?AED ? ?C ? ?CPE ,∴?ADE ? ?AED . (2)由(1)知 ?BAP ? ?C ,又∵ △APC ∽ △BPA ,∴

4 ? 2 成立. t ?1

∵ AC ? AP ,∴?APC ? ?C ,∴?APC ? ?C ? ?BAP . 由三角形内角和定理可知, ?APC ? ?C ? ?CAP ? 180? . ∵BC 是圆 O 的直径,∴?BAC ? 90? ,∴?APC ? ?C ? ?BAP ? 180? ? 90? ? 90? , ∴?APC ? ?C ? ?BAP ? 30? . 在 Rt△ ABC 中,

PC CA . ? PA AB

1 CA 1 CA CA PC CA ,即 ,∴ ? ? ? 3 ,∴ ? ? 3. tan C AB tan 30? AB AB PA AB

23. 解: (1)由 ?

? x2 ? x ? 3 cos ? ? y2 ? 1 . ,得 C : 3 ? ? y ? sin ?

由 ? cos ? ? ?

? ?

??

? ? 2 2 ,得 ? ? sin ? ? cos ? ? ? 4 , 4?

所以,直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 .
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(2)在 C :

x2 ? y 2 ? 1 上任取一点 P 3

?

3 cos ? ,sin ? ,

?

则点 P 到直线 l 的距离为 d ?

3 cos ? ? sin ? ? 4 2

?? ? 2sin ? ? ? ? ? 4 3? ? ? ?3 2, 2

所以当 sin ? ? ?

? ?

??

? ? ?1 时,曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3 2 . 3?

24.解:根据柯西不等式有

?

? ? ?1? 3x ? 1 ? 1? 3 y ? 1 ? 1? 3z ? 1 ? ? ?1 ? 1 ? 1 ? ?? 3 x ? 1 ? ? ? 3 y ? 1 ? ? ? 3 z ? 1 ? ? ? 3 ? ? ?3 ? x ? y ? z ? ? 3 ? ? ? 3 ? 6 ? 18 ? ? ? ?
3x ? 1 ? 3 y ? 1 ? 3z ? 1
2 2 2 2 2 2 2 2

? 3x ? 1 ? 3 y ? 1 ? 3z ? 1 ? 3 2 .


a ? 1 ? 3x ? 1 ? 3 y ? 1 ? 3 z ? 1 恒成立,? a ? 1 ? 3 2 ,

? a ? 1 ? 3 2 或 a ? 1 ? ?3 2 ,即 a ? 3 2 ? 1 或 a ? 1 ? 3 2 ,
所以 a 的取值范围是 ??,1 ? 3 2 ?

?

?

?1 ? 3 2, ?? ?

?

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