kl800.com省心范文网

陕西省西安市临潼区华清中学2015届高三数学上学期开学试卷(含解析)


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

陕西省西安市临潼区华清中学 2015 届高三上学期开学数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)已知集合 A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1) (x﹣3)>0},则 A∩B=() A. (﹣∞,﹣1) B. (﹣1,

) C. ﹙ ,3﹚ D. (3,+∞)

2. (5 分)在复平面内,复数 A. (1,3)

对应的点的坐标为() C. (﹣1,3) D. (3,﹣1)

B. (3,1)

3. (5 分)设不等式组

,表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点

到坐标原点的距离大于 2 的概率是() A. B. C. D.

4.从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点,则这 2 个点的距离小于该正方形边长 的概率为() A. B. C. D.

5. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是() A. y= B. y=e﹣x C. y=﹣x +1
2

D. y=lg|x|

6. (5 分)定积分 A. e+2

(2x+e )dx 的值为() B. e+1 C. e D. e﹣1

x

7.将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是() A. 4π B. 3π C. 2π D. π 8. (5 分)在△ABC 中,a=3,b=5,sinA= ,则 sinB=() A. B. C. D. 1

9. (5 分)函数 f(x)=cos(2x﹣ A. B. π

)的最小正周期是() C. 2π D. 4π

-1-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 10. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为()

A. 1

B.

C.

D.

11. (5 分)双曲线 A.

的离心率大于 B. m≥1

的充分必要条件是() C. m>1 D. m>2

12. (5 分)已知 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,则下列命题正确的是 () A. 若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B. 若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α C. 若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β D. 若 m∥α ,α ⊥β ,则 m⊥β

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 25 分) . 2 2 13. (5 分)直线 y=x 被圆 x +(y﹣2) =4 截得的弦长为. 14.若抛物线 y =2px 的焦点坐标为(1,0) ,则 p=;准线方程为. 15. (5 分)已知函数 f(x)=lgx,若 f(ab)=1,则 f(a )+f(b )=.
2 2 2

16.函数

的值域为.

17. (5 分)若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=;前 n 项和 Sn=.

-2-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

18. (5 分)设 D 为不等式组

表示的平面区域,区域 D 上的点与点(1,0)之间

的距离的最小值为.

三.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)A.(不 等式选做题) 19. (5 分)设 a,b,m,n∈R,且 a +b =5,ma+nb=5,则
2 2

的最小值为.

B.(几何证明选做题) 20.如图,△ABC 中,BC=6,以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F,若 AC=2AE,则 EF=.

C.(坐标系与参数方程选做题) 21.在极坐标系中,点(2, )到直线 ρ sin(θ ﹣ )=1 的距离是.

三、解答题(共 7 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. ) 22. (12 分)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期及最大值; (Ⅱ)若 α ∈( ,π ) ,且 f(α )= ,求 α 的值. .

23. (12 分)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的 赔付结果统计如下: 赔付金额(元) 0 1000 2000 3000 4000 车辆数(辆) 500 130 100 150 120 (Ⅰ)若每辆车的投保金额均为 2800 元,估计赔付金额大于投保金额的概率; (Ⅱ)在样本车辆中,车主是新司机的占 10%,在赔付金额为 4000 元的样本车辆中,车主是 新司机的占 20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为 4000 元的概率. 24. (12 分)△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c. (Ⅰ)若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C) ;

-3-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅱ)若 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,求 cosB 的值. 25. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD, PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: (Ⅰ)PA⊥底面 ABCD; (Ⅱ)BE∥平面 PAD; (Ⅲ)平面 BEF⊥平面 PCD.

26. (13 分)设函数 f(x)=lnx+ ,m∈R (1)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的最小值; (2)讨论函数 g(x)=f′(x)﹣ 零点的个数; (3) (理科)若对任意 b>a>0, <1 恒成立,求 m 的取值范围.

27. (14 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0) ,离心率为

,直线

y=k(x﹣1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N, (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当△AMN 的面积为 时,求 k 的值.

28.已知椭圆

+

=1(a>b>0)经过点(0,

) ,离心率为 ,左右焦点分别为 F1(﹣c,

0) ,F2(c,0) . (Ⅰ)求椭圆的方程;

-4-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅱ)若直线 l:y=﹣ x+m 与椭圆交于 A、B 两点,与以 F1F2 为直径的圆交于 C、D 两点,且 满足 = ,求直线 l 的方程.

陕西省西安市临潼区华清中学 2015 届高三上学期开学数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)已知集合 A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1) (x﹣3)>0},则 A∩B=() A. (﹣∞,﹣1) B. (﹣1, ) C. ﹙ ,3﹚ D. (3,+∞)

考点: 专题: 分析: 解答:

一元二次不等式的解法;交集及其运算. 集合. 求出集合 B,然后直接求解 A∩B. 解:因为 B={x∈R|(x+1) (x﹣3)>0﹜={x|x<﹣1 或 x>3}, },

又集合 A={x∈R|3x+2>0﹜={x|x 所以 A∩B={x|x

}∩{x|x<﹣1 或 x>3}={x|x>3},

故选:D. 点评: 本题考查一元二次不等式的解法,交集及其运算,考查计算能力.

2. (5 分)在复平面内,复数 A. (1,3)

对应的点的坐标为() C. (﹣1,3) D. (3,﹣1)

B. (3,1)

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由 = = =1+3i,能求出在复平面内,复数 对应的点的坐标.

解答: 解:∵ = =1+3i,

-5-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴在复平面内,复数 对应的点的坐标为(1,3) ,

故选 A. 点评: 本题考查复数的代数形式的乘积运算,是基础题.解题时要认真审题,注意复数的 几何意义的求法.

3. (5 分)设不等式组

,表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点

到坐标原点的距离大于 2 的概率是() A. B. C. D.

考点: 二元一次不等式(组)与平面区域;几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 本题属于几何概型,利用“测度”求概率,本例的测度即为区域的面积,故只要求 出题中两个区域:由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于 2 的点构成的区域的面积后再 求它们的比值即可. 解答: 解:其构成的区域 D 如图所示的边长为 2 的正方形,面积为 S1=4, 满足到原点的距离大于 2 所表示的平面区域是以原点为圆心,以 2 为半径的圆外部, 面积为 =4﹣π ,

∴在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率 P= 故选:D.

点评: 本题考查几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到, 本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值. 4.从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点,则这 2 个点的距离小于该正方形边长 的概率为() A. B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计.

-6-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 设正方形边长为 1,则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点,共有 10 条线段,4 条长度为 1,4 条长度为 ,两条长度为 ,即可得出结论.

解答: 解:设正方形边长为 1,则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点,共有 10 条线段,4 条长度为 1,4 条长度为 ∴所求概率为 = . ,两条长度为 ,

故选:B. 点评: 本题考查概率的计算,列举基本事件是关键. 5. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是() A. y= B. y=e﹣x C. y=﹣x +1
2

D. y=lg|x|

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据偶函数的定义,可得 C,D 是偶函数,其中 C 在区间(0,+∞)上单调递减,D 在区间(0,+∞)上单调递增,可得结论. 解答: 解:根据偶函数的定义,可得 C,D 是偶函数,其中 C 在区间(0,+∞)上单调递减, D 在区间(0,+∞)上单调递增, 故选:C. 点评: 本题考查奇偶性与单调性的综合,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 6. (5 分)定积分 A. e+2 (2x+e )dx 的值为() B. e+1 C. e D. e﹣1
x

考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据微积分基本定理计算即可. 解答: 解: (2x+e )dx=(x +e )
x 2 x

=(1+e)﹣(0+e )=e.

0

故选:C. 点评: 本题主要考查了微积分基本定理,关键是求出原函数. 7.将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是() A. 4π B. 3π C. 2π D. π 考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 边长为 1 的正方形,绕其一边所在直线旋转一周,得到的几何体为圆柱,从而可求 圆柱的侧面积. 解答: 解:边长为 1 的正方形,绕其一边所在直线旋转一周,得到的几何体为圆柱,

-7-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 则所得几何体的侧面积为:1×2π ×1=2π , 故选:C. 点评: 本题是基础题,考查旋转体的侧面积的求法,考查计算能力.

8. (5 分)在△ABC 中,a=3,b=5,sinA= ,则 sinB=() A. B. C. D. 1

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由正弦定理列出关系式,将 a,b 及 sinA 的值代入即可求出 sinB 的值. 解答: 解:∵a=3,b=5,sinA= ,

∴由正弦定理得:sinB=

=

= .

故选 B 点评: 此题考查了正弦定理,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.

9. (5 分)函数 f(x)=cos(2x﹣ A. B. π

)的最小正周期是() C. 2π D. 4π

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由题意得 ω =2,再代入复合三角函数的周期公式 解答: 解:根据复合三角函数的周期公式 函数 f(x)=cos(2x﹣ 故选 B. 点评: 本题考查了三角函数的周期性,以及复合三角函数的周期公式 础题. 10. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为() 应用,属于基 )的最小正周期是 π , 得, 求解.

-8-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

A. 1

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 从框图赋值入手,先执行一次运算,然后判断运算后的 i 的值与 2 的大小,满足判 断框中的条件,则跳出循环,否则继续执行循环,直到条件满足为止. 解答: 解:框图首先给变量 i 和 S 赋值 0 和 1. 执行 ,i=0+1=1;

判断 1≥2 不成立,执行

,i=1+1=2;

判断 2≥2 成立,算法结束,跳出循环,输出 S 的值为



故选 C. 点评: 本题考查了程序框图,考查了直到型结构,直到型循环是先执行后判断,不满足条 件执行循环,直到条件满足结束循环,是基础题.

11. (5 分)双曲线 A.

的离心率大于 B. m≥1

的充分必要条件是() C. m>1 D. m>2

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;简易逻辑. 分析: 根据双曲线的标准形式,可以求出 a=1,b= ,c= .利用离心率 e 大于 立不等式,解之可得 m>1,最后利用充要条件的定义即可得出正确答案.



-9-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

解答: 解:双曲线 ∴a=1,b= ∵离心率 e> ,可得 c= 等价于 ,

,说明 m>0,

?m>1,

∴双曲线

的离心率大于

的充分必要条件是 m>1.

故选 C. 点评: 本题虽然小巧,用到的知识确实丰富的,具有综合性特点,涉及了双曲线的标准方 程、几何性质等几个方面的知识,是这些内容的有机融合,是一个极具考查力的小题. 12. (5 分)已知 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,则下列命题正确的是 () A. 若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B. 若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α C. 若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β D. 若 m∥α ,α ⊥β ,则 m⊥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: A, 以正方体的上底面为 α , 可得下底面内的直线 m、 n 均与 α 平行, 但不一定有 m∥n, 因此是假命题; B,根据线面垂直的性质,可以得到 n⊥α ; C,D 列举所有可能,即可得出结论. 解答: 解:对于 A,设正方体的上底面为 α ,则在下底面内任意取两条直线 m、n,有 m∥α 且 n∥α ,但不一定有 m∥n 成立,故是假命题; 对于 B,m∥n,m⊥α ,根据线面垂直的性质,可以得到 n⊥α ,故正确; 对于 C,m∥α ,m∥β ,则 α ∥β 或 α 、β 相交,故是假命题; 对于 D,m∥α ,α ⊥β ,则 m 与 β 平行、相交、m 在 β 内都有可能,故不正确. 故选:B. 点评: 本题考查学生对空间中点、线、面的位置关系的理解与掌握.重点考查学生的空间 想象能力. 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 25 分) . 2 2 13. (5 分)直线 y=x 被圆 x +(y﹣2) =4 截得的弦长为



考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆. 分析: 确定圆的圆心坐标与半径,求得圆心到直线 y=x 的距离,利用垂径定理构造直角三 角形,即可求得弦长. 2 2 解答: 解:圆 x +(y﹣2) =4 的圆心坐标为(0,2) ,半径为 2 ∵圆心到直线 y=x 的距离为 ∴直线 y=x 被圆 x +(y﹣2) =4 截得的弦长为 2
2 2

=
- 10 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故答案为: 点评: 本题考查直线与圆相交,考查圆的弦长,解题的关键是求得圆心到直线 y=x 的距离, 利用垂径定理构造直角三角形求得弦长. 14.若抛物线 y =2px 的焦点坐标为(1,0) ,则 p=2;准线方程为 x=﹣1. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线的性质可知,知 =1,可知抛物线的标准方程和准线方程. 解答: 解:∵抛物线 y =2px 的焦点坐标为(1,0) , ∴ =1,p=2, 抛物线的方程为 y =4x, ∴其标准方程为:x=﹣1, 故答案为:2,x=﹣1. 点评: 本题考查抛物线的简单性质,属于基础题. 15. (5 分)已知函数 f(x)=lgx,若 f(ab)=1,则 f(a )+f(b )=2. 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 2 2 分析: 由函数 f(x)=lgx,f(ab)=lg(ab)=1,知 f(a )+f(b )=lga +lgb =2lg(ab) .由 此能求出结果. 解答: 解:∵函数 f(x)=lgx,f(ab)=lg(ab)=1, 2 2 2 2 f(a )+f(b )=lga +lgb 2 =lg(ab) =2lg(ab)=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查对数的运算性质,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
2 2 2 2 2

16.函数

的值域为(﹣∞,2) .

考点: 对数函数的值域与最值;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 通过求解对数不等式和指数不等式分别求出分段函数的值域,然后取并集得到原函 数的值域. 解答: 解:当 x≥1 时,f(x)= ; 当 x<1 时,0<f(x)=2 <2 =2.
x 1

- 11 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

所以函数

的值域为(﹣∞,2) .

故答案为(﹣∞,2) . 点评: 本题考查了函数值域的求法,分段函数的值域要分段求,最后取并集.是基础题. 17. (5 分)若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=2;前 n 项和 Sn=2 ﹣2. 考点: 等比数列的前 n 项和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等比数列的通项公式和已知即可得出 , 解出即可得到 a1 及 q,
n+1

再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q, ∵a2+a4=20,a3+a5=40,∴ ,解得 .




n+1

=

=2 ﹣2.

n+1

故答案为:2,2 ﹣2. 点评: 熟练掌握等比数列的通项公式和等比数列的前 n 项和公式是解题的关键.

18. (5 分)设 D 为不等式组

表示的平面区域,区域 D 上的点与点(1,0)之间

的距离的最小值为



考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 首先根据题意作出可行域,欲求区域 D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值, 由其几何意义为点 A(1,0)到直线 2x﹣y=0 距离为所求,代入点到直线的距离公式计算可得 答案. 解答: 解:如图可行域为阴影部分, 由其几何意义为点 A(1,0)到直线 2x﹣y=0 距离,即为所求, 由点到直线的距离公式得: d= = ,

- 12 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 则区域 D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值等于 故答案为: . .

点评: 本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 三.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)A.(不 等式选做题) 19. (5 分)设 a,b,m,n∈R,且 a +b =5,ma+nb=5,则
2 2

的最小值为



考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 2 2 2 2 2 分析: 根据柯西不等式(a +b ) (c +d )≥(ac+bd) 当且仅当 ad=bc 取等号,问题即可解 决. 解答: 解:由柯西不等式得, 2 2 2 2 2 (ma+nb) ≤(m +n ) (a +b ) 2 2 ∵a +b =5,ma+nb=5, 2 2 ∴(m +n )≥5 ∴ 的最小值为

故答案为: 点评: 本题主要考查了柯西不等式,解题关键在于清楚等号成立的条件,属于中档题. B.(几何证明选做题) 20.如图,△ABC 中,BC=6,以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F,若 AC=2AE,则 EF=3.

- 13 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;立体几何. 分析: 证明△AEF∽△ACB,可得 ,即可得出结论.

解答: 解:由题意,∵以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F, ∴∠AEF=∠C, ∵∠EAF=∠CAB, ∴△AEF∽△ACB, ∴ ,

∵BC=6,AC=2AE, ∴EF=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查三角形相似的判定与运用,考查学生的计算能力,属于基础题. C.(坐标系与参数方程选做题) 21.在极坐标系中,点(2, )到直线 ρ sin(θ ﹣ )=1 的距离是 1.

考点: 专题: 分析: 解答:

点的极坐标和直角坐标的互化. 坐标系和参数方程. 把极坐标化为直角坐标的方法,利用点到直线的距离公式求得结果. 解:根据极坐标和直角坐标的互化公式 x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ , )即( ,1) ; y=1,即 x﹣ y+2=0, =1,

可得点(2,

直线 ρ sin(θ ﹣ 故点(

)=1 即﹣ x+

,1)到直线 x﹣

y+2=0 的距离为

故答案为:1. 点评: 本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法,点到直线的距离公式的应用,属于基 础题. 三、解答题(共 7 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. ) 22. (12 分)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期及最大值; (Ⅱ)若 α ∈( ,π ) ,且 f(α )= ,求 α 的值. .

考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)利用二倍角的正弦函数以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角 函数的形式,通过周期公式求 f(x)的最小正周期,利用三角函数的最值求出函数的最大值;

- 14 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅱ)通过 解答: 解: (Ⅰ)因为 = = ∴T= = , . , , ,k∈Z, ,又∵ . , , ,且 ,求出 α 的正弦值,然后求出角即可.

函数的最大值为: (Ⅱ)∵f(x)= 所以 ∴ ∴ ∴

点评: 本题考查二倍角的余弦函数正弦函数的应用,两角和的正弦函数,三角函数的周期 与最值的求法,以及角的求法,考查计算能力. 23. (12 分)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的 赔付结果统计如下: 赔付金额(元) 0 1000 2000 3000 4000 车辆数(辆) 500 130 100 150 120 (Ⅰ)若每辆车的投保金额均为 2800 元,估计赔付金额大于投保金额的概率; (Ⅱ)在样本车辆中,车主是新司机的占 10%,在赔付金额为 4000 元的样本车辆中,车主是 新司机的占 20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为 4000 元的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)设 A 表示事件“赔付金额为 3000 元,”B 表示事件“赔付金额为 4000 元”, 以频率估计概率,求得 P(A) ,P(B) ,再根据投保额为 2800 元,赔付金额大于投保金额得情 形是 3000 元和 4000 元,问题得以解决. (Ⅱ)设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4000 元”,分别求出样本车辆中车主为新司机 人数和赔付金额为 4000 元的车辆中车主为新司机人数,再求出其频率,最后利用频率表示概 率. 解答: 解: (Ⅰ) 设 A 表示事件“赔付金额为 3000 元, ”B 表示事件“赔付金额为 4000 元”, 以频率估计概率得

- 15 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com P(A)= ,P(B)= ,

由于投保额为 2800 元,赔付金额大于投保金额得情形是 3000 元和 4000 元,所以其概率为 P (A)+P(B)=0.15+0.12=0.27. (Ⅱ)设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4000 元”,由已知,样本车辆中车主为新司机 的有 0.1×1000=100,而赔付金额为 4000 元的车辆中车主为新司机的有 0.2×120=24, 所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为 4000 元的频率为 由频率估计概率得 P(C)=0.24. 点评: 本题主要考查了用频率来表示概率,属于中档题. 24. (12 分)△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c. (Ⅰ)若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C) ; (Ⅱ)若 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,求 cosB 的值. 考点: 余弦定理;等差数列的通项公式;等差关系的确定. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)由 a,b,c 成等差数列,利用等差数列的性质得到 a+c=2b,再利用正弦定理 及诱导公式变形即可得证; (Ⅱ)由 a,b,c 成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,将 c=2a 代入表示出 b,利 用余弦定理表示出 cosB,将三边长代入即可求出 cosB 的值. 解答: 解: (Ⅰ)∵a,b,c 成等差数列, ∴a+c=2b, 由正弦定理得:sinA+sinC=2sinB, ∵sinB=sin[π ﹣(A+C)]=sin(A+C) , 则 sinA+sinC=2sin(A+C) ; (Ⅱ)∵a,b,c 成等比数列, 2 ∴b =ac, 2 2 将 c=2a 代入得:b =2a ,即 b= a, ∴由余弦定理得:cosB= = = . ,

点评: 此题考查了余弦定理,等差、等比数列的性质,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 25. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD, PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: (Ⅰ)PA⊥底面 ABCD; (Ⅱ)BE∥平面 PAD; (Ⅲ)平面 BEF⊥平面 PCD.

- 16 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;立体几何. 分析: (Ⅰ)根据条件,利用平面和平面垂直的性质定理可得 PA⊥平面 ABCD. (Ⅱ)根据已知条件判断 ABED 为平行四边形,故有 BE∥AD,再利用直线和平面平行的判定定 理证得 BE∥平面 PAD. (Ⅲ)先证明 ABED 为矩形,可得 BE⊥CD ①.现证 CD⊥平面 PAD,可得 CD⊥PD,再由三角形 中位线的性质可得 EF∥PD, 从而证得 CD⊥EF ②.结合①②利用直线和平面垂直的判定定理证得 CD⊥平面 BEF,再由平 面和平面垂直的判定定理 证得平面 BEF⊥平面 PCD. 解答: 解: (Ⅰ)∵PA⊥AD,平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,由平面和平 面垂直的性质定理可得 PA⊥平面 ABCD. (Ⅱ)∵AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,故四边形 ABED 为平行四 边形,故有 BE∥AD. 又 AD? 平面 PAD,BE 不在平面 PAD 内,故有 BE∥平面 PAD. (Ⅲ)平行四边形 ABED 中,由 AB⊥AD 可得,ABED 为矩形,故有 BE⊥CD ①. 由 PA⊥平面 ABCD,可得 PA⊥AB,再由 AB⊥AD 可得 AB⊥平面 PAD, ∴CD⊥平面 PAD,故有 CD⊥PD. 再由 E、F 分别为 CD 和 PC 的中点,可得 EF∥PD, ∴CD⊥EF ②. 而 EF 和 BE 是平面 BEF 内的两条相交直线,故有 CD⊥平面 BEF. 由于 CD? 平面 PCD,∴平面 BEF⊥平面 PCD. 点评: 本题主要考查直线和平面垂直的判定定理,直线和平面平行的判定定理,平面和平 面垂直的判定定理、性质定理的应用,属于中档题.

26. (13 分)设函数 f(x)=lnx+ ,m∈R (1)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的最小值;

- 17 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)讨论函数 g(x)=f′(x)﹣ 零点的个数; (3) (理科)若对任意 b>a>0, <1 恒成立,求 m 的取值范围.

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;根的存在性及根的个数判断;利用导数研究 函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)当 m=e 时, 值. (2)由 g(x)= = =0,得 m= ,令 h(x)=x﹣ ,x>0,m∈R, ,x>0,由此利用导数性质能求出 f(x)的极小

则 h(1)= ,h′(x)=1﹣x =(1+x) (1﹣x) ,由此利用导数性质能求出函数 g(x)=f′(x) ﹣ 零点的个数. (3) (理)当 b>a>0 时,f′(x)<1 在(0,+∞)上恒成立,由此能求出 m 的取值范围. 解答: 解: (1)当 m=e 时, ,x>0,

2

解 f′(x)>0,得 x>e, ∴f(x)单调递增; 同理,当 0<x<e 时,f′(x)<0,f(x)单调递减, ∴f(x)只有极小值 f(e) , 且 f(e)=lne+ =2, ∴f(x)的极小值为 2. (2)∵g(x)= = =0,

∴m=

, ,x>0,m∈R,
2

令 h(x)=x﹣

则 h(1)= ,h′(x)=1﹣x =(1+x) (1﹣x) , 令 h′(x)>0,解得 0<x<1, ∴h(x)在区间(0,1)上单调递增,值域为(0, ) ; 同理,令 h′(x)<0,解得 x>1,

- 18 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴g(x)要区是(1,+∞)上单调递减,值域为(﹣∞, ) . ∴当 m≤0,或 m= 时,g(x)只有一个零点; 当 0<m< 时,g(x)有 2 个零点; 当 m> 时,g(x)没有零点. (3) (理)当 b>a>0 时, 即 f′(x)<1 在(0,+∞)上恒成立, ∵ ,∴m>x﹣x ,
2



∵当 x>0 时,二次函数 x﹣x ∈(﹣∞, ], ∴m≥ . ∴当 m∈[ ,+∞)时,满足题意. 点评: 本题考查函数的极小值的求法,考查函数的零点的个数的讨论,考查实数值的求法, 解题时要注意构造法、分类讨论思想和导数性质的合理运用.

2

27. (14 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0) ,离心率为

,直线

y=k(x﹣1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N, (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当△AMN 的面积为 时,求 k 的值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)根据椭圆一个顶点为 A (2,0) ,离心率为 圆 C 的方程; ,可建立方程组,从而可求椭

(Ⅱ)直线 y=k(x﹣1)与椭圆 C 联立

,消元可得(1+2k )x ﹣4k x+2k ﹣4=0,

2

2

2

2

从而可求|MN|,A(2,0)到直线 y=k(x﹣1)的距离,利用△AMN 的面积为 解答: 解: (Ⅰ)∵椭圆一个顶点为 A (2,0) ,离心率为 ,

,可求 k 的值.

- 19 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com



∴b= ∴椭圆 C 的方程为 ;

(Ⅱ)直线 y=k(x﹣1)与椭圆 C 联立

,消元可得(1+2k )x ﹣4k x+2k ﹣4=0

2

2

2

2

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 x1+x2=



∴|MN|=

=

∵A(2,0)到直线 y=k(x﹣1)的距离为

∴△AMN 的面积 S=

∵△AMN 的面积为



∴ ∴k=±1. 点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算, 解题的关键是正确求出|MN|.

28.已知椭圆

+

=1(a>b>0)经过点(0,

) ,离心率为 ,左右焦点分别为 F1(﹣c,

0) ,F2(c,0) . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 l:y=﹣ x+m 与椭圆交于 A、B 两点,与以 F1F2 为直径的圆交于 C、D 两点,且 满足 = ,求直线 l 的方程.

- 20 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (Ⅰ)由题意可得

,解出即可.

(Ⅱ)由题意可得以 F1F2 为直径的圆的方程为 x +y =1.利用点到直线的距离公式可得:圆心 到直线 l 的距离 d 及 d<1,可得 m 的取值范围.利用弦长公式可得|CD|=2 .设 A(x1,

2

2

y1) ,B(x2,y2) .把直线 l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系,进而得到弦长 |AB|= .由 = ,即可解得 m.

解答: 解: (Ⅰ)由题意可得



解得

,c=1,a=2. .
2 2

∴椭圆的方程为

(Ⅱ)由题意可得以 F1F2 为直径的圆的方程为 x +y =1. ∴圆心到直线 l 的距离 d= 由 d<1,可得 ,

. (*)

∴|CD|=2

=

=



设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .

联立



化为 x ﹣mx+m ﹣3=0, 可得 x1+x2=m, .
- 21 -

2

2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴|AB|= = .



=

,得



解得

满足(*) . .

因此直线 l 的方程为

点评: 本题 2015 届中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问 题、 点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法, 考查了推理能力和计算能力, 属于难题.

- 22 -


陕西省西安市临潼区华清中学2014-2015学年高一上学期第三次月考数学试卷 Word版含解析

陕西省西安市临潼区华清中学2014-2015学年高一上学期第三次月考数学试卷 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。陕西省西安市临潼区华清中学 2014-2015 学年高一...

陕西省西安市临潼区华清中学2015届高三上学期开学数学试卷

陕西省西安市临潼区华清中学 2015 届高三上学期开学数学试卷一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)已知集合 A={x∈R|3x+2>0}...

陕西省西安市临潼区华清中学2014-2015学年高一上学期第三次月考数学试卷

陕西省西安市临潼区华清中学2014-2015学年高一上学期第三次月考数学试卷_数学_高中教育_教育专区。陕西省西安市临潼区华清中学 2014-2015 学年高一上学期第三次 ...

陕西省西安市临潼区华清中学2015届高考数学一模试卷(文科)

陕西省西安市临潼区华清中学 2015 届高考数学一模试卷(文科)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的(本大题共 10 小题, 每小题 5...

陕西省西安市临潼区华清中学2015届高考数学一模试卷(文科)

陕西省西安市临潼区华清中学 2015 届高考数学一模试卷(文科)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的(本大题共 10 小题, 每小题 5...

陕西省西安市临潼区华清中学2015届高三开学摸底考试历史试题

陕西省西安市临潼区华清中学2015届高三开学摸底考试历史试题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 陕西省西安市临潼区华清中学2015届高三开学摸底考试...

陕西省西安市临潼区华清中学2015届高三高考模拟试题 语文 Word版含答案

陕西省西安市临潼区华清中学2015届高三高考模拟试题 语文 Word版含答案_理化生_高中教育_教育专区。华清中学 2015 年文科综合高考模拟试题命题人:政治命题组成员: 分...

陕西省西安市临潼区华清中学2016届高三第1次限时训练数学(理)试题

陕西省西安市临潼区华清中学2016届高三第1次限时训练数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。2016 届华清中学高三数学(理)第一次限时练 命题人:李新宁 班级 审题...

2016届陕西省西安市临潼区华清中学高三第二次自主模拟命题数学(文)试题

2016届陕西省西安市临潼区华清中学高三第二次自主模拟命题数学()试题_高三英语...2 . 考点:1、相交弦定理;2、切割线定理. 试题解析: (1)直线 l 的普通...

西安市临潼区华清中学 | 西安市临潼区华清小学 | 陕西省西安市临潼区 | 临潼区华清中学 | 临潼区华清小学 | 西安临潼区华清科目三 | 临潼区华清中学官网 | 临潼区华清中学电话 |