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平行与垂直的证明习题


立体几何中平行与垂直的证明
1.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1,O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证: (1)C1O//平面 AB1D1; (2)A1C⊥平面 AB1D1.
A1 D O A B D1 B1 C1

C

2.如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AD ? AA 1 ? 1, AB ? 1 , 点 E 在棱 AB 上移动。求证: D1 E ⊥ A1 D ;

D1

C1 B1

A1
D A E

C

B

3.如图平面 ABCD⊥平面 ABEF, ABCD 是正方形,ABEF 是矩形, 且 AF ?

1 AD ? 2, G 是 EF 的中点, 2

(1)求证平面 AGC⊥平面 BGC; (2)求空间四边形 AGBC 的体积。

4.如图,在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱) ABC ? A1B1C1 中,

A1

AB ? 8 , AC ? 6 , BC ? 10 , D 是 BC 边的中点.

B1

C1

(Ⅰ )求证:

AB ? A1 C ;

(Ⅱ )求证: AC 1 ∥ 面 AB1D ;
A

B

D

C

5.如图组合体中,三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面 ABB1 A1 是圆柱的轴截面, C 是圆柱底面圆周上不与 A 、 B 重合一个点. (Ⅰ)求证:无论点 C 如何运动,平面 A1 BC ? 平面 A1 AC ; (Ⅱ)当点 C 是弧 AB 的中点时,求四棱锥 A1 ? BCC1B1 与圆柱的体积比.

6.如图,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2, F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)设 M 在线段 AB 上,且满足 AM=2MB,试在线段 CE 上确定一点 N,使得 MN∥平面 DAE.

D

C

F M A E B

7.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中: (1) 求异面直线 BC1 与 AA 1 所成的角的大小; (2) 求三棱锥 B1 ? A1C 1B 的体积; 。 (3) 求证: B1 D ? 平面A1C1 B

8 . 如图: S 是平行四边形 ABCD 平面外一点, M , N 分别是

SA, BD 上的点,且

AM BN = , SM ND

求证: MN // 平面 SBC

9. 如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P-ABCD 中, AB⊥AC,PA⊥平面 ABCD,点 E 是 PD 的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥PB; (Ⅱ)求证:PB∥平面 AEC.
D C E

P

A

B

10.在多面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点,平面 CDE 是等边三角形,棱 EF//BC 且 EF=

1 BC . 2

F A O B

E D

(I)证明:FO∥平面 CDE; (II)设 BC= 3CD, 证明 EO⊥平面 CDF.

C

11. 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥ 底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥ PB 交 PB 于点 F. (Ⅰ )证明 PA//平面 EDB; (Ⅱ )证明 PB⊥ 平面 EFD. P

F D

E

C

A

B

12.如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AB ? AD , AC ? CD , ?ABC ? 60? , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点. (1)求证: CD ? AE ; (2)求证: PD ? 面 ABE .

P

E A C B D

13. 如图在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC ,

P _

AB ? BC ? CA ? 3 , M 为 AB 的中点,四点 P 、 A 、 M 、 C
都在球 O 的球面上。 (1)证明:平面 PAB ? 平面 PCM ; (2)证明:线段 PC 的中点为球 O 的球心;

A _ M _ B _

C _

S
14.如图,在四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? AB ? 2 , SB ? SD ? 2 2 ,底面
ABCD 是菱形,且 ?ABC ? 60? , E 为 CD 的中点. (1)证明: CD ? 平面 SAE ; (2)侧棱 SB 上是否存在点 F ,使得 CF / / 平面 SAE ?并证明你的结论.

A E B

D

C

课后练习 1.如图所示,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=BB1,AC1⊥平 面 A1BD,D 为 AC 的中点。 (I)求证:B1C//平面 A1BD; (II)求证:B1C1⊥平面 ABB1A (III)设 E 是 CC1 上一点,试确定 E 的位置,使平面 A1BD⊥平面 BDE,并说明理由。

2.如图,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,三角形 ACD 为等边三角形, AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点 (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ;

1. 如图,四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PA=AB,底面 ABCD 为直 角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=

1 AD. 2

(I)求证:平面 PAC⊥平面 PCD; (II)在棱 PD 上是否存在一点 E,使 CE∥平面 PAB?若 存在,请确定 E 点的位置;若不存在,请说明理由.

5.如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,SA ? AB ? 2 ,SB ? SD ? 2 2 ,底面 ABCD 是菱形,且 ?ABC ? 60? ,

E 为 CD 的中点.
(1)证明: CD ? 平面 SAE ; (2)侧棱 SB 上是否存在点 F ,使得 CF / / 平面 SAE ?并证明你的结论.

S

A

D

E B

C


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