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河北省保定市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年河北省保定市高二(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.) 1.已知椭圆 =1 的长轴长为 6,则该椭圆的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

2.雾霾天气对我们身体影响巨大,据统计我市 2015 年 12 月份某 8 天的空气质量指数(AQI)茎叶 统计图如图,则该组数据的中位数为( )

A.360 B.361 C.362 D.363

3.计算机执行如图的程序,输出的结果是(



A.3,4 B.7,3 C.21,3

D.28,4

4.下列命题中正确的个数是(



①命题“?x∈(1,+∞),2x>2”的否定是“?x?(1,+∞),2x≤2” ②“a=2”是“|a|=2”的必要不充分条件; ③若命题 p 为真,命题?q 为真,则命题 p∧q 为真; ④命题“在△ ABC 中,若 ,则 ”的逆否命题为真命题.
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A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

5.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值是(



A.﹣1 B.4

C.

D.

6.已知圆(x+2)2+(y﹣2)2=a 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 6,则实数 a 的值为( A.8 B.11 C.14 D.17



7.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(4,6),若 p(ξ>c+2)=p(ξ<c﹣2),则 c 的值为( A.4 B.5 C.6 D.7



8.若将函数 f(x)=x6 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…a6(1+x)6,其中 a0,a1,a2,…, a6 为实数,则 a3 等于 ( A.20 B.15 )

C.﹣15 D.﹣20

9.互不相同的 5 盆菊花,其中 2 盆为白色,2 盆为黄色,1 盆为红色,先要摆成一排,要求红色菊 花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,共有多少种摆放方法( A. C. B. D. )

10. 将 A. B.

的展开式中 x﹣4 的系数记为 an, 则 C.2015 D.2016
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等于 (



11.已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点,Q 为圆 x2+(y﹣4)2=1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距 离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( A. B. C. D. )

12.已知双曲线 C:

=1(a>0,b>0)满足:(1)焦点为 F1(﹣5,0),F2(5,0);

(2)离心率为 ,且求得双曲线 C 的方程为 f(x,y)=0.若去掉条件(2),另加一个条件求得双 曲线 C 的方程仍为 f(x,y)=0,则下列四个条件中,符合添加的条件共有( ①双曲线 C 上任意一点 P 都满足||PF1|﹣|PF2||=6; ②双曲线 C 的虚轴长为 4; ③双曲线 C 的一个顶点与抛物线 y2=6x 的焦点重合; ④双曲线 C 的渐进线方程为 4x±3y=0. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把最简答案填在题后的横线上) 13.某班有学生 60 人,现将所有学生按 1,2,3,…,60 随机编号.若采用系统抽样的方法抽取一 a, 28, b, 52 号学生在样本中, 个容量为 5 的样本 (等距抽样) , 已知编号为 4, 则 a+b= .

14.已知下表所示数据的回归直线方程为 X Y 2 11 3 13

=﹣1.3x+a,则实数 a= 4 14 5 16 6



16

15.若

在区域内任取一点 P,则点 P 落在圆 x2+y2=2 内的概率为



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16.已知动点 P(x,y)在椭圆 C: MP⊥MF,则线段|PM|的最小值为

+

=1 上,F 为椭圆 C 的右焦点,若点 M 满足|MF|=1.且 .

三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.设 p:函数 f(x)=lg(x2﹣4x+a2)的定义域为 R;q:a2﹣5a﹣6≥0.如果“p∨q”为真,且“p∧q” 为假,求实数 a 的取值范围.

18.已知⊙O:x2+y2=4 和⊙C:x2+y2﹣12x+27=0. (1)判断⊙O 和⊙C 的位置关系; (2)过⊙C 的圆心 C 作⊙O 的切线 l,求切线 l 的方程.

19.高二数学 ICTS 竞赛初赛考试后,某校对 95 分以上的成绩进行统计,其频率分布直方图如图所 示. (1)求这组数据的平均数 M; (2)从所有 95 分以上的考生成绩中,又放回的抽取 4 次,记这 4 次成绩位于(95,105]之间的个 数为 X,求 X 的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)(分布列结果不用化简)

20.某校的一个社会实践调查小组,在对该校学生的良好“用眼习惯”的调查中,随机发放了 120 分 问卷.对收回的 100 份有效问卷进行统计,得到如 2×2 下列联表: 做不到科学用眼 男 45 能做到科学用眼 10 合计 55

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女 合计

30 75

15 25

45 100

(1)现按女生是否能做到科学用眼进行分层,从 45 份女生问卷中抽取了 6 份问卷,从这 6 份问卷 中再随机抽取 3 份,并记其中能做到科学用眼的问卷的份数 X,试求随机变量 X 的分布列和数学期 望; (2)若在犯错误的概率不超过 P 的前提下认为良好“用眼习惯”与性别有关,那么根据临界值表,最 精确的 P 的值应为多少?请说明理由. 附:独立性检验统计量 独立性检验临界值表: P(K2≥k0) k0 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.840 0.025 5.024 ,其中 n=a+b+c+d.

21.已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9, (1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若

的直线交抛物线于 A(x1,y1)和 B(x2,

,求 λ 的值.

22.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于 ,它的一个顶点恰好是抛物线 x2=8 y 的焦点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)直线 x=﹣2 与椭圆交于 P,Q 两点,A,B 是椭圆上位于直线 x=﹣2 两侧的动点. ①若直线 AB 的斜率为 ,求四边形 APBQ 面积的最大值; ②当动点 A,B 满足∠APQ=∠BPQ 时,试问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理由.

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2015-2016 学年河北省保定市高二(上)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.) 1.已知椭圆 =1 的长轴长为 6,则该椭圆的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用椭圆性质求解. 【解答】解:∵椭圆 =1 的长轴长为 6,

∴2a=6,解得 a=3,c= ∴该椭圆的离心率为 e= 故选:A. .

=



【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意椭圆性质的合理运用.

2.雾霾天气对我们身体影响巨大,据统计我市 2015 年 12 月份某 8 天的空气质量指数(AQI)茎叶 统计图如图,则该组数据的中位数为( )

A.360 B.361 C.362 D.363 【考点】众数、中位数、平均数. 【专题】数形结合;综合法;概率与统计. 【分析】先写出这组数据,从而求出数据的中位数即可.
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【解答】解:由茎叶图得,该组数据为: 259,300,306,360,362,364,375,430, 故(360+362)÷2=361, 故选:B. 【点评】本题考查了茎叶图的读法,考查数据的中位数问题,是一道基础题.

3.计算机执行如图的程序,输出的结果是(



A.3,4 B.7,3 C.21,3 【考点】顺序结构.

D.28,4

【专题】对应思想;试验法;算法和程序框图. 【分析】模拟计算机执行的程序,按顺序执行,即可得出输出的 a 与 b 的值. 【解答】解:模拟计算机执行的程序,如图所示; a=3,b=4; a=3+4=7, b=7﹣4=3, a=3×7=21; 输出 a=21,b=3. 故选:C. 【点评】本题考查了算法的顺序结构的应用问题,是基础题目.

4.下列命题中正确的个数是(



①命题“?x∈(1,+∞),2x>2”的否定是“?x?(1,+∞),2x≤2” ②“a=2”是“|a|=2”的必要不充分条件; ③若命题 p 为真,命题?q 为真,则命题 p∧q 为真; ④命题“在△ ABC 中,若 ,则 ”的逆否命题为真命题.
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A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】整体思想;定义法;简易逻辑. 【分析】①根据含有量词的命题的否定进行判断. ②根据充分条件的定义进行判断. ③根据复合命题的真假关系进行判断. ④根据逆否命题的真假关系进行判断. 【解答】解:①命题“?x∈(1,+∞),2x>2”的否定是“?x∈(1,+∞),2x≤2”,故①错误, ②由|a|=2,得 a=2 或 a=﹣2,即“a=2”是“|a|=2”的充分不必要条件;故②错误, ③若命题 p 为真,命题¬q 为真,则 q 为假命题.,则命题 p∧q 为假命题;故③错误, ④命题“在△ ABC 中,若 逆否命题为假命题.故④错误, 故正确的为 0 个, 故选:A 【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及含有量词的命题的否定,充分条件和必要条件的判断, 复合命题真假平行,以及四种命题的真假判断,涉及的知识点较多,难度不大. ,则 0< 或 <A<π,则原命题为假命题.,则命题的

5.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值是(



A.﹣1 B.4

C.

D.

【考点】程序框图. 【专题】计算题;对应思想;定义法;算法和程序框图. 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值,模拟程 序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
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【解答】解:当 t=1 时,满足进行循环的条件,S= 当 t=2 时,满足进行循环的条件,S=

=﹣1,t=2;

= ,t=3;

当 t=3 时,满足进行循环的条件,S=

= ,t=4;

当 t=4 时,满足进行循环的条件,S=

=4,t=5;

当 t=5 时,满足进行循环的条件,S= 当 t=6 时,满足进行循环的条件,S= 当 t=7 时不满足进行循环的条件, 此时 S 值为 , 故选:D.

=﹣1,t=6; = ,t=7;

【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结 论,是基础题.

6.已知圆(x+2)2+(y﹣2)2=a 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 6,则实数 a 的值为( A.8 B.11 C.14 D.17



【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】求出弦心距,再由条件根据弦长公式求得 a 的值. 【解答】解:圆(x+2)2+(y﹣2)2=a,圆心(﹣2,2),半径 故弦心距 d= = . .

再由弦长公式可得 a=2+9,∴a=11; 故选:B. 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,属于基础题.

7.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(4,6),若 p(ξ>c+2)=p(ξ<c﹣2),则 c 的值为( A.4 B.5 C.6 D.7



【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
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【专题】计算题;方程思想;综合法;概率与统计. 【分析】随机变量 ξ 服从正态分布 N(4,6),得到曲线关于 x=4 对称,根据 P(ξ>c+2)=P(ξ<c ﹣2),结合曲线的对称性得到点 c+2 与点 c﹣2 关于点 4 对称的,从而做出常数 c 的值得到结果. 【解答】解:随机变量 ξ 服从正态分布 N(4,6),∴曲线关于 x=4 对称, ∵P(ξ>c+2)=P(ξ<c﹣2), ∴c+2+c﹣2=8, ∴c=4, 故选:A. 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查概率的性质,是一个基础题.

8.若将函数 f(x)=x6 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…a6(1+x)6,其中 a0,a1,a2,…, a6 为实数,则 a3 等于 ( A.20 B.15 )

C.﹣15 D.﹣20

【考点】二项式定理的应用. 【专题】转化思想;综合法;二项式定理. 【分析】把函数 f(x)=x6 =[﹣1+(1+x)]6 按照二项式定理展开,结合已知条件,求得 a3 的值. 【解答】解:∵函数 f(x)=x6 =[﹣1+(1+x)]6=1﹣ ?(1+x)6, 又 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…a6(1+x)6,其中 a0,a1,a2,…,a6 为实数, 则 a3=﹣ 故选:D. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于 基础题. =﹣20, ?(1+x)+ ?(1+x)2﹣ ?(1+x)3+…+

9.互不相同的 5 盆菊花,其中 2 盆为白色,2 盆为黄色,1 盆为红色,先要摆成一排,要求红色菊 花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,共有多少种摆放方法( A. C. B. D.
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【考点】计数原理的应用. 【专题】计算题;转化思想;定义法;排列组合. 【分析】由红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,则白色菊花不相邻,黄 色菊也不相邻,即红菊花两边各一盆白色,黄色菊花,根据分步计数原理可得. 【解答】解:由红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,则白色菊花不相邻, 黄色菊也不相邻,即红菊花两边各一盆白色,黄色菊花,故有 故选:D. 【点评】本题主要考查排列组合、两个基本原理的实际应用,注意不相邻问题用插空法,属于中档 题. .

10. 将 A. B.

的展开式中 x﹣4 的系数记为 an, 则 C.2015 D.2016

等于 (



【考点】二项式定理的应用;数列的求和. 【专题】转化思想;综合法;二项式定理. 【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得 an,再利用裂项法进行求和,可得要求式子的值. 【解答】解:将 ∴则 =2? = , = + + 的展开式中 x﹣4 的系数记为 an,∴an= +??+ = ﹣ , )

=2 (1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+

故选:B. 【点评】本题主要考查二项式展开式的通项公式,用裂项法进行求和,属于中档题.

11.已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点,Q 为圆 x2+(y﹣4)2=1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距 离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( A. B. C. D. )

【考点】抛物线的应用. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标,根据圆的方程求得圆心坐标,根据抛物线的定义可知 P 到准线的距离等于点 P 到焦点的距离,进而问题转化为求点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的焦点
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距离之和的最小值,根据图象可知当 P,Q,F 三点共线时 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的焦点距 离之和的最小,为圆心到焦点 F 的距离减去圆的半径. 【解答】解:抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),圆 x2+(y﹣4)2=1 的圆心为 C(0,4), 根据抛物线的定义可知点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点的距离, 进而推断出当 P,Q,F 三点共线时 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的焦点距离之和的最小为: , 故选 C. 【点评】本题主要考查了抛物线的应用.考查了学生转化和化归,数形结合等数学思想.

12.已知双曲线 C:

=1(a>0,b>0)满足:(1)焦点为 F1(﹣5,0),F2(5,0);

(2)离心率为 ,且求得双曲线 C 的方程为 f(x,y)=0.若去掉条件(2),另加一个条件求得双 曲线 C 的方程仍为 f(x,y)=0,则下列四个条件中,符合添加的条件共有( ①双曲线 C 上任意一点 P 都满足||PF1|﹣|PF2||=6; ②双曲线 C 的虚轴长为 4; ③双曲线 C 的一个顶点与抛物线 y2=6x 的焦点重合; ④双曲线 C 的渐进线方程为 4x±3y=0. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用双曲线性质求解. 【解答】解:对于①,∵||PF1|﹣|PF2||=2a=6 ∴a=3 又∵焦点为 F1(﹣5,0),F2(5,0) ∴c=5 ∴离心率 e= ,故①符合条件; 对于②,双曲线 C 的虚轴长为 4, ∴b=2,a= = , )

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∴离心率 e=

,故②不符合条件;

对于③,双曲线 C 的一个顶点与抛物线 y2=6x 的焦点重合, ∴a= ,e= = ,故③不符合条件;

对于④,∵近线方程为 4x±3y=0 ∴ = , 又∵c=5,c2=a2+b2,∴a=3 ∴离心率 e= ,故④符合条件. 故选:B. 【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意双曲线方程的性质的合理 运用.

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把最简答案填在题后的横线上) 13.某班有学生 60 人,现将所有学生按 1,2,3,…,60 随机编号.若采用系统抽样的方法抽取一 个容量为 5 的样本(等距抽样),已知编号为 4,a,28,b,52 号学生在样本中,则 a+b= 56 . 【考点】系统抽样方法. 【专题】计算题;方程思想;综合法;概率与统计. 【分析】求出样本间隔即可得到结论. 【解答】解:∵样本容量为 5, ∴样本间隔为 60÷5=12, ∵编号为 4,a,28,b,52 号学生在样本中, ∴a=16,b=40, ∴a+b=56, 故答案为:56 【点评】本题主要考查系统抽样的应用,根据条件求出样本间隔即可,比较基础.

14.已知下表所示数据的回归直线方程为 X 2 3

=﹣1.3x+a,则实数 a= 19.2 . 4 5 6

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Y

11

13

14

16

16

【考点】线性回归方程. 【专题】函数思想;综合法;概率与统计. 【分析】求出 【解答】解: = 代入回归方程即可求出 a. =4, = =14.

∴14=﹣1.3×4+a,解得 a=19.2 故答案为 19.2. 【点评】本题考查了线性回归方程的性质,属于基础题.

15.若

在区域内任取一点 P,则点 P 落在圆 x2+y2=2 内的概率为



【考点】几何概型;简单线性规划. 【专题】数形结合;概率与统计;不等式. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,求出对应区域的面积,根据几何概型的概率公式进行求解 即可. 【解答】解:不等式组对应的平面区域为三角形 OAB,其中 A(8,0),B(0,2),对应的面积 为 S= , 的圆在三角形 OAB 内部的部分,对应的面积为

x2+y2=2 表示的区域为半径为 ,

∴根据几何概型的概率公式,得到所求对应概率 P=

=



故答案为:



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【点评】本题主要考查几何概型的概率公式,利用二元一次不等式组表示平面区域求出对应的面积 是解决本题的关键.

16.已知动点 P(x,y)在椭圆 C: MP⊥MF,则线段|PM|的最小值为 【考点】椭圆的简单性质.

+ .

=1 上,F 为椭圆 C 的右焦点,若点 M 满足|MF|=1.且

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】依题意知,该椭圆的焦点 F(3,0),点 M 在以 F(3,0)为圆心,1 为半径的圆上,当 PF 最小时,切线长 PM 最小,作出图形,即可得到答案. 【解答】解:依题意知,点 M 在以 F(3,0)为圆心,1 为半径的圆上,PM 为圆的切线, ∴当 PF 最小时,切线长 PM 最小.

由图知,当点 P 为右顶点(5,0)时,|PF|最小,最小值为:5﹣3=2. 此时 故答案为: 【点评】本题考查椭圆的标准方程、圆的方程,考查作图与分析问题解决问题的能力,属于中档题.

三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.设 p:函数 f(x)=lg(x2﹣4x+a2)的定义域为 R;q:a2﹣5a﹣6≥0.如果“p∨q”为真,且“p∧q” 为假,求实数 a 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【专题】函数思想;综合法;简易逻辑.
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【分析】分别判断出 p,q 为真时的 a 的范围,由“p∨q”为真,“p∧q”为假,可知 p,q 一真一假,通 过讨论求出 a 的范围即可. 【解答】解:若 p 为真,则 x2﹣4x+a2>0 恒成立,∴△=16﹣4a2<0,解得 a>2 或 a<﹣2;… 若 q 为真,则 a2﹣5a﹣6≥0,解得 a≤﹣1,或 a≥6. … 由“p∨q”为真,“p∧q”为假,可知 p,q 一真一假.… ①p 真 q 假时,a>2 或 a<﹣2,且﹣1<a<6,∴2<a<6,… ②p 假 q 真时,﹣2≤a≤2,a≤﹣1,或 a≥6∴﹣2≤a≤﹣1… 综上,2<a<6,或﹣2≤a≤﹣1.∴a∈(2,6)∪[﹣2,﹣1]… 【点评】本题考查了复合命题的判断,考查对数函数的性质,是一道基础题.

18.已知⊙O:x2+y2=4 和⊙C:x2+y2﹣12x+27=0. (1)判断⊙O 和⊙C 的位置关系; (2)过⊙C 的圆心 C 作⊙O 的切线 l,求切线 l 的方程. 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】(1)圆的方程化为标准方程,求出圆心与半径,即可判断⊙O 和⊙C 的位置关系; (2)过显然,切线斜率存在,设为 k,利用点到直线的距离公式求出 k,即可求切线 l 的方程. 【解答】解:(1)由题意知,O(0,0),r1=2; …

∵⊙C:x2+y2﹣12y+27=0,∴x2+(x﹣6)2=9,圆心 C(0,6),r2=3…3 分 ∵|OC|=6>r1+r2… ∴⊙O 与⊙C 相离. … (2)显然,切线斜率存在,设为 k.… ∴切线 l:y=kx+6,即 kx﹣y+6=0. ∴ 解得 k=±2 … ,∴切线方程为 …

【点评】本题考查圆与圆的位置关系,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档 题.

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19.高二数学 ICTS 竞赛初赛考试后,某校对 95 分以上的成绩进行统计,其频率分布直方图如图所 示. (1)求这组数据的平均数 M; (2)从所有 95 分以上的考生成绩中,又放回的抽取 4 次,记这 4 次成绩位于(95,105]之间的个 数为 X,求 X 的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)(分布列结果不用化简)

【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】(1)由频率分布直方图,能求出这组数据的平均数. (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4,X~B(4, ),由此能求出 X 的分布列和 EX.

【解答】解:(1)由频率分布直方图,得这组数据的平均数: M=100×0.1+110×0.25+120×0.45+130×0.15+140×0.05=118,… (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4.… 某个考生成绩位于(95,105]的概率=0.01×10= 因此 X~B(4, ∴P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= P(X=4)= ∴X 的分布列为: X 0 1 2
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),… = = = = = . , , , ,

3

4

P EX=4× = .…

【点评】本题考查频率分布直方图的应用,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中 档题,解题时要认真审题,注意二项分布的性质的合理运用.

20.某校的一个社会实践调查小组,在对该校学生的良好“用眼习惯”的调查中,随机发放了 120 分 问卷.对收回的 100 份有效问卷进行统计,得到如 2×2 下列联表: 做不到科学用眼 男 女 合计 45 30 75 能做到科学用眼 10 15 25 合计 55 45 100

(1)现按女生是否能做到科学用眼进行分层,从 45 份女生问卷中抽取了 6 份问卷,从这 6 份问卷 中再随机抽取 3 份,并记其中能做到科学用眼的问卷的份数 X,试求随机变量 X 的分布列和数学期 望; (2)若在犯错误的概率不超过 P 的前提下认为良好“用眼习惯”与性别有关,那么根据临界值表,最 精确的 P 的值应为多少?请说明理由. 附:独立性检验统计量 独立性检验临界值表: P(K2≥k0) k0 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.840 0.025 5.024 ,其中 n=a+b+c+d.

【考点】独立性检验的应用. 【专题】综合题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】(1)分层从 45 份女生问卷中抽取了 6 份问卷,其中“科学用眼”抽 6× 眼”抽 =2 人,“不科学用

=4 人,若从这 6 份问卷中随机抽取 3 份,随机变量 X=0,1,2.利用“超几何分布”即

可得出分布列及其数学期望; (2)根据“独立性检验的基本思想的应用”计算公式可得 K2 的观测值 k,即可得出. 【解答】解:(1)“科学用眼”抽 6× =2 人,“不科学用眼”抽
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=4 人.…

则随机变量 X=0,1,2,… ∴ 分布列为 X P … E(X)=0× (2)K2= 由表可知 2.706<3.030<3.840; ∴P=0.10. … 【点评】本题考查了组合数的计算公式、古典概率计算公式、“超几何分布”分布列及其数学期望公 式、“独立性检验的基本思想的应用”计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. =1. … 0 1 2 = ; = ; = …

≈3,.030 …

21.已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9, (1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若

的直线交抛物线于 A(x1,y1)和 B(x2,

,求 λ 的值.

【考点】抛物线的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】计算题. 【分析】(1)直线 AB 的方程与 y2=2px 联立,有 4x2﹣5px+p2=0,从而 x1+x2= 义得:|AB|=x1+x2+p=9,求得 p,则抛物线方程可得. (2)由 p=4,4x2﹣5px+p2=0 求得 A(1,﹣2 入抛物线方程即可解得 λ. 【解答】解:(1)直线 AB 的方程是 y=2 ∴x1+x2= 由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9
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,再由抛物线定

),B(4,4

).再求得设

的坐标,最后代

(x﹣ ),与 y2=2px 联立,有 4x2﹣5px+p2=0,

∴p=4,∴抛物线方程是 y2=8x. (2)由 p=4,4x2﹣5px+p2=0 得:x2﹣5x+4=0, ∴x1=1,x2=4, y1=﹣2 设 又[2 ,y2=4 ,从而 A(1,﹣2 ),B(4,4 ). λ﹣2 )

=(x3,y3)=(1,﹣2

)+λ(4,4

)=(4λ+1,4

(2λ﹣1)]2=8(4λ+1),解得:λ=0,或 λ=2.

【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.直线与圆锥曲线的综合问题.考查了基本的分析问题 的能力和基础的运算能力.

22.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于 ,它的一个顶点恰好是抛物线 x2=8 y 的焦点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)直线 x=﹣2 与椭圆交于 P,Q 两点,A,B 是椭圆上位于直线 x=﹣2 两侧的动点. ①若直线 AB 的斜率为 ,求四边形 APBQ 面积的最大值; ②当动点 A,B 满足∠APQ=∠BPQ 时,试问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理由. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(1)设椭圆标准方程为 椭圆 C 的标准方程. (2)①先求出|PQ|=6,设直线 AB 的方程为 ,与 联立,得 x2+mx+m2﹣12=0, (a>b>0),由已知得 b=2 ,e= = ,由此能求出

由此利用根的判别式、韦达定理、椭圆弦长公式,结合已知能求出四边形 APBQ 面积的最大值. ②设 PA 斜率为 k, 则 PB 斜率为﹣k. 分别设出 PA 的直线方程和 PB 的直线方程, 分别与椭圆联立, 能求出直线 AB 的斜率是为定值. 【解答】解:(1)∵椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,∴设椭圆标准方程为 >0), (a>b

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∵椭圆离心率等于 ,它的一个顶点恰好是抛物线 x2=8 焦点为 ∴b=2 …e= = ,a2+b2=c2, ,

y 的焦点.

∴解得 a2=16,b2=12 ∴椭圆 C 的标准方程 .…

(2)①直线 x=﹣2 与椭圆 2,3),∴|PQ|=6,… 设 A (x1,y1

交点 P(﹣2,3),Q(﹣2,﹣3)或 P(﹣2,﹣3),Q(﹣

),B( x2,y2),直线 AB 的方程为





联立,得 x2+mx+m2﹣12=0,

由△ =m2﹣4(m2﹣12)>0,得﹣4<m<4, 由韦达定理得 x1+x2=﹣m, ,…

由 A,B 两点位于直线 x=﹣2 两侧,得(x1+2)(x2+2)<0, 即 x1x2+2(x1+x2)+4<0∴m2﹣2m﹣8<0 解得﹣2<m<4,… ∴S= ?|PQ|?|x1﹣x2| = ?|PQ|? =3 , .…

∴当 m=0 时,S 最大值为

②当∠APQ=∠BPQ 时直线 PA,PB 斜率之和为 0. 设 PA 斜率为 k,则 PB 斜率为﹣k. 当 P(﹣2,3),Q(﹣2,﹣3)时, PA 的直线方程为 y﹣3=k(x+2)… 与椭圆联立得(3+4k2)x2+8k(2k+3)x+4(2k+3)2﹣48=0

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同理





y1﹣y2=k(x1+2)+3﹣[﹣k(x2+2)+3]

直线 AB 斜率为



当 P(﹣2,﹣3),Q(﹣2,3)时,同理可得直线 AB 斜率为 .… 【点评】本题考查椭圆标准方程的求法,考查四边形面积的最大值的求法,是中档题,解题时要认 真审题,注意根的判别式、韦达定理、椭圆弦长公式的合理运用.

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