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2013届高三北师大版理科数学一轮复习课时作业(10)函数与方程


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课时作业(十)

第 10 讲

函数与方程

时间:45 分钟

分值:100 分

基础热身 2 1.2011·郑州模拟 若函数 f(x)=x +2x+3a 没有零点,则实数 a 的取值范围是( 1 1 A.a< B.a> 3 3 1 1 C.a≤ D.a≥ 3 3 2.下列函数中不能用二分法求零点的是( )

)

图 K10-1 3.2011·南通调研 内( 1 1 3 设 f(x)=x +bx+c(b>0)(-1≤x≤1),且 f?- ?·f? ?<0,则方程 f(x)=0 在-1,1 ? 2? ?2?

) A.可能有 3 个实数根 B.可能有 2 个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根 2 4.已知二次函数 f(x)=x -(m-1)x+2m 在 0,1 上有且只有一个零点,则实数 m 的取值范围为( ) A.(-2,0) B.(-1,0) C.-2,0 D.(-2,-1) 能力提升 x 5.2011·郑州模拟 已知三个函数 f(x)=2 +x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零点依次为 a,b,c, 则( ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 2 6.2011·上海八校联考 设 a,b,k 是实数,二次函数 f(x)=x +ax+b 满足:f(k-1)与 f(k)异号,f(k +1)与 f(k)异号.在以下关于 f(x)的零点的命题中,真命题是( ) A.该二次函数的零点都小于 k B.该二次函数的零点都大于 k C.该二次函数的两个零点之差一定大于 2 D.该二次函数的零点均在区间(k-1,k+1)内 x 7.2011·信阳模拟 在下列区间中,函数 f(x)=e +4x-3 的零点所在的区间为( ) 1 ? 1? A.?- ,0 B.?0, ? 4 ? ? 4? 1 1 1 3 C.? , ? D.? , ? ?4 2? ?2 4? 2 8. 2011·南阳模拟 若函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x), x∈(-1,1 时, (x)=1-x , 且 f 函数 g(x)
?lg|x|(x≠0), ? =? ? ?1(x=0),

则函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间-5,10 内零点的个数为(

)

A.12 C.13

B.14 D.8 1?x 有两个零点 x1,x2,则有( ?2? )

9.已知函数 f(x)=|lgx|-?

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A.x1x2<0 C.x1x2>1

B.x1x2=1 D.0<x1x2<1
?-2,x>0, ? 已知函数 f(x)=? 2 ? ?-x +bx+c,x≤0,

10.2011·常州质检

若 f(0)=-2,f(-1)=1,则函数 g(x)

=f(x)+x 的零点的个数为________. 11.利用二分法求方程 f(x)=0 在 0,1 上的近似解时,经计算 f(0.625)<0,f(0.725)>0,f(0.6875)<0, 则可得到方程精确度为 0.1 的一个近似解是________. x 12.2011·辽宁卷 已知函数 f(x)=e -2x+a 有零点,则 a 的取值范围是________.

?x+ 1 ,x>0, ? 13.已知函数 f(x)=-x -2x,g(x)=? 4x ?x+1,x≤0, ?
2

若方程 gf(x)-a=0 的实数根的个数有 4 个,

则 a 的取值范围是________. x x 14.(10 分)已知函数 f(x)=4 +m·2 +1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出该零点.

15.(13 分)已知函数 y=f(x)和 y=g(x)在-2,2 的图像如图 K10-2 所示:

图 K10-2 求:(1)方程 fg(x)=0 实根的个数; (2)方程 gf(x)=0 实根的个数; (3)方程 ff(x)=0 实根的个数; (4)方程 gg(x)=0 实根的个数.

难点突破 16.(12 分)2011·郑州模拟 4 3 若函数 f(x)=ax -bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值- . 3

(1)求函数的解析式; (2)若关于 x 的方程 f(x)=k 有三个零点,求实数 k 的取值范围.

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课时作业(十) 【基础热身】 2 2 1.B 解析 由题意,函数 f(x)=x +2x+3a 没有零点,即方程 x +2x+3a=0 无解,即方程的判别式小于 1 2 零,解不等式 Δ =2 -4×3a<0,得 a> . 3 2.B 解析 函数图像与横轴的交点的横坐标为零点,但二分法要求在区间 a,b 上,有 f(a)·f(b)<0,所 以只有 B 不符合. 3 3.C 解析 ∵f(x)=x +bx+c(b>0), 2 ∴f′(x)=3x +b>0,∴f(x)在-1,1 上为增函数, 1 1 又∵f?- ?·f? ?<0, 2? ? ?2? ∴f(x)在-1,1 上有实数根且只有一个. m-1 2 2 4. 解析 (1)当方程 x -(m-1)x+2m=0 在 0,1 上有两个相等实根时, =(m-1) -8m=0 且 0≤ C Δ ≤ 2 1,此时无解. 2 (2)当方程 x -(m-1)x+2m=0 有两个不相等的实根时,①有且只有一根在(0,1)上时,有 f(0)f(1)<0,即 2 2m(m+2)<0,解得-2<m<0;②当 f(0)=0 时,m=0,f(x)=x +x=0,解得 x1=0,x2=-1,符合题意; 2 ③当 f(1)=0 时,m=-2,方程可化为 x +3x-4=0,解得 x1=1,x2=-4,符合题意. 综上所述,实数 m 的取值范围为-2,0. 【能力提升】 1 1 x 5.B 解析 由于 f(-1)= -1=- <0,f(0)=1>0,故 f(x)=2 +x 的零点 a∈(-1,0);因为 g(2)=0, 2 2 1 1 1 1 故 g(x)的零点 b=2;因为 h? ?=-1+ =- <0,h(1)=1>0,故 h(x)的零点 c∈? ,1?,因此 a<c<b. 2? 2 2 ? ?2 ? 6.D 解析 由题意 f(k-1)·f(k)<0,f(k)·f(k+1)<0,由零点的存在性判定定理可知区间(k-1,k), (k,k+1)内各有一个零点,零点可能是区间内的任何一个值,故选项 D 正确. 7.C 解析 ∵f(x)是 R 上的增函数且图像是连续的, 1 1 1 1 1 1 1 1 又 f? ?=e +4× -3=e -2<0,f? ?=e +4× -3=e -1>0, 4 4 2 2 ?4? 4 ?2? 2 1? 1 f? = -4<0,f(0)=-2<0, ?4? 4 e 1 f? ?= e-1>0,

?2? 3 3 f? ?= e >0, 4 ?4? 1 1 ∴f(x)定在? , ?内存在唯一零点. ?4 2?
8.B 解析 如图,当 x∈0,5 时,结合图像知 f(x)与 g(x)共有 5 个交点,故在区间-5,0 上共有 5 个交点; 当 x∈(0,10 时结合图像知共有 9 个交点.故函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间-5,10 上共有 14 个零点.

解析 数形结合,可知函数 f(x)的两个零点分别在区间(0,1),(1,+∞).去掉绝对值符号后,再 1 根据函数的性质寻找其中的关系.根据分析,不妨设 0<x1<1,x2>1,根据函数零点的概念则有|lgx1|-? ?x1=0, ?2? 1 1 1 1 1 |lgx2|-? ?x2=0,即-lgx1=? ?x1,lgx2=? ?x2,后面的方程减去前面的方程得 lg(x1x2)=? ?x2-? ?x1.由于 ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? 1? 1? x2>x1,根据指数函数的性质,? x2-? x1<0,所以 lg(x1x2)<0,即 0<x1x2<1.正确选项为 D. ?2? ?2? 2 2 10.3 解析 f(0)=-2,即-0 +b·0+c=-2,c=-2;f(-1)=1,即-(-1) +b·(-1)+c=1,故 9.D

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你的首选资源互助社区 ?-2+x,x>0, ? ? ?-x -3x-2,x≤0,
2

b=-4.
?-2,x>0, ? 故 f(x) = ? 2 ? ?-x -4x-2,x≤0, ? ?-2+x=0, ? ? ?x>0 ? ?-x -3x-2=0, 或? ? ?x≤0,
2

g(x) = f(x) + x = ?

令 g(x ) = 0 , 则

解得 x=2 或-2 或-1,故有 3 个零点.

11.0.7 解析 ∵|0.725-0.6875|<0.1,∴精确度为 0.1 的一个近似解是 0.7. x x x 12.(-∞,2ln2-2 【解析】 由于 f(x)=e -2x+a 有零点,即 e -2x+a=0 有解,所以 a=-e +2x. x x 令 g(x)=-e +2x,由 g′(x)=-e +2=0 得 x=ln2. x x 当 x∈(-∞,ln2)时,g′(x)=-e +2>0,此时 g(x)为增函数;当 x∈(ln2,+∞)时,g′(x)=-e + 2<0,此时 g(x)为减函数. x x 所以,当 x=ln2 时,函数 g(x)=-e +2x 有最大值 2ln2-2,即 g(x)=-e +2x 的值域为(-∞,2ln2- 2,所以 a∈(-∞,2ln2-2. 5 2 2 13.?1, ? 解析 由于函数 f(x)=-x -2x=-(x+1) +1≤1,只有 f(x)=t,t<1 时,方程 f(x)=t 才有 ? 4? 两个不同的实根,这样问题就等价于方程 g(t)=a 有两个小于 1 的不等实根,画出函数 g(x)的图像如图,数形 5 结合得 1≤a< . 4

14.解答 ∵f(x)=4 +m·2 +1 有且仅有一个零点, x 2 x 即方程(2 ) +m·2 +1=0 仅有一个实根. x 2 设 2 =t(t>0),则 t +mt+1=0. 2 当 Δ =0,即 m -4=0 时, m=-2 时,t=1;m=2 时,t=-1,不合题意,舍去, x ∴2 =1,x=0,符合题意. 当 Δ >0,即 m>2 或 m<-2 时, t2+mt+1=0 应有一正一负两根, 即 t1t2<0,这与 t1t2=1>0 矛盾. ∴这种情况不可能. 综上可知:m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0. 15.解答 (1)满足 f(x)=0 的 x 值在区间-2,2 上有三个,把这三个看做 g(x)对应的 y 值,则 g(x)等于这 三个值的每个 x 都有两个,故方程 fg(x)=0 有且仅有 6 个根. (2)满足 g(x)=0 的 x 值有两个,一个在区间(-2,-1)上,一个在区间(0,1)上,把这两个看做 f(x)对应 的 y 值, (x)等于这两个 x 值时, f 在区间(-2,-1)上只有一个 x 与之对应, 在区间(0,1)上有三个 x 与之对应, 故方程 gf(x)=0 有且只有 4 个根. (3)满足 f(x)=0 的 x 值在区间-2,2 上有三个,把这三个再看做 f(x)对应的 y 值,在区间(-2,-1)上只 有一个 x 值,在区间(1,2)上也只有一个 x 值,而 f(x)=0 所对应的 x 值有三个,故方程 ff(x)=0 有且仅有 5 个根. (4)同样的方法可知方程 gg(x)=0 有且仅有 4 个根. 【难点突破】 2 16.解答 (1)由题意可知 f′(x)=3ax -b,

x

x

?f′(2)=12a-b=0, ? 于是? 4 ?f(2)=8a-2b+4=-3, ?

?a=1, ? 解得? 3 ?b=4. ?

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1 3 故所求的解析式为 f(x)= x -4x+4. 3 2 (2)由(1)可知 f′(x)=x -4=(x-2)(x+2), 令 f′(x)=0,得 x=2 或 x=-2. 当 x 变化时 f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示:

x f′(x) f(x)

(-∞,-2) + 单调递增 28 ; 3

-2 0 28 3

(-2,2) - 单调递减

2 0 4 - 3

(2,+∞) + 单调递增

因此,当 x=-2 时,f(x)有极大值 4 当 x=2 时,f(x)有极小值- . 3 所以函数的大致图像如图.

4 28 故实数 k 的取值范围是- <k< . 3 3


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