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2015届高三人教通用文科数学二轮复习规范练6:函数与导数


规范练?六? 1.已知函数 f(x)=ax2+x-xln x. (1)若 a=0,求函数 f(x)的单调区间; 函数与导数 (2)若 f(1)=2,且在定义域内 f(x)≥bx2+2x 恒成立,求实数 b 的取值范围. 解 (1)当 a=0 时,f(x)=x-xln x,函数定义域为(0,+∞). f′(x)=-ln x,由-ln x=0,得 x=1. 当 x∈(0,1)时

,f′(x)>0,f(x)在(0,1)上是增函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)在(1,+∞)上是减函数. (2)由 f(1)=2,得 a+1=2,∴a=1, ∴f(x)=x2+x-xln x, 由 f(x)≥bx2+2x,得(1-b)x-1≥ln x. 1 ln x 又∵x>0,∴b≤1-x- x 恒成立. 1 ln x ln x 令 g(x)=1- x- x ,可得 g′(x)= x2 ,由 g′(x)=0,得 x=1. ∴g(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增, ∴g(x)min=g(1)=0, ∴b 的取值范围是(-∞,0]. 2.设 f(x)=ex(ax2+x+1). (1)若 a>0,讨论 f(x)的单调性; π? ? (2)x=1 时,f(x)有极值,证明:当 θ∈?0,2?时,|f(cos θ)-f(sin ? ? (1)解 1 f′(x)=ex(ax2+x+1)+ex(2ax+1)=aex(x+a)(x+2), θ)|<2. 1 1 当 a=2时,由 f′(x)=2ex(x+2)2≥0,所以 f(x)在 R 上单增递增; 1 1 当 0<a<2时,由 f′(x)>0,得 x>-2 或 x<-a; 1 由 f′(x)<0,得-a<x<-2, 1? ? ? 1 ? ∴f(x)在?-∞,-a?和(-2,+∞)上单调递增,在?-a,-2?上单调递减. ? ? ? ? 1 1 当 a>2时,由 f′(x)>0,得 x>-a或 x<-2, 1 由 f′(x)<0,得-2<x<-a, 1? ? 1 ? ∴f(x)在(-∞,-2)和?-a,+∞ )上单调递增,在?-2,-a?上单调递减. ? ? ? (2)证明 ∵x=1 时,f(x)有极值, ∴f′(1)=3e(a+1)=0,∴a=-1, ∴f(x)=ex(-x2+x+1),f′(x)=-ex(x-1)(x+2). 由 f′(x)>0,得-2<x<1,∴f(x)在[-2,1]上单增. π? ? ∵θ∈?0,2?,∴sin ? ? θ,cos θ∈[0,1], ∴|f(cos θ)-f(sin θ)|≤f(1)-f(0)=e-1<2. 3.已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx+c 在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数, 函数 f(x)在 R 上有三个零点,且 1 是其中一个零点. (1)求 b 的值;(2)求 f(2)的取值范围; (3)设 g(x)=x-1,且 f(x)>g(x)的解集为(-∞,1),求实数 a 的取值范围. 解 (1)∵f′(x)=-3x2+2ax+b ∴当 x=0 时,f(x)取到极小值,即 f′(0)=0,∴b=0. (2)由(1)知,f(x)=-x3+ax2+c, ∵1 是函数 f(x)的一个零点,即 f(1)=0,∴c=1-a. ∵f′(x)=-3x2+2ax=0 的两个根分别为 2a x1=0,x2= 3 . 又∵f(x)在(0,1)上是增函数,且函数 f(x)在 R 上有三个零点, 2a 3 ∴x2= 3 >1,即 a>2.

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