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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学4-4


基础巩固强化 一、选择题 1.sin75° cos30° -sin15° sin150° 的值为( A.1 2 C. 2 [答案] C [ 解 析 ] sin75° cos30° - sin15° sin150° = sin75° cos30° - 1 B.2 3 D. 2 )

2 cos75° sin30° =sin(75° -30° )=sin45° =2. 2.(2012· 豫南九校联考)函数 y=cos2ax-sin2ax 的最小正周期为 π,则 a 的值是( A.-1 C.2 [答案] D 2π π [解析] y=cos2ax-sin2ax=cos2ax,T=2|a|=|a|=π,∴a=± 1. 3.(文)计算 tan75° -tan15° - 3tan15° · tan75° 的结果等于( A. 3 3 C. 3 [答案] A [ 解析 ] ∵ tan60° = tan(75° - 15° )= tan75° -tan15° = 3 ,∴ 1+tan15° · tan75° B.- 3 3 D.- 3 ) ) B.1 D.± 1

tan75° -tan15° = 3(1+tan15° · tan75° ), ∴tan75° -tan15° - 3tan15° · tan75° = 3,故选 A. 1 π (理)(2013· 榆林模拟)若 tanα=lg(10a),tanβ=lg(a),且 α+β=4, 则实数 a 的值为( A.1 1 C.1 或10 [答案] C 1 [解析] ∵tanα=lg(10a)=1+lga,tanβ=lg(a)=-lga, ∴tan(α+β)= = tanα+tanβ 1-tanα· tanβ ) 1 B.10 D.1 或 10

?1+lga?+?-lga? 1 = =1, 1-?-lga?· ?1+lga? 1+lga+lg2a

∴lg2a+lga=0,∴lga=0 或-1. 1 ∴a=1 或10. π 4.(2013· 池州期末)已知 θ 是△ABC 中的最小角,则 sin(θ+3)的 取值范围是( 3 A.( 2 ,1] 1 C.(2,1] [答案] B [解析] ∵ θ 是 △ ABC 中 的 最 小 角 , 不 妨 设 B = θ , 则 ) 3 B.[ 2 ,1] 1 D.[2,1]

π 0<θ≤A,0<θ≤C,∴0<3θ≤A+B+C=π,即 0<θ≤3.

π π 2π ∴3<θ+3≤ 3 , π 3 ∴sin(θ+3)的取值范围是[ 2 ,1],故选 B. 5.(文)在△ABC 中,如果 sinA= 3sinC,B=30° ,那么角 A 等 于( ) A.30° C.60° [答案] D [解析] ∵△ABC 中,B=30° ,∴C=150° -A, 3 3 ∴sinA= 3sin(150° -A)= 2 cosA+2sinA, ∴tanA=- 3,∴A=120° . 5 10 (理)已知 sinα= 5 ,sin(α-β)=- 10 ,α、β 均为锐角,则 β 等 于( ) 5π A.12 π C.4 [答案] C π π [解析] ∵α、β 均为锐角,∴-2<α-β<2, 3 10 ∴cos(α-β)= 1-sin2?α-β?= 10 , 5 ∵sinα= 5 ,∴cosα= ∴sinβ=sin[α-(α-β)] 1-?
? 5?2 2 5 ?= 5 . ? 5?

B.45° D.120°

π B.3 π D.6

2 =sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)= 2 . π π ∵0<β<2,∴β=4,故选 C. π 6.(2013· 云南师大附中月考)已知 x=4是函数 f(x)=asinx+bcosx 的一条对称轴,且 f(x)的最大值为 2 2,则函数 g(x)=asinx+b( A.最大值是 2,最小值是-2 B.最大值可能是 0 C.最大值是 4,最小值是 0 D.最小值不可能是-4 [答案] B π π [解析] 由 f(x)=asinx+bcosx 的一条对称轴是4,得 f(0)=f(2), 即 a=b,a2+b2=8,解得 a=b=2 或 a=b=-2,所以 g(x)=2sinx +2 或 g(x)=-2sinx-2,故选 B. 二、填空题 4m-6 7.(文)要使 sinα- 3cosα= 有意义,则 m 的取值范围是 4-m ________. 7 [答案] [-1,3] π π [解析] ∵sinα- 3cosα=2(sinαcos3-sin3cosα) π =2sin(α-3)∈[-2,2], 4m-6 ∴-2≤ ≤2. 4-m )

由 由

4m-6 ≥-2 得,-1≤m<4; 4-m 4m-6 7 7 ≤2 得,m≤3或 m>4,∴-1≤m≤3. 4-m

π (理)函数 f(x)=asinx-bcosx 的图象的一条对称轴是直线 x=4, 则 直线 ax-by+c=0 的倾斜角的大小为________. [答案] 3π ) 4 (或 135°

[解析] f(x)的图象的对称轴过其最高点或最低点, a-b π ∴f(4)=± a2+b2,∴ =± a2+b2,解得 a+b=0.∴直线 ax 2 a -by+c=0 的斜率 k=b=-1, 3π ∴直线 ax-by+c=0 的倾斜角为 135° (或 4 ). π π 8.已知 α、β∈(0,2),且 tanα· tanβ<1,比较 α+β 与2的大小, 用“<”连接起来为________. π [答案] α+β<2 π? ? [解析] ∵tanα· tanβ<1,α、β∈?0,2?,
? ?

sinα· sinβ ∴cosα· sinβ<cosα· cosβ, cosβ<1,∴sinα· ∴cos(α+β)>0, π ∵α+β∈(0,π),∴α+β<2. 9.已知 tanα、tanβ 是关于 x 的一元二次方程 x2+4x-5=0 的两 sin?α+β? 实根,则 =________. cos?α-β?

[答案] 1 [解析] ∵tanα、tanβ 为方程 x2+4x-5=0 的两根,
? ?tanα+tanβ=-4, ∴? ?tanα· tanβ=-5, ?

∴ =

sin?α+β? sinαcosβ+cosαsinβ tanα+tanβ = = cos?α-β? cosαcosβ+sinαsinβ 1+tanαtanβ -4 =1. 1+?-5?

三、解答题 10.(文)已知函数 f(x)=-2 3sin2x+sin2x+ 3. (1)求函数 f(x)的最小正周期和最小值; (2)在给出的直角坐标系中,画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图 象.

[解析] (1)f(x)= 3(1-2sin2x)+sin2x=sin2x+ 3cos2x=2sin(2x π +3), 2π 所以,f(x)的最小正周期 T= 2 =π,最小值为-2.

(2)列表: x f (x ) 0 3 π 12 2 π 3 0 7π 12 -2 5π 6 0 π 3

故画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象如图.

1 (理)已知函数 f(x)= 3sinxcosx-cos2x-2,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小值和最小正周期; (2)已知△ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 c=3, f(C)=0,若向量 m=(1,sinA)与 n=(2,sinB)共线,求 a、b 的值. [ 解析 ] 1 3 1 (1)f(x)= 3sinxcosx- cos2x-2= 2 sin2x-2cos2x- 1=

π sin(2x-6)-1, ∴f(x)的最小值是-2,最小正周期为 π. π π (2)∵f(C)=sin(2C-6)-1=0,即 sin(2C-6)=1, π π 11π ∵0<C<π,-6<2C-6< 6 ,

π π π ∴2C-6=2,∴C=3. ∵m 与 n 共线,∴sinB-2sinA=0. a b 由正弦定理sinA=sinB,得 b=2a,① π ∵c=3,由余弦定理得,9=a2+b2-2abcos3,②
? ?a= 3, 解方程组①②得,? ?b=2 3. ?

能力拓展提升 一、选择题 11.设△ABC 的三个内角 A、B、C,向量 m=( 3sinA,sinB), n=(cosB, 3cosA),若 m· n=1+cos(A+B),则 C=( π A.6 2π C. 3 [答案] C [解析] m· n = 3 sinAcosB + 3 sinBcosA = 3 sin(A + B) = 3 π B.3 5π D. 6 )

sinC, cos(A+ B)=- cosC,∵m· n= 1+ cos(A+ B),∴ 3sinC= 1- π 1 cosC,∴sin(C+6)=2, 2π ∵0<C<π,∴C= 3 . 3π 12.(文)已知 sinβ=5(2<β<π),且 sin(α+β)=cosα,则 tan(α+β) =( ) A.1 B.2

C.-2 [答案] C

8 D.25

3 π 4 [解析] ∵sinβ=5,2<β<π,∴cosβ=-5, ∴sin(α+β)=cosα=cos[(α+β)-β] =cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ 4 3 =-5cos(α+β)+5sin(α+β), 2 4 ∴5sin(α+β)=-5cos(α+β),∴tan(α+β)=-2. 2 2 (理)已知 sinx-siny=-3, cosx-cosy=3, 且 x、 y 为锐角, 则 tan(x -y)=( ) 2 14 B.- 5 5 14 D.± 28

2 14 A. 5 2 14 C.± 5 [答案] B

5 [解析] 两式平方相加得:cos(x-y)=9, π ∵x、y 为锐角,sinx-siny<0,∴x<y,∴-2<x-y<0, 2 14 ∴sin(x-y)=- 1-cos2?x-y?=- 9 , ∴tan(x-y)= sin?x-y? 2 14 =- 5 . cos?x-y?

π x x 13.(2013· 忻州一中期中)命题:?x∈[0,3],使 3cos22+ 3sin2 x 3 cos2<a+2成立,则实数 a 的取值范围是( )

A.(1,+∞) 3 C.(2,+∞) [答案] D [ 解析 ]

3 B.( 2 ,+∞) D.( 3,+∞)

x x x 3?1+cosx? 3 3 3 3cos2 2 + 3sin 2 cos 2 = + sin x = + 3( 2 2 2 2

1 3 π 3 cosx+2sinx)=2+ 3sin(x+3)<a+2, π π π π 2π 故 a> 3sin(x+3),因为 x∈[0,3],故 x+3∈[3, 3 ],故 3sin(x π +3)的最大值为 3,要使不等式恒成立,则 a> 3,选 D. 二、填空题 π 14.(2012· 山西高考联合模拟)设 f(x)=asin(π-2x)+bsin(2+2x), π 其中 a,b∈R,ab≠0,若 f(x)≤|f(6)|对一切 x∈R 恒成立,则 11π ①f( 12 )=0 ②f(x)的周期为 2π ③f(x)既不是奇函数也不是偶函数 ④存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交 以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号) [答案] ①③ [解析] π f(x) = asin(π - 2x) + bsin( 2 + 2x) = asin2x + bcos2x =

b a2+b2sin(2x+φ),其中,tanφ=a, π ∵f(x)≤|f(6)|对一切 x∈R 恒成立,

π π π ∴|f(6)|= a2+b2,∴2×6+φ=kπ+2, π ∴φ=kπ+6, 又 f(x)的周期 T=π,故①③正确,②④错误. π 12 π 15.(文)(2013· 安徽安庆一模)已知 cos(4-α)=13,α∈(0,4),则 cos2α =________. π sin?4+α? 10 [答案] 13 12 2 [解析] 由已知得 sinα+cosα= 13 , 288 119 两边平方得 1+2sinαcosα=169,∴2sinαcosα=169, 50 5 2 ∴1-2sinαcosα=169,即 cosα-sinα= 13 . cos2α-sin2α cos2α 10 ∴ π = = 2(cosα-sinα)=13. 2 sin?4+α? 2 ?sinα+cosα? ( 理 )(2013· 湖南师大附中月考)计算: ________. [答案] -4 sin12° - 3 cos12° [解析] 原式= 2?2cos212° -1?sin12° sin12° - 3cos12° =2sin12° cos12° cos24° tan12° - 3 = 2 ?4cos 12° -2?sin12°

1 3 2?2sin12° - 2 cos12° ? = sin24° cos24° = 2sin?12° -60° ? =-4. 1 2sin48°

三、解答题 π? π? ? ? 16.(文)已知函数 f(x)=sin?2x+6?+sin?2x-6?-2cos2x.
? ? ? ?

(1)求函数 f(x)的值域及最小正周期; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. [ 解析 ] 1) =2?
? 3 ? π? ? 1 ?-1=2sin?2x- ?-1. sin2 x - cos2 x 6? 2 ? ?2 ? ? ?

3 1 3 1 (1)f(x)= 2 sin2x+2 cos2x+ 2 sin2x-2cos2x- (cos2x+

π? ? 由-1≤sin?2x-6?≤1 得, π? ? -3≤2sin?2x-6?-1≤1.
? ?

可知函数 f(x)的值域为[-3,1]. 且函数 f(x)的最小正周期为 π. π π π (2)由 2kπ-2≤2x-6≤2kπ+2(k∈Z)解得, π π kπ-6≤x≤kπ+3(k∈Z). π π 所以 y=f(x)的单调增区间为[kπ-6,kπ+3](k∈Z). π (理)已知函数 f(x)=2sinxcos(x+6)-cos2x+m. (1)求函数 f(x)的最小正周期;

π π (2)当 x∈[-4,4]时,函数 f(x)的最小值为-3,求实数 m 的值. π [解析] (1)∵f(x)=2sinxcos(x+6)-cos2x+m 3 1 =2sinx( 2 cosx-2sinx)-cos2x+m = 3sinxcosx-sin2x-cos2x+m 1-cos2x 3 = 2 sin2x- -cos2x+m 2 3 1 1 = 2 sin2x-2cos2x-2+m π 1 =sin(2x-6)-2+m. 2π ∴f(x)的最小正周期 T= 2 =π. π π π π (2)∵-4≤x≤4,∴-2≤2x≤2, 2π π π π 3 ∴- 3 ≤2x-6≤3,∴-1≤sin(2x-6)≤ 2 . 1 ∴ f(x)的最小值为-1-2+m. 1 3 由已知,有-1-2+m=-3,∴m=-2.

考纲要求 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式, 能利用两角差的余 弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.会正用、逆用或变 形用两角和与差公式进行求值、化简和证明. 能用两角和的正弦、 余弦、 正切公式, 导出二倍角的正弦、 余弦、 正切公式,了解它们的内在联系.会用二倍角公式进行求值、化简和

证明. 补充说明 1.在两角和与差的公式中,以公式 C(α±β)为最基本,其推导过程 应熟练掌握.教材用平面向量对 C(α-β)进行了推导,类似地也可以用 平面向量方法推证 C(α+β).下面用对称和两点间的距离公式给出 C(α+β) 的推证过程,望细心体会其思路方法.

如图,点 P1,P2,P3,P4 的坐标分别为 P1(1,0),P2(cosα,sinα), P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4 (cos(-β),sin(-β)),由|P1P3|=|P2P4|及两点间距离公式得[cos(α +β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2,整理得 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,本公式中 α,β 对任意角都成立. 也可以先用此法导出 C(α-β). 2.公式的灵活运用 (1)公式的逆用与变形运用 如:tanα± tanβ=tan(α± β)(1?tanα· tanβ), 1+cos2α 1-cos2α sin2α 2 cosα=2sinα,cos2α= , sin α = , 2 2 α 1+cosα α 1-cosα α 1-cosα cos22= 2 ,sin22= 2 ,tan22= . 1+cosα (2)解题过程中注意公式的选取

由于 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.解题时应根据 不同的函数名称的需要,选取不同的形式.公式的双向应用分别起缩 角升幂 (1 + cos2α = 2cos2α , 1 - cos2α = 2sin2α) 和扩角降幂 (sin2α = 1-cos2α 1+cos2α 2 , cos α = )的作用. 2 2 3.在三角函数的化简、求值与证明中,常常对条件和结论进行 恰当变换,以满足应用公式的条件.常见的有: (1)角的变换, 注意拆角、 拼角技巧(如 α=(α+β)-β=(α-β)+β, α+β α-β α-β ? β? ?α ? (α+β)+(α-β)=2α,β= 2 - 2 , 2 =?α+2?-?2+β?,75° = ? ? ? ? 45° +30° 等等),沟通条件与结论中的角. π (2)名称变换(如应用2± α 正余互变, 切割化弦, 应用平方关系 sin2α +cos2α=1 正弦、余弦互变、弦化切等等),以减少角的种类. (3)幂的变换(升幂缩角 1+cos2α=2cos2α;1-cos2α=2sin2α,降 α 1-cosα α 1+cosα 幂扩角 sin22= 2 ,cos22= 2 等). (4)1 的代换(1=sin2α+cos2α=tanα· cotα=sinα· cscα=cosα· secα= tan45° 等). (5)结构变换(如,形如 asinα+bcosβ 的式子都可以通过合理的变 形化为只含一个角的三角函数形式 a2+b2sin(γ+φ),其中 α、β 都是 γ 的表达式,φ 为常数;常值代换、通分、约分、分解组合、配方、 平方). 总之,有关三角恒等变换解题时总的思路是:切化弦,消多元, 角拼凑,1 代换,引辅角,化一函,降高次,化特值,找差异,求联 系. [例] 计算(tan10° - 3)· sin40° .

[解析] 原式=? = =

?sin10° ? - 3cos10° ?· sin40° cos10° ? ?

2?sin10° cos60° -cos10° sin60° ?sin40° cos10° -2sin50° sin40° -2sin40° cos40° = cos10° cos10°

-sin80° = cos10° =-1. 备选习题 1 1 1 1.设 a=log2tan70° ,b=log2sin25° ,c=log2cos25° ,则它们的 大小关系为( A.a<c<b C.a<b<c [答案] A 1 [解析] ∵tan70° >tan45° =1>cos25° >sin25° >0,y=log2x 为单调 递减函数,∴a<c<b. 2.已知直线 l:xtanα-y-3tanβ=0 的斜率为 2,在 y 轴上的截 距为 1,则 tan(α+β)=( 7 A.-3 5 C.7 [答案] D 1 [解析] 由条件得 tanα=2,tanβ=-3, ) 7 B.3 D.1 ) B.b<c<a D.b<a<c

∴tan(α+β)=

tanα+tanβ = 1 =1. 1-tanα· tanβ 1-2×?-3?

1 2+?-3?

3 . (2013· 兰 州 一 中 月 考 ) 已 知 函 数 f(x) = (cos2xcosx + sin2xsinx)sinx,x∈R,则 f(x)是( A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为2的奇函数 π D.最小正周期为2的偶函数 [答案] A 1 [解析] f(x)=2sin2x,为最小正周期为 π 的奇函数,选 A. tan20° +tan40° +tan120° 4. tan20° tan40° tan120° 的值是________. [答案] 1 [解析] ∵tan20° +tan40° =tan60° (1-tan20° · tan40° ), ∴ tan20° + tan40° + tan120° = 3 - 3tan20° tan40° - 3 =- 3 tan20° tan40° =tan20° tan40° tan120° ,∴原式=1. 5 10 5.已知 A、B 均为钝角且 sinA= 5 ,sinB= 10 ,则 A+B 的值 为________. [答案] 7π 4 )

5 10 [解析] ∵A、B 均为钝角且 sinA= 5 ,sinB= 10 , ∴cosA=- 1-sin2A=- 2 2 5 =- 5 , 5

cosB=- 1-sin2B=-

3 3 10 =- 10 , 10

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB 2 5 3 10 5 10 2 =- 5 ×(- 10 )- 5 × 10 = 2 , π π 又∵2<A<π,2<B<π, 7π ∴π<A+B<2π,∴A+B= 4 .


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