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2015届广东高考数学(理)一轮课件【7.1】不等关系与一元二次不等式


数学

粤(理)

§7.1 不等关系与一元 二次不等式
第七章 不等式、推理与证明

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在 的,我们用数学符号

>、<、≥、≤、≠

连接两个

数或代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不 等号的式子,叫做不等式.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

2.两个实数比较大小的方法
?a-b>0?a > b ? (1)作差法?a-b=0?a = b ?a-b<0?a < b ? ?a ? >1?a > b ?b ?a (2)作商法? =1?a = b ?b ?a ? <1?a < b ?b
基础知识 题型分类

(a,b∈R);

(a∈R,b>0).

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

3.不等式的性质 (1)对称性: a>b? b<a; (2)传递性: a>b, b>c? a>c ; (3)可加性: a>b? a+ c > b+ c, a>b, c>d? a+ c > b+ d; (4)可乘性: a>b, c>0? ac > bc, a>b>0, c>d>0? ac > bd; (5)可乘方: a>b>0? an > bn(n∈ N, n≥ 1); n n (6)可开方: a>b>0? a > b (n∈ N, n≥ 2).
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基础知识·自主学习
要点梳理
4.“ 三个二次 ”的关系 判别式 Δ=b2- 4ac 二次函数 y=ax2+ bx + c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2+ bx 有两相异实根 + c= 0(a>0)的根 x1,x2(x1<x2) ax2+ bx+ c>0 (a>0)的 解集 ax2+ bx+ c<0(a>0)的 解集
基础知识

知识回顾 理清教材

Δ>0

Δ= 0

Δ<0

{x|x<x1或 x>x2}
{x|x1< x<x2}

有两相等实根 b x1=x2=- 2a

没有实数 根 {x|x∈ R}

{x|x≠x1}
?

?

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) √ (3) √ (4) √(5) × (6) ×

解析

B A
[1,4]

(-5,0)∪(5,+∞)

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一

【例1】

c c (1)设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:① > ; a b

不等式的性质及应用

②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c).其中所有正确结论的序号 是 A.① B.①② C.②③ D.①②③ ( )

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一

【例1】

c c (1)设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:① > ; a b

不等式的性质及应用

②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c).其中所有正确结论的序号 是 ( D )
思维启迪 利用不等式的性质进行变形,比较大小时要注意题设条件. A.① B.①② 1 1 C.②③ D.①②③ 解析 (1)∵a>b>1,∴ < . a b c c 又 c<0,∴ > ,故结论①正确; a b

函数y=xc(c<0)为减函数,又a>b,∴ac<bc,故结论②正确;
根据对数函数的单调性,logb(a-c)>logb(b-c)>loga(b-c),故 ③正确. ∴正确结论的序号是①②③.
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题型分类·深度剖析
题型一 不等式的性质及应用
(2)(2012· 四川)设a,b为正实数.现有下列命题: 1 1 2 2 ①若a -b =1,则a-b<1;②若 - =1,则a-b<1;③若| a - b a b |=1,则|a-b|<1;④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号 )
(2)①中,a2-b2=(a+b)(a-b)=1,a,b为正实数,若a-b≥1,
则必有a+b>1,不合题意,故①正确. 1 1 a-b ②中, - = =1,只需a-b=ab即可. b a ab
2 4 如取a=2,b= 满足上式,但a-b= >1,故②错. 3 3
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题型分类·深度剖析
题型一 不等式的性质及应用
(2)(2012· 四川)设a,b为正实数.现有下列命题: 1 1 2 2 ①若a -b =1,则a-b<1;②若 - =1,则a-b<1;③若| a - b a b |=1,则|a-b|<1;④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1. ①④ 其中的真命题有________.( 写出所有真命题的编号 )
③中,a,b为正实数,所以 a+ b>| a- b|=1,

且|a-b|=|( a+ b)( a- b)|=| a+ b|>1,故③错.
④中,|a3-b3 |=|(a-b)(a2+ab+b2)|=|a-b|(a2+ab+b2)=1.
若|a-b|≥1,不妨取a>b>1,则必有a2+ab+b2>1,不合题意,故 ④正确.
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题型分类·深度剖析
题型一 不等式的性质及应用

思维升华

判断多个不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反

例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质,常见的反例构成 方式可从以下几个方面思考:①不等式两边都乘以一个代数式 时,考察所乘的代数式是正数、负数或0;②不等式左边是正数, 右边是负数,当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变; ③不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号 方向不变等.

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
ln 2 ln 3 ln 5 跟踪训练1 (1)若 a= ,b= ,c= ,则 2 3 5 ( C )

A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 1 1 1 1 1 (2)若 < <0,则下列不等式:① < ;②|a |+ b>0;③a- a b a a+b ab 1 >b- ;④ln a2>ln b2中,正确的不等式是 ( ) b D.②④ b 2ln 3 解析 (1)易知 a,b,c 都是正数, =3ln 2=log89>1, a a 5ln 2 所以 b>a; =2ln 5=log2532>1,所以 a>c. 即 c<a<b.故选 C. c 1 1 (2)由 < <0,可知 b<a<0. a b 1 1 ①中,因为 a+b<0,ab>0,所以 <0, >0. ab a+b
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

A.①④

B.②③

C.①③

题型分类·深度剖析
ln 2 ln 3 ln 5 跟踪训练1 (1)若 a= ,b= ,c= ,则 2 3 5 ( C )

A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 1 1 1 1 1 (2)若 < <0,则下列不等式:① < ;②|a |+ b>0;③a- a b a a+b ab 1 >b- ;④ln a2>ln b2中,正确的不等式是 ( ) b A.①④ B.②③ C.①③ 1 1 故有 < ,即①正确; a+b ab D.②④

②中,因为 b<a<0,所以-b>-a>0.
故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误; 1 1 1 1 ③中,因为 b<a<0,又 < <0,所以 a- >b- ,故③正确; a b a b
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题型分类·深度剖析
ln 2 ln 3 ln 5 跟踪训练1 (1)若 a= ,b= ,c= ,则 2 3 5 ( C )

A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 1 1 1 1 1 (2)若 < <0,则下列不等式:① < ;②|a |+ b>0;③a- a b a a+b ab 1 >b- ;④ln a2>ln b2中,正确的不等式是 ( C ) b A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
④中,因为b<a<0,根据y=x2在(-∞,0)上为减函数,可得 b2>a2>0,
而 y=ln x 在定义域(0,+∞)上为增函数, 所以 ln b2>ln a2,故④错误.

由以上分析,知①③正确.
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题型分类·深度剖析
题型二 一元二次不等式的解集
思维启迪 解析 思维升华

【例2】 解集:

求下列不等式的

(1)-x2+8x-3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 一元二次不等式的解集
思维启迪 解析 思维升华

【例2】 解集:

求下列不等式的

(1)可利用求根公式得到方程- x2+ 8x-3=0的解,再求不等 式的解集;
(2)含参数a,要进行分类讨论.

(1)-x2+8x-3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二 一元二次不等式的解集
思维启迪 解析 思维升华

(1)因为 Δ=82-4×(-1)×(-3)=

【例2】 解集:

求下列不等式的

52>0,

所以方程-x2+8x-3=0 有两个不相 等的实根 x1=4- 13,x2=4+ 13.
又二次函数 y=-x2+8x-3 的图象 开口向下,

(1)-x2+8x-3>0; (2)ax -(a+1)x+1<0.
2

所以原不等式的解集为 {x|4 - 13 <x<4+ 13}.
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

题型分类·深度剖析
题型二 一元二次不等式的解集
思维启迪 解析 思维升华

(2)若 a=0,原不等式等价于-x+

【例2】 解集:

求下列不等式的

(1)-x2+8x-3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0.

1<0,解得 x>1. 1 若 a<0,原不等式等价于(x- )(x- a 1 1)>0,解得 x< 或 x>1. a 1 若 a>0, 原不等式等价于(x- )(x-1)<0. a 1 1 ①当 a=1 时, =1,(x- )(x-1)<0 a a
1 1 ②当 a>1 时, <1, 解(x- )(x-1)<0 a a 1 得 <x<1; a

无解;

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 一元二次不等式的解集
思维启迪 解析 思维升华

【例2】 解集:

求下列不等式的

1 1 ③当 0<a<1 时, >1,解(x- )(x- a a 1 1)<0 得 1<x< . a 1 综上所述:当 a<0 时,解集为{x|x< a
或 x>1};
当 a=0 时, 解集为{x|x>1}; 当 0<a<1 时, 1 解集为{x|1<x< };当 a=1 时,解集 a 1 为?;当 a>1 时,解集为{x| <x<1}. a
思想方法 练出高分

(1)-x2+8x-3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0.

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型二 一元二次不等式的解集
思维启迪 解析 思维升华

含有参数的不等式的求解,往

【例2】 解集:

求下列不等式的

往需要对参数进行分类讨论 .
(1)若二次项系数为常数,首先确 定二次项系数是否为正数,再考 虑分解因式,对参数进行分类讨 论,若不易分解因式,则可依据 判别式符号进行分类讨论;

(1)-x2+8x-3>0; (2)ax -(a+1)x+1<0.
2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 一元二次不等式的解集
思维启迪 解析 思维升华

(2)若二次项系数为参数,则应先

【例2】 解集:

求下列不等式的

考虑二次项系数是否为零,确定 不等式是否是二次不等式,然后 再讨论二次项系数不为零的情 形,以便确定解集的形式;

(1)-x +8x-3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0.

2

(3)对方程的根进行讨论,比较大 小,以便写出解集.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
1 1 跟踪训练2 (1)若不等式ax2+bx+2>0的解为- <x< ,则不等 2 3 式2x2+bx+a<0的解集是__________. x-1 (2)不等式 ≤0的解集为__________. 2x+1
解析 1 1 (1)由题意,知-2和3是一元二次方程 ax2+bx+2=0 的

两根且 a<0,

b ? 1 1 ?-2+3=-a 所以? ?-1×1=2 ? 2 3 a
基础知识

? ?a=-12 ,解得? ? ?b=-2

.

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
1 1 跟踪训练2 (1)若不等式ax2+bx+2>0的解为- <x< ,则不等 2 3 (-2,3) 式2x2+bx+a<0的解集是__________.
1 x-1 ( - (2)不等式 ≤0的解集为__________. 2,1] 2x+1

则不等式 2x2+bx+a<0 即 2x2-2x-12<0,其解集为{x|-2<x<3}.
??x-1??2x+1?≤0 ? (2)原不等式等价于? ? ?2x+1≠0

(*)

1 由(*)解得- <x≤1. 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 不等式恒成立问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 -mx-1.

设函数 f(x)= mx2

(1)若对于一切实数 x, f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)< -m+5 恒成立,求 m 的取 值范围.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 不等式恒成立问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 -mx-1.

设函数 f(x)= mx2

(1)分 m=0和 m≠0讨论, m≠0

(1)若对于一切实数 x, f(x)<0 可结合图象看Δ的条件; 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)< -m+5 恒成立,求 m 的取 值范围.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

(2)可分离参数m,利用函数最 值求m的范围.

题型分类·深度剖析
题型三 不等式恒成立问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 -mx-1.

设函数 f(x)= mx2

(1)要使 mx2-mx-1<0 恒成立,

若 m=0,显然-1<0; ? ?m<0, (1)若对于一切实数 x, f(x)<0 若 m≠0 ,则 ? ?- 2 ? ?Δ=m +4m<0

恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<

4<m<0. 所以-4<m≤0.

(2)要使 f(x)<-m+5 在 x∈[1,3] 上恒
? 1?2 3 m?x- ? + m-6<0 2? 4 ?

-m+5 恒成立,求 m 的取 成立,即 值范围.
基础知识 题型分类

在 x∈[1,3] 上恒

成立.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 不等式恒成立问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 -mx-1.

设函数 f(x)= mx2

有以下两种方法:

方法一

? 1? 2 3 令g(x)=m ?x-2? + 4 m- ? ?

(1)若对于一切实数 x, f(x)<0 6,x∈[1,3].
所以 g(x)max=g(3)?7m-6<0,
6 6 所以 m< ,则 0<m< ; 7 7 当 m=0 时,-6<0 恒成立;

恒成立,求 m 的取值范围; 当 m>0 时,g(x)在[1,3] 上是增函数, (2)若对于 x∈[1,3],f(x)< -m+5 恒成立,求 m 的取 值范围.
基础知识 题型分类

当 m<0 时,g(x)在[1,3] 上是减函数,
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 不等式恒成立问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 -mx-1.

设函数 f(x)= mx2

所以 g(x)max=g(1)?m-6<0, 所以 m<6,所以 m<0.

6 (1)若对于一切实数 x, f(x)<0 综上所述: m 的取值范围是{m|m< }. 7

恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<

方法二 >0,

因为x

2

? 1? 2 3 -x+1= ?x-2? + 4 ? ?

-m+5 恒成立,求 m 的取 又因为 m(x2-x+1)-6<0, 值范围.
基础知识 题型分类

6 所以 m< 2 . x -x+1
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 不等式恒成立问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 -mx-1.

设函数 f(x)= mx2

因 为 函 数

y =

6 = 2 x - x+ 1

6 (1)若对于一切实数 x, f(x)<0 ? 1?2 3 在 [1,3] 上的最小值为 ?x- ? + 2? 4 ? 恒成立,求 m 的取值范围; 6 6 ,所以只需 m< 即可 . 7 7

(2)若对于 x∈[1,3],f(x)<

-m+5 恒成立,求 m 的取 值范围.
基础知识 题型分类

所以,m

? 6? 的取值范围是?m|m<7?. ? ?

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 不等式恒成立问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

(1)对于一元二次不等式恒成立问 题,恒大于0就是相应的二次函数 -mx-1. 的图象在给定的区间上全部在 x轴 (1)若对于一切实数 x, f(x)<0 上方,恒小于0就是相应的二次函 恒成立,求 m 的取值范围; 数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数 (2)若对于 x∈[1,3],f(x)< 的最值或用分离参数法求最值 .

设函数 f(x)= mx

2

-m+5 恒成立,求 m 的取 值范围.
基础知识 题型分类

(2) 解决恒成立问题一定要搞清谁 是主元,谁是参数,一般地,知道 谁的范围,谁就是主元,求谁的范 围,谁就是参数.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
x2+2x+a 跟踪训练 3 已知函数 f(x)= ,若对任意 x∈[1,+∞), x f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.
x2+2x+a 解 因为 x∈[1,+∞)时,f(x)= >0 恒成立,即 x2+2x x +a>0 恒成立.
即当 x≥1 时,a>-(x2+2x)=g(x)恒成立. 而 g(x)=-(x2+2x)=-(x+1)2+1 在[1,+∞)上单调递减, 所以 g(x)max=g(1)=-3,故 a>-3. 所以,实数 a 的取值范围是{a|a>-3}.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列10 转化与化归思想在不等式中的应用
典例: (10 分 )(1)(2012· 江苏 )已知函数 f(x)=x2+ ax+ b(a, b∈ R)的值域为[0, +∞ ), 若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m, m+ 6), 则实数 c 的值为 ______. (2)已知 a∈[-1,1],不等式 x2+(a-4)x+ 4- 2a>0 恒成立,则 x 的取值范围 为______________.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列10 转化与化归思想在不等式中的应用
典例: (10 分 )(1)(2012· 江苏 )已知函数 f(x)=x2+ ax+ b(a, b∈ R)的值域为[0, +∞ ), 若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m, m+ 6), 则实数 c 的值为 ______. (2)已知 a∈[-1,1],不等式 x2+(a-4)x+ 4- 2a>0 恒成立,则 x 的取值范围 为______________.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)考虑函数f(x)、方程f(x)=0和不等式的关系; (2)可把不等式看作关于a的一次不等式.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列10 转化与化归思想在不等式中的应用
典例: (10 分 )(1)(2012· 江苏 )已知函数 f(x)=x2+ ax+ b(a, b∈ R)的值域为[0, +∞ ), 若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m, m+ 6), 则实数 c 的值为 ______. (2)已知 a∈[-1,1],不等式 x2+(a-4)x+ 4- 2a>0 恒成立,则 x 的取值范围 为______________.

思 维 启 迪
(1)由题意知

规 范 解 答

温 馨 提 醒

2 ? ? a a f(x)=x2+ax+b=?x+ ?2+b- . 2? 4 ?

a2 a2 ∵f(x)的值域为[0,+∞),∴b- 4 =0,即 b= 4 . ? a?2 ? ? ? ∴f(x)= x+ ? . 又∵f(x)<c. ∴?x+a?2<c, 2? ? 2? ? a a 即-2- c<x<-2+ c.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列10 转化与化归思想在不等式中的应用
典例: (10 分 )(1)(2012· 江苏 )已知函数 f(x)=x2+ ax+ b(a, b∈ R)的值域为[0,

9 +∞ ), 若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m, m+ 6), 则实数 c 的值为 ______.
(2)已知 a∈[-1,1],不等式 x2+(a-4)x+ 4- 2a>0 恒成立,则 x 的取值范围 {x|x<1 或 x>3} 为______________.

思 维 启 迪
? a ?-2- c=m, ∴? ?-a+ c=m+6. ? 2 ②-①,得 2 c=6,∴c=9.

规 范 解 答

温 馨 提 醒
① ②

(2)把不等式的左端看成关于 a 的一次函数, 记 f(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),

则由 f(a)>0 对于任意的 a∈[ -1,1] 恒成立, 易知只需 f(-1)=x2-5x+6>0, 且 f(1)=x2-3x+2>0 即可,联立方程解得 x<1 或 x>3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列10 转化与化归思想在不等式中的应用
典例: (10 分 )(1)(2012· 江苏 )已知函数 f(x)=x2+ ax+ b(a, b∈ R)的值域为[0,

9 +∞ ), 若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m, m+ 6), 则实数 c 的值为 ______.
(2)已知 a∈[-1,1],不等式 x2+(a-4)x+ 4- 2a>0 恒成立,则 x 的取值范围 {x|x<1 或 x>3} 为______________.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

本题解法中利用了转化与化归思想.

(1)中利用“三个二次”之间的联系,将不等式、函数、方程之间相互 转化; (2)中将已知不等式看作关于 a 的一次不等式,体现了主元与次元的转 化.利用转化与化归思想的原则是熟悉化原则、简单化原则、直观化原 则、正难则反原则.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高
1.判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质 和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条 件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单.

方 法 与 技 巧

2.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式 证明的主要方法之一, 比较法的主要步骤为作差 ——变形——判断正负.
3.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论 基础; 一般可把 a<0 的情况转化为 a>0 时的情形.

4.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次 不等式的解法进行求解.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高

1.不等式的性质应用要准确,尤其在不等式两边同乘以 或同除以一个数时,一定要搞清符号.

失 误 与 防 范

2.对于不等式 ax2+bx+c>0, 求解时不要忘记讨论 a=0 时的情形.

3.当 Δ<0 时,ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集是 R 还是?, 要注意区别.

基础知识

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

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专项基础训练
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1. 若 a, b 都是实数, 则“ a- b>0”是“a2-b2>0”的( A ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析

由 a- b>0 得 a>b≥0, 由 a2-b2>0 得 a2>b2, 即 a>b≥0

或 a<b≤0, 所以“ a- b>0”是“a2-b2>0”的充分而不必要 条件.
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2.(2013· 陕西 )设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数 x, y有 A.[-x]=-[x] C.[x+ y]≤[x]+[y]
解析

( D ) B.[2x]= 2[x] D.[x- y]≤[x]- [y]

特殊值法.令x=1.5,∵[ -1.5] =-2,-[1.5] =-1,

故A错;

[2× 1.5] =3,2[1.5] =2,故 B 错;
令 x=1.5,y=0.5,[ x+y] =2,[ x] +[ y] =1+0=1,故 C 错.
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3.已知

2 x ?2 ?1 ? 1 p=a+ ,q=? ? 其中 2 a-2 ? ?

a>2,x∈R,则 p,q 的大 ( A )

小关系是 A.p≥q B.p>q C.p<q D.p≤q

1 1 解析 p=a + =a-2+ +2≥2+2=4,当且仅当 a a-2 a-2 x2 ?2 ? ? ?1?-2 1 2 =3 时取等号.因为 x -2≥-2,所以 q=? ? ≤? ? =4, ?2? ?2? 当且仅当 x=0 时取等号.所以 p≥q.

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4.(2013· 安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为 ? ? 1? ? ?x|x<-1或x> ?,则f(10x)>0的解集为 ( D ) ? ? 2? ? A.{x|x<-1或x>-lg 2} C.{x|x>-lg 2}
x

B.{x|-1<x<-lg 2} D.{x|x<-lg 2}

1 1 解析 由已知条件0<10 < ,解得x<lg =-lg 2. 2 2

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5.若集合 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的取值范围是 ( D ) A.{a|0<a<4} C.{a|0<a≤4} B.{a|0≤a<4} D.{a|0≤a≤4}

解析 由题意知a=0时,满足条件.
a≠0
? ?a>0 时, 由? 2 ? ?Δ=a -4a≤0

得 0<a≤4,

所以 0≤a≤4.
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6.已知a<0,-1<b<0,那么a,ab,ab2的大小关系是
2 ab > ab >a 用“>”连接) __________.(

解析

由-1<b<0,可得b<b2<1.

又a<0,∴ab>ab2>a.

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7.函数y= x +x-12的定义域是 (-∞,-4]∪[3,+∞) _________________________.

2

解析 由x2+x-12≥0得(x-3)(x+4)≥0,
∴x≤-4或x≥3.

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8.已知不等式x2-2x+k2-1>0对一切实数x恒成立,则 (-∞,- 2)∪( 2,+∞) 实数k的取值范围为_____________________________.

解析 由题意,知Δ=4-4×1×(k2-1)<0,
即k2>2,∴k> 2或k<- 2.

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1 9.若不等式 ax2+5x-2>0的解集是 {x| <x<2}. 2 (1)求实数a的值; (2)求不等式 ax2-5x+a2- 1>0的解集.
解 (1)由题意知a<0,且方程ax2+5x-2=0的两个根 1 为 ,2,代入解得a=-2. 2

(2)由(1)知不等式为-2x2-5x+3>0,

1 即 2x +5x-3<0,解得-3<x< , 2
2

1 即不等式 ax -5x+a -1>0 的解集为(-3,2).
2 2

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10.(1)设 x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)· (x+y)的大小; 1 1 x y (2)已知 a, b, x, y∈(0, +∞)且 > , x>y, 求证: > . a b x+a y+b
(1)解 方法一 (x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

=(x-y)[x2+y2-(x+y)2]=-2xy(x-y),

∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0,∴-2xy(x-y)>0,

∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
方法二 ∵x<y<0,∴x-y<0,x2>y2,x+y<0.
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1 2 3

A组
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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10.(1)设 x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)· (x+y)的大小; 1 1 x y (2)已知 a, b, x, y∈(0, +∞)且 > , x>y, 求证: > . a b x+a y+b

∴(x2+y2)(x-y)<0,(x2-y2)(x+y)<0,
?x2+y2??x-y? x2+y2 ∴0< 2 2 = 2 2 <1, ?x -y ??x+y? x +y +2xy
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
bx-ay x y (2)证明 - = . x+a y+b ?x+a??y+b?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10.(1)设 x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)· (x+y)的大小; 1 1 x y (2)已知 a, b, x, y∈(0, +∞)且 > , x>y, 求证: > . a b x+a y+b
1 1 ∵ > 且 a,b∈(0,+∞), a b

∴b>a>0,
又∵x>y>0,

∴bx>ay>0,
bx-ay x y ∴ >0,∴ > . ?x+a??y+b? x+a y+b
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2

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3 4

5

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3 4

5

1.若a<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是 ( B ) A.(-∞,-a)∪(5a,+∞) B.(-∞,5a)∪(-a,+∞) C.(5a,-a) D.(a,-5a)
解析 由x2-4ax-5a2>0得(x-5a)(x+a)>0,

∵a<0,∴x<5a或x>-a.
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1

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专项能力提升
3 4

5

3 x 2.设函数 f(x)=x2- 1,对任意 x∈[ ,+∞),f( )-4m2· f(x)≤f(x- 1) 2 m + 4f(m)恒成立,则实数 m 的取值范围是 _____________________.

解析 -1).

x2 依据题意得 2 -1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2 m

3 在x∈[ ,+∞)上恒成立, 2

1 3 2 3 2 即 2-4m ≤- 2- +1在x∈[ ,+∞)上恒成立. 2 m x x
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

B组
2

专项能力提升
3 4

5

3 x 2.设函数 f(x)=x2- 1,对任意 x∈[ ,+∞),f( )-4m2· f(x)≤f(x- 1) 2 m
3 3 {m|m≤- 2 或 m≥ 2 } + 4f(m)恒成立,则实数 m 的取值范围是 _____________________.

3 3 2 5 当x= 时函数y=- 2- +1取得最小值- , 2 3 x x

1 5 2 所以 2-4m ≤- ,即(3m2+1)(4m2-3)≥0, 3 m
3 3 解得m≤- 或m≥ . 2 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

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专项能力提升
3 4

5

x≥0 3. 设函数 , 则满足不等式 f(1-x2)>f(2x) x<0 (-1, 2-1) . 的 x 的取值范围是_______________
解析 x≥0 时,f(x)=x2+1,易知其在[0,+∞)上单调递增,

2 ? ?x +1, f(x)=? ? ?1,

又 f(0)=1, x<0 时, f(x)=1, 所以 f(x)≥1.由不等式 f(1-x2)>f(2x)
2 ? ?2x<1-x 可得,? 2 ? ?f?1-x ?>1
2 ? ?2x<1-x ∴? 2 ? ?1-x >0


2 ,

? ?-1- 2<x<-1+ ,∴? ? ?-1<x<1

即-1<x<-1+ 2.所以 x 的取值范围是(-1, 2-1).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

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2

专项能力提升
3 4

5

4.求使不等式 x2+(a-6)x+9-3a>0,|a|≤1 恒成立的 x 的取值范围.
解 将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x-3)a+x2-6x
令 f(a)=(x-3)a+x2-6x+9.

+9>0.

因为 f(a)>0 在|a|≤1 时恒成立,所以
(1)若 x=3,则 f(a)=0,不符合题意,应舍去.
(2)若
? ?f?-1?>0 x≠3,则由一次函数的单调性,可得? ? ?f?1?>0



2 ? ?x -7x+12>0 即? 2 ? ?x -5x+6>0

,解得 x<2 或 x>4.

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3 4

5

5.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统 计规律:每生产产品 x(百台 ),其总成本为 G(x)万元,其中固定 成本为 2万元,并且每生产 100台的生产成本为1万元(总成本=固 定成本+生产成本 ),销售收入 R(x)满足 R(x)= 2 ? ?0≤x≤ 5? ?- 0.4x + 4.2x- 0.8 ? , ? ?10.2 ? x>5? 假定该产品销售平衡,那么根据上述统计规律: (1)要使工厂有盈利,产品数量x应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时盈利最大?求此时每台产品的售价为 多少?
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1


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2

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3 4

5

依题意得G(x)=x+2,设利润函数为f(x),

则 f(x)=R(x)-G(x),

所以

2 ? ?-0.4x +3.2x-2.8 f(x)=? ? ?8.2-x

?0≤x≤5? . ?x>5?

(1)要使工厂有盈利,则有f(x)>0,因为
? ? ?0≤x≤5 ?x>5 f(x)>0?? 或? 2 ? ? ?8.2-x>0 ?-0.4x +3.2x-2.8>0 ?0≤x≤5 ? ? ?0≤x≤5 ?? 2 或5<x<8.2?? ? ? ?1<x<7 ?x -8x+7<0

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5

或 5<x<8.2?1<x≤5 或 5<x<8.2?1<x<8.2.
所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于 100 台小于 820 台的范围内.

(2)当 0≤x≤5 时,f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,

故当 x=4 时,f(x)有最大值 3.6.
而当 x>5 时,f(x)<8.2-5=3.2.

所以当工厂生产400台产品时,盈利最大,此时只需求x=4时, R?4? 4 =2.4(万元/百台)=240(元/台).

所以工厂生产 400 台产品时盈利最大,此时每台产品的售价为 240 元.

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