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2011届高考数学第一轮复习测试题42


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·高 三 数 学 ·单 元 测 试 卷 (八 ) 第八单元 圆锥曲线

(时量:120 分钟 150 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列,则双曲线

的离心率 e 为 A.2 B.3
x
2

4 C. 3
? y
2

5 D. 3

2.已知双曲线的两个焦点是椭圆

? 1 的两个顶点,双曲线的两条准线经过椭圆的

100

64

两个焦点,则此双曲线的方程是 A.
x
2

?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

C.

x

2

?

y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

60

30 x
2

50 y
2

40

60

40

50

30

3.已知 P 是椭圆 比为

?

? 1 上的一点,则 P 到一条准线的距离与 P 到相应焦点的距离之

9

16

4 7 4.若抛物线 y2=2px(p>0)上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为 10 和 6,则该 点横坐标为 A.10 B.9 C.8 D.6 C. D.
2 2 5.已知动点 P(x,y)满足 5 ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? | 3 x ? 4 y ? 12 | ,则 P 点的轨迹是

4 A. 5

5 B. 4

7 4

A.两条相交直线

B.抛物线

C.双曲线

D.椭圆

1 6.过抛物线 y2= - x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,且 A、B 在直线 x= 上的 4 射影分别 M,N,则∠MFN 等于 A.45° B.60° C.90° D.以上都不对 2 2 7.直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支交于不同两点,则 k 的取值范围是 A.(- C.(- 15 15 , ) 3 3 15 ,0) 3 B.(0, D.(- 15 ) 3 15 ,-1) 3
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8.已知直线 l 交椭圆 4x2+5y2=80 于 M、N 两点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,若△ BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点,则直线 l 的方程是 A.5x+6y-28=0 B.5x-6y-28=0 C.6x+5y-28=0 D.6x -5y-28=0 9.若动点 P(x,y)与两定点 M(-a,0),N(a,0)连线的斜率之积为常数 k(ka ≠0),则 P 点的轨迹一定不可能是 A.除 M、N 两点外的圆 B.除 M、N 两点外的椭圆 C.除 M、N 两点外的双曲线 D.除 M、N 两点外的抛物线 10.点(x,y)在曲线 ? 3 3 , ] 3 3 1 2 3
? x ? ? 2 ? cos ? ? y ? sin ? (? 为参数 , ? ? ? ? ) 上,则 0

y 的取值范围是 x D.(-∞, 9 10 3 ] 3

A.[- 题号 答案

B.[- 4

3 3 ,0) C.[- ,0] 3 3 答题卡 5 6 7 8

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 11. 双曲线
( x ? 2) a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的一条准线被它的两条渐近线截得线段的长度等

于它的一个焦点到一条渐近线的距离,则双曲线的两条渐近线的夹角为 . 12.双曲线 的两个焦点 F1,F2,点 P 在双曲线上,若 PF1⊥PF2,则点 P 到 x 轴的距离为 . 13. 已知 F1、 2 是椭圆 F
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的焦点, 是椭圆上一点, P 且∠F1PF2=90° ,

则椭圆的离心率 e 的取值范围是



14. 椭圆 C1:

x

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 在第一象限部分的一点 P, P 点横坐标作为长轴长, 以

a

纵坐标作为短轴长作椭圆 C2 ,如果 C2 的离心率等于 C1 的离心率,则 P 点坐标 为 . 15.设 P 是双曲线 y2=4(x-1)上的一个动点,则点 P 到点(0,1)的距离与点 P 到 y 轴的距离之和的最小值是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 16.(本小题满分 12 分) 过双曲线
x
2

?

y

2

? 1 的右焦点 F 作倾斜角为 的直线交双曲线于 A、 两点, B 求线段
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9

16

π 4

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AB 的中点 C 到焦点 F 的距离.

17.(本小题满分 12 分)已知双曲线 x2-3y2=3 的右焦点为 F,右准线为 l,以 F 为左 焦点,以 l 为左准线的椭圆 C 的中心为 A,又 A 点关于直线 y=2x 的对称点 A’恰好在 双曲线的左准线上,求椭圆的方程.

18.(本小题满分 14 分) 如图所示,在直角梯形 ABCD 中,|AD|=3,|AB|=4,|BC|= 3 ,曲线段 DE 上任一点到 A、B 两点的距离之和都相等. (1)建立适当的直角坐标系,求曲线段 DE 的方程; (2)过 C 能否作一条直线与曲线段 DE 相交,且所 得弦以 C 为中点,如果能,求该弦所在的直线 的方程;若不能,说明理由.

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19.(本小题满分 14 分) 已知 H(-3,0),点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上, 且满足 HP ? PM ? 0 , PM ? ?
3 2 MQ .

⑴当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C; ⑵过点 T(-1,0)作直线 l 与轨迹 C 交于 A、B 两点,若在 x 轴上存在一点 E(x0, 0),使得△ABE 是等边三角形,求 x0 的值.

20.(本小题满分 14 分) 如图,椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 上的点 M 与椭圆右焦点 F1 的连线 MF1 与 x 轴垂直,且 OM

(O 是坐标原点)与椭圆长轴和短轴端点的连线 AB 平行. (1)求椭圆的离心率; (2)F2 是椭圆的左焦点,C 是椭圆上的任一点,证明:∠F1CF2≤ (3)过 F1 且与 AB 垂直的直线交椭圆于 P、Q, 若△PF2Q 的面积是 20 3 ,求此时椭圆的方程. π ; 2

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21.(本小题满分 14 分) 设 x,y∈R,i,j 为直角坐标平面内 x,y 轴正方向上的单位向量,若向量 a=xi+ (y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8. (1)求点 M(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)过点(0,3)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,设 OP ? OA ? OB , 是否存在这 样的直线 l,使得四边形 OAPB 为矩形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在, 试说明理由.

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圆锥曲线参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分): 题号 答案 1 2 3 4 5 6 C 7 D 8 D 9 D 10 C D C D B B 二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.60°12.
16 5

13. [

2 2

,1)

14. (

2 2

a,

2 2

b)

15. 5

三、解答题(共 80 分) 16.解:由已知,AB 的方程为 y=x-5,将其代入
x
2

?

y

2

9

16

? 1得 7 x ? 9 0 x ? 3 6 9 ? 0 .设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ?
2

90 7

.

AB 的中点 C 的坐标为 ( ?

45 7

,?

80 7

) ,于是 | C F | ?

(?

45 7

) ? (?
2

80 7

? 0) ?
2

80 2 7

17.解:依题意,F(2,0),l: x ?

3 2

. 设所求方程为

( x ? 2) ? y
2

2

|x?

3 2

? e , 0 ? e ? 1, 即 (1 ? e ) x ? ( 4 ? 3 e ) x ? y ? 4 ?
2 2 2 2

9 4

e ? 0,
2

|

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其 中 心 为 A(

4 ? 3e

2 2

2 (1 ? e )

, 0 ).

∵ A 与 A’ 关 于 直 线 y = 2x 对 称 , ∴ A’ 的 坐 标 为

(?

3( 4 ? 3 e )
2

1 0 (1 ? e )
2

,

2 ( 4 ? 3e )
2

5 (1 ? e )
2

)

又 A’在直线 x ? ?

3 2

上 ,? ?

3( 4 ? e )
2

1 0 (1 ? e )
2

? ?

3 2

,解 之 得 e ?
2

1 2



于是所求方程为

1 2

x ?
2

5 2

x? y ?
2

23 8

(x ? ? 0, 即 1 2

5 2

)

2

?

y

2

1 4

? 1.

18. (1) 解: 以直线 AB 为 x 轴, 线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系, A 则 (-2, , 0) B(2,0),C(2, 3 ),D(-2,3).依题意,曲线段 DE 是以 A、B 为焦点的 椭圆的一部分.
?a ? 1 2 (| A D | ? | B D |) ? 4, c ? 2, b ? 1 2,? 所 求 方 程 为
2

x

2

?

y

2

? 1( ? 2 ? x ? 4, 0 ? y ? 2 3 ).

16

12


y?

2














x
2


? y
2


?1







3 ? k ( x ? 2 ), 即 y ? k ( x ? 2 ) ?

3, 将 其 代 入

16

12

得 (3 ? 4 k 2 ) x 2 ? (8 3 k ? 1 6 k 2 ) x ? 1 6 k 2 ? 1 6 3 k ? 3 6 ? 0 设弦的端点为 M(x1,y1),N(x2,y2),则由
x1 ? x 2 2 ? 2, 知 x1 ? x 2 ? 4,? ? 8 3k ? 16 k 3 ? 4k
2 2

? 4, 解 得 k ? ?

3 2

.

∴弦 MN 所在直线方程为 y ? ? 合条件.

3 2

x ? 2 3 , 验证得知,这时 M (0, 2 3 ), N ( 4, 0 ) 适

故这样的直线存在,其方程为 y ? ?

3 2

x ? 2 3.

19.解(1)设点 M 的坐标为(x,y),则由
???? ? ? ???? ???? ? 3 ???? y x y 3y P M ? ? M Q .得 P (0, ? ), Q ( , 3),由 H P ? P M ? 0, 得 (3, ? ) ? ( x , ) ? 0, 2 2 3 2 2

所以 y2=4x 由点 Q 在 x 轴的正半轴上,得 x>0,所以,动点 M 的轨迹 C 是以(0,
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0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点. (2)设直线 l:y=k(x+1),其中 k≠0 代入 y2=4x,得 k2x2+2(k2-2)x+k2=0 ① 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是方程①的两个实数根,由韦达定理得
x1 ? x 2 ? ? 2(k ? 2)
2

k

2

, x1 x 2 ? 1

所以,线段 AB 的中点坐标为 (

2?k k
2

2

,

2 k

) ,线段 AB 的垂直平分线方程为

y?

2 k

? ?

1 k

(x ?
2 k

2?k k
2

2

),
2 k
2

令 y ? 0, x 0 ? 所以,点 E (
3 2
2 k
2

2

? 1 ,所以,点 E 的坐标为 (

? 1, 0 ) 。因为△ABE 为正三角形,

? 1, 0 ) 到直线 AB 的距离等于

| A B |, 而 | A B | ?

( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) ?
2 2

4 1? k k
2

2

? 1? k .
2

所以,

2 3 1? k k
2

2

?

2 1? k |k |

2

解得k ? ?

3 2

, 所 以 x0 ?

11 3

.

20. (1) 易得 M ( c ,

b

2

a

), k O M ?

b

2

ac

, k AB ?

b a

,?

b

2

?

b a

? b ?c? a ?

2 c ,? e ?

c a

?

2 2
2

.

ac

(2) 证: 由椭圆定义得:| F1 C | ? | F 2 C |? 2 a , co s ? F1C F 2 ?
4 a ? 4 c ? 2 | F1 C || F 2 C |
2 2 2

| F1 C | ? | F 2 C | ? | F1 F 2 |
2 2

2 | F1 C || F 2 C |

?

?

2b

? 1.

2 | F1 C || F 2 C |
| F1C | ? | F 2 C | 2

| F1C || F 2 C |
2b a
2

| F1 C || F 2 C |? (

) ? a ,? co s ? F1C F 2 ?
2 2

2

?1 ?

2c 2c

2 2

? 1 ? 0,? ? F1C F 2 ?

?
2

.

(3)解:设直线 PQ 的方程为 y ? ? x 得:
(1 ? 1 2 a
2

a b

( x ? c ), 即 y ? ?

2 ( x ? c ) .代入椭圆方程消去

y ? c)

2

?

y b

2 2

?1











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5 y ? 2 2 cy ? 2 c ? 0,? y 1 ? y 2 ?
2 2

2 2c 5

, y1 ? y 2 ? ?

2c 5

2

.


( y1 ? y 2 ) ? (
2

2 2c 5

) ?
2

8c 5

2

?

48c 25

2

.S ? P F Q ?
2

1 2

? 2 c ? | y1 ? y 2 |?

4 3c 5

2

? 2 0 3 , c ? 2 5,
2

因此 a2=50,b2=25,所以椭圆方程为

x

2

?

y

2

? 1.

50

25

21.解:(1)∵a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8 ∴点 M(x,y)到 两个定点 F1(0,-2),F2(0,2)的距离之和为 8 ∴点 M 的轨迹 C 为 F1、F2 为焦 点的椭圆,其方程为
x
2

?

y

2

?1

12

16

(2)∵l 过 y 轴上的点(0,3),若直线 l 是 y 轴,则 A、B 两点是椭圆的顶点,这 时OP ? OA ? OB ? 0 。 ∴P 与 O 重合,与四边形 OAPB 是矩形矛盾, ∴直线 l 的斜率存在,设 l 的方程为 y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2) 由
? y ? kx ? 3 ? 2 2 2 2 2 2 消 y 得 : ( 4 ? 3 k ) x ? 1 8 kx ? 1 2 ? 0 此 时 ? ? (1 8 k ) ? 4 ( 4 ? 3 k )( ? 2 1) ? 0 ?x y ? ?1 ? ?12 16
??? ? ??? ? ??? ?

恒成立. 且 x1 ? x 2 ? ?
18k
2

4 ? 3k 4 ? 3k ??? ? ??? ??? ? ? ∵ O P ? O A ? O B ,∴四边形 OAPB 是平行四边形
2

, x1 x 2 ? ?

21

若存在直线 l 使得四边形 OAPB 是矩形,则 OA⊥OB,即 O A ? O B ? 0 ∵ O A ? ( x1 , y1 ), O B ? ( x 2 , y 2 ) ? O A ? O B ? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? 0 即
(1 ? k ) x1 x 2 ? 3 k ( x1 ? x 2 ) ? 9 ? 0即 (1 ? k )( ?
2 2

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

2 1k 4 ? 3k
2

) ? 3k (?

18k 4 ? 3k
2

) ? 9 ? 0? k

2

?

5 16

,? k ? ?

5 4

∴存在直线 l : y ? ?

5 4

x ? 3 使得四边形 OAPB 为矩形.

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