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广东省梅州市皇华中学2013届高三上学期第二次质检数学理试题


高三级数学(理科)质检试题 2012 年 12 月
一.选择题。(每小题 5 分,共 40 分) 1.集合 A ? { x | y ?
1 ? x , x ? Z } ,则
2
2




3 4

A. i ? A B. i ? A C. i ? A D. i ?

A 2.已知函数 f ( x ) ? (c o s 2 x c o s x ? s in 2 x s in x ) s in x ,x∈R,则 f ( x ) 是( ) A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为
? 2

B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为
? 2

的奇函数

的偶函数

3.已知函数

f ( x ) ? lg | x | , x ? R
? ?) ? ?)

且x

? 0

,则

f (x)

是(


? ?) ? ?)

A.奇函数且在 ( 0 , C.奇函数且在 ( 0 ,

上单调递增 上单调递减

B.偶函数且在 ( 0 , D.偶函数且在 ( 0 ,

上单调递增 上单调递减

4.设数列 { a n } 是公差为为 0 的等差数列,S n 是数列 { a n } 的前 n 项和,若 S 1 , S 2 , S 4 成等比数 列,则 A.3
a4 a1 ?

( B.4
2



C.6

D.7

5.“ m ? 1 ”是“函数 f ( x ) ? x ? x ? m 有零点”的( )

A.充分非必要条件 C.必要非充分条件

B.充要条件 D.非充分必要条件

6.已知向量 a ? ( 4 , 3 ) , b ? ( ? 2 ,1) ,如果向量 a ? ? b 与 b 垂直,则 | 2 a ? ? b | 的值为 ( ) A.1 B. 5 C. 5 D. 5 5

? x ? 3, ? ?2 y ? x, 7.已知 x , y 满足 ? ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是( 3 x ? 2 y ? 6, ? ?3 y ? x ? 9 ?

).

A.

15 2

B.
a c b d ? ad ? bc

9 2

C.

9 4

D. 2
? ?? 1 , 1 , 2 , 3 , 4 ? , 且互不相等. 则

⒏定义

, 其中 a , , , b c d

a c

b d

的所有可能且互不相等的值之和等于( A. 2012 B. ?
2012

). zxxk

C. 0

D.以上都不对

二.填空题。(每小题 5 分,共 30 分) 9. 设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和,且 a 1 ? 1, a 5 ? 9 ,则 S 6 = .

10.在 ? A B C 中,已知 a, b, c 分别为 ? A , ? B , ? C 所对的边, S 为 ? A B C 的面积.若向 量p 11.
?? ? ( 4, a
2
2

? b

2

?? ? ?? ? 2 ? c ), q ? ( 1, S ) 满足 p / / q

,则 ? C =



?

0 ?1

1 ? x dx ?

. zxxk

12.设抛物线 C : y 2

? 4x

的准线与对称轴相交于点 P , .

过点 P 作抛物线 C 的切线,切线方程是

13.已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数, f (1 ) ? 2 ,且对任意 x ? R 都有 ; f ( x ? 6 ) ? f ( x ) ? f (3 ) 成立,则 f (3 ) ?
f ( 2009 ) ?

.

14.如图,圆 O 的直径 AB ? 8 , C 为圆周上一点,
BC ? 4 ,过 C 作圆的切线 l ,过 A 作直线 l 的垂线 AD , D

为垂足, AD 与圆 O 交于点 E ,则线段 AE 的长为



三.解答题(共 80 分)

15. (本小题满分 12 分)已知函数 (1)求 f(x)的最大值; (2)设△ABC 中,角 A、B 的对边分别为 a、b,若 B=2A,且 求角 C 的大小. 16.(本小题满分 12 分) 在 ? A B C 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , S 是该三角形的面积, (1) a ? (2sin 若 度数; (2)若 a ? 8 , B ?
2? 3

?,

?

B cos ,sin B 2

cos ? B )

B

,b ? (s in B ? c o s B , 2 s in

?

B 2

? ? ) ,a / / b , 求角 B 的

, S ? 8 3 ,求 b 的值. zxxk

17.已知数列 ? a n ? 是首项为2,公比为 (1)求数列 ? a n ? 的通项 a n 及 S n ;

1 2

的等比数列, S n 为 ? a n ? 的前 n 项和.

第 14 题图

(2)设数列 { b n ? a n } 是首项为-2,第三项为2的等差数列,求数列 ? b n ? 的通项公式 及其 前 n 项和 T n . 18.已(本小题满分 14 分)知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a, (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求函数 f(x)在该区间上的最小值. 19.(本题满分 14 分) 设 数 列 ? a n ? 是 首 项 为 a? ( a? ? ? ) , 公 差 为 2 的 等 差 数 列 , 其 前 n 项 和 为 S n , 且
S1 , S 2, S 3 成等差数列.

(Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)记 b n ?
an 2
n

的前 n 项和为 T n ,求 T n .zxxk

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 (1)当 a 当a
? 2
f ( x ) ? ln x ? 9 2 a x ?1 (a ? R ).

?

时,如果函数 g( x ) ?
f ( x )与

f( x)? k

仅有一个零点,求实数 k 的取值范围;(2)

时,试比较

1 的大小;
1 3 ? 1 5 ? 1 7 ?? ? 1 2n ? 1
(n ? N ).
*

(3)求证: ln( n

? 1) ?

高三级数学(理科)质检试题参考答案 2012 年 12 月
15. 解 : ( 1 ) f ( x ) ? sin x ? cos( x ? zxxk????2 分
? ? 3 ? 1 3? sin x ? cos x ? ? ? 2 ? 2 ? ?

?
6

) ? sin x ?

3 2

cos x ?

1 2

sin x

??

3 sin( x ?

?
6

(注: 也可以化为 ).

3 cos( x ?

?
3

) )?

4分 所
3 .



f (x)











??????????????????????6 分 (注:没有化简或化简过程不全正确,但结论正确,给 4 分)

(2)因为 b ? 2 a f ( A ? 7分

?
6

得 ) ,由(1)和正弦定理, sin B ? 2

3 sin

2

A .??????

又B ? 2A , 所以 sin 2 A ? 2 3 sin 9分

2

A , ns 即i

Ao s c

A ?

3ns i

2

A,

??????

而 A 是三角形的内角, 所以 sin A ? 0 , cs 故o 11 分 所以 A ? 12 分 16.解:(1)? a / / b
? ?

A ?

3s n i

A ,tan A ?

3 3

, ??????

?
6

,B ? 2 A ?

?
3

,C ? ? ? A ? B ?

?
2



??????????????

? 4 c o s B ? s in 1 ? cos B 2

2

B 2

? cos 2 B ? 0
? cos B ? 1 2

? 4 cos B ?

? 2 cos B ? 1 ? 0
2
?

? ? B ? (0 ,1 8 0 )
0

? ? B ? 6 0 ????????6 分

(2)? S ? 8 3

?

1 2

a c s in B ? 8

3 ????????7 分


b
2 2 2 2 2

c ? 4 ????????8 分
0

? a ? c ? 2 a c c o s B ? 8 ? 4 ? 2 ? 8 ? 4 c o s 1 2 0 ????????10 分
7 ????????12 分

?b ? 4

18.解:(1)f′(x)=-3x2+6x+9,令 f′(x)<0,解得 x<-1 或 x>3,所以函数 f(x)的单调递 减区间为(-∞,-1),(3,+∞); 令 f′(x)>0,解得-1<x<3,所以函数 f(x)的单调递增区间为(-1,3). (2)因为 f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,

所以 f(2)>f(-2). 因为在区间(-1,3)上,f′(x)>0,所以 f(x)在(-1,2)上单调递增. 又由于 f(x)在(-2,-1)上单调递减, 因此 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值, 于是有 22+a=20,解得 a=-2, 故 f(x)=-x3+3x2+9x-2, 因此 f(-1)=-7,即函数 f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7. 17. 解:(1)∵数列 ? a n ? 是首项 a 1 ? 2 ,公比 q ? ∴ an ? 2 ? ( )
2 1
n ?1

1 2

的等比数列

? 2

2?n

,---------------zxxk------------3 分

2 (1 ? Sn ? 1?

1 2 1 2
n

) ? 4 (1 ?

1 2
n

) .------------------------------7 分

(2)依题意得数列 { b n ? a n } 的公差 d ? ∴ b n ? a n ? ? 2 ? 2 ( n ? 1) ? 2 n ? 4

2 ? (?2) 2

? 2 ----zxxk-------

8分

2?n ∴ b n ? 2 n ? 4 ? 2 --------------------------zxxk---------9 分

设数列 { b n ? a n } 的前n项和为 P n 则 Pn ?
n(?2 ? 2n ? 4) 2 1 2
n

? n ( n ? 3 ) --------------------------------10 分

∴ T n ? Pn ? S n ? n ( n ? 3 ) ? 4 (1 ?

) ? n ? 3n ? 4 ? 2
2

2?n

.--------- 14 分

19. 解 : ( Ⅰ ) ∵ S 1 ? a 1 , S 2 ? a 1 ? a 2 ? 2 a 1 ? 2 , S 3 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? 3 a 1 ? 6 , -------------------------------2 分 由 S 1 , S 2 , S 3 成等差数列得, 2 S 2 ? 解 得
a1 ? 1

S1 ?

S 3 ,即 2

2 a1 ? 2 ?

a1 ?

3 a1 ? 6 ,





an ? 2n ? 1



---------------------------------------4 分 ( Ⅱ )
bn ? an 2
n

?

2n ? 1 2 1
n

? ( 2 n ? 1)(

1 2

)

n



---------------------------------------6 分 法 1: T n ? 1 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? 5 ? ( ) ? ? ? ( 2 n ? 1) ? ( ) ,
1 2 3 n

1

1

1



2

2

2

2

①? ②

1 2

得,

1 2

Tn ? 1 ? (

1 2

2

)?

? 3

1 3 ( ? ) 2 1 2

?5

1 4 ( ?) ? ? 2 1 2

1 n n ? 2 ? 3 ) ?( ( 2 1 2

n? )

(?2

1? 1 n 1 ), ( 2

)

① ? ②得, T n ?
2

1

1 2

? 2?(

1 2

) ? 2?(
2

) ?? ? 2?(
3

) ? ( 2 n ? 1) ? (
n

)

n ?1

1 ? 2? 2

(1 ? 1?

1 2 1 2
n

) ?

1 2

? ( 2 n ? 1) ? (

1 2

)

n ?1

?

3 2

? 2

1
n ?1

?

2n ? 1 2
n ?1



---------------------------------------10 分 ∴Tn ? 3 ? ----14 分 20.解:(1)当 a ?
9 2
1 x
? 当0 ? x ?

4 2
n

?

2n ? 1 2
n

? 3?

2n ? 3 2
n



--zxxk----------------------

时, f ( x ) ? ln x ?

9 2 ( x ? 1)

,定义域是 ( 0 , ?? ) ,

f ?( x ) ?

?

9 2 ( x ? 1)
2

?

( 2 x ? 1 )( x ? 2 ) 2 x ( x ? 1)
2

, 令 f ? ( x ) ? 0 ,得 x ?
1 2

1 2

或 x ? 2 . ?2 分

1 2

或 x ? 2 时, f ? ( x ) ? 0 ,当
1 2

? x ? 2 时, f ? ( x ) ? 0 ,
1 2 , 2 ) 上单调递减.

? 函数 f ( x ) 在 ( 0 ,

) 、 ( 2 , ?? ) 上单调递增,在 (

zxxk?4 分

? f ( x ) 的极大值是 f (
? ?

1 2

) ? 3 ? ln 2 ,极小值是 f ( 2 ) ?

3 2

? ln 2 .

当 x ? ? 0 时, f ( x ) ? ?? ; 当 x ? ?? 时, f ( x ) ? ?? , 当 g ( x ) 仅有一个零点时, k 的取值范围是 k ? 3 ? ln 2 或 k ? (2)当 a ? 2 时, f ( x ) ? ln x ? 令 h ( x ) ? f ( x ) ? 1 ? ln x ?
1 x 2 ( x ? 1)
2

3 2

? ln 2 .?????5 分

2 x ?1 2

,定义域为 ( 0 , ?? ) .

x ?1
x
2

?1,

? h ?( x ) ?

?

?

?1
2

x ( x ? 1)

? 0 ,

? h ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上是增函数.

????zxxk?????7 分

①当 x ? 1 时, h ( x ) ? h (1 ) ? 0 ,即 f ( x ) ? 1 ; ②当 0 ? x ? 1 时, h ( x ) ? h (1 ) ? 0 ,即 f ( x ) ? 1 ;

③当 x ? 1 时, h ( x ) ? h (1 ) ? 0 ,即 f ( x ) ? 1 . ?????????????9 分 (3)(法一)根据(2)的结论,当 x ? 1 时, ln x ?
k ?1 k
n

2 x ?1
?

? 1 ,即 ln x ?
n

x ?1 x ?1



令x ?

,则有 ln

k ?1 k

?

1 2k ? 1

n



?

?
k ?1

ln

k ?1 k

?
k ?1

1 2k ? 1

. ?????12 分

? ln( n ? 1 ) ?

?
k ?1

ln

k ?1 k


1 2n ? 1

? ln( n ? 1 ) ?

1 3

?

1 5

?? ?



??????????????14 分

(法二)当 n ? 1 时, ln ( n ? 1) ? ln 2 .
? 3 ln 2 ? ln 8 ? 1 ,? ln 2 ?
1 3

,即 n ? 1 时命题成立.
1 3 ? 1 5 ?? ? 1

???zxxk??????10 分 .
1 3 x ?1 x ?1 ? 1 5 ?? ? 1 2k ? 1 ? ln k ? 2 k ?1

设当 n ? k 时,命题成立,即 ln ( k ? 1) ?

2k ? 1 ?

ln ? n ? k ? 1 时, ( n ? 1) ? ln ( k ? 2 ) ? ln ( k ? 1) ? ln

k ? 2 k ?1



根据(2)的结论,当 x ? 1 时, ln x ? 令x ?
k ? 2 k ?1

2 x ?1

? 1 ,即 ln x ?



,则有 ln
1 3 ? 1 5

k ? 2 k ?1
?? ?

?

1 2k ? 3
1 ?


1 2k ? 3

则有 ln ( k ? 2 ) ?

2k ? 1

,即 n ? k ? 1 时命题也成立.?????13 分 ????????????14 分 y

因此,由数学归纳法可知不等式成立. (法三)如图,根据定积分的定义, 得
? 1 5 ?1? 1 2x ?1 1 7 dx ? 1 2 ?1?? ? 1 2n ? 1 1 2x ?1 ?1 ?

?

n

1 2x ?1

dx .??11 分

1

?

n

1

?

n

d ( 2 x ? 1)
o

1

123456 ?

n-1 n

x


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