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【2014淄博一模】山东省淄博市2014年高三第一次模拟考试数学理科试题(word版


1.已知集合

A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | ( x ? 1)( x ? 1) ? 0} ,则 A ? B ?
B.

A.

1? ? 0,

2? ?1,

C.

(??, ?1) ? (0, ??)

D.

(??, ?1) ? (1, ??)

2.在复平面内,复数 A.第一象限

2?i i

对应的点位于 C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

3.已知 tan ? =2 ,那么 sin 2? =

?
A.

4 5

B.

4 5

?
C.

3 5

3 D. 5

4.在等差数列 A.10

?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 =
C.20 D.28

B.18

5.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 2 ,则输出的 x 的值为 A.3 B.126 C.127 D.128

6.如图所示,曲线

y ? x 2 ? 1 , x ? 2, x ? 0,y=0 围成的阴影部分的面积为
B.

|x A. ?
0

2

2

? 1 |dx ? 1)dx

| ? ( x 2 ? 1)dx |
0
1 2 0

2

(x C. ?
0

2

2

(x D. ?

? 1)dx ? ? (1 ? x2 )dx
1

2

7.把边长为 1 的正方形 的面积为

ABCD 沿对角线 BD 折起,形成的三棱锥 A ? BCD 的正视图与俯视图如图所示,则其侧视图

A.

2 2 2 4

1 B. 2 1 D. 4

C.

8.下列说法正确的是 A.“

p ? q 为真”是“ p ? q 为真”的充分不必要条件;

B.已知随机变量

X ? N ? 2, ? 2 ?

,且

P ? X ? 4 ? ? 0.84

,则

P ? X ? 0 ? ? 0.16



C.若

a, b ? ? 0,1?

a 2 ? b2 ?
,则不等式

1 4

? 成立的概率是 4 ;

D.已知空间直线

a, b, c ,若 a ? b , b ? c ,则 a //c .

9.过抛物线

y 2 ? 4 x 焦点 F 的直线交其于 A , B 两点, O 为坐标原点.若 | AF |? 3 ,则 ?AOB 的面积为
3 2 C. 2

2 A. 2

B. 2

D.2 2

x? f ( x) 的导函数在区间 ? a, b ? 上的图像关于直线 10.若函数
可能是

a?b 2 对称,则函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象

A.①④ 11.不等式

B.②④

C.②③ .

D.③④

| x ? 1| ? | x ? 2 |? 5 的解集为

? x ? y ?5 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 1 ? 0 ? x ?1 ? 0 z ? x ? 2 y 的最大值是 x , y 12.已知变量 满足约束条件 ? ,则
0



???? 3 ??? ? ??? ? ??? ? AD ? AB 2 13.在直角三角形 ABC 中, ?C ? 90 , AB ? 2 , AC ? 1 ,若 ,则 CD ? CB ?
14.从



0,1, 2,3, 4 中任取四个数字组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数是

(用数字作答) .

15.已知在平面直角坐标系中有一个点列:

P 1 ? 0,1? , P 2 ( x2 , y2 )

,……,

? xn ?1 ? yn ? xn ? * Pn ( xn , yn ) ?N ? Pn ?1 ? xn ?1 , yn ?1 ? y ? yn ? xn ? n ? N ? ? n Pn ( xn , yn ) .若点 到点 的变化关系为: ? n ?1 ,则
*

| P2013P2014 |

等于



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (本题满分 12 分)

? ? ? ? a ? (cos(2 x ? ), cos x ? sin x) ? b ? (1, cos x ? sin x) ,函数 f ( x) ? a ? b . 3 已知向量 ,
(Ⅰ)求函数

f ( x) 的单调递增区间;
f ( A) ? 3 2

(Ⅱ)在 ?ABC 中,内角

A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知

,a

? 2,

B?

?
3 ,求 ?ABC 的面积

S.
17. (本题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形

ABCD 是等腰梯形, AB ? 2CB ? 2 .在梯形 ACEF 中, EF ∥ AC ,且 AC =2EF , EC ⊥平面

AB ∥ CD , ?ABC ? 60

0



ABCD .
(Ⅰ)求证: BC

? AF ; ? C 为 450 ,求 CE 的长.

(Ⅱ)若二面角 D ? AF 18. (本题满分 12 分)

中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜).进入总决赛的甲乙两队中,若每一场比赛甲队获胜的

2 1 概率为 3 ,乙队获胜的概率为 3 ,假设每场比赛的结果互相独立.现已赛完两场,乙队以 2: 0 暂时领先.
(Ⅰ)求甲队获得这次比赛胜利的概率; (Ⅱ)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量 19.(本题满分 12 分)

X

,求随机变量

X

的分布列和数学期望 EX .

若数列

? An ? 满足 An?1 ? An 2 ,则称数列 ? An ? 为“平方递推数列”.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 9 ,点 (an , an?1 ) 在函数 ?an ? 1? 是“平方递推数列”,且数列 ?lg(an ? 1)? 为等比数列;
Tn
; ,

f ( x) ? x 2 ? 2 x 的图象上,其中 n 为正整数.
(Ⅰ)证明数列

(Ⅱ)设(Ⅰ)中“平方递推数列”的前 n 项积为 即

Tn ? (a1 ? 1)(a2 ? 1)?(an ? 1)

,求

lg Tn

bn ?
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,记 20. (本题满分 13 分)

lg Tn lg(an ? 1) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ,并求使 Sn ? 4026 的 n 的最小值.

2 x2 y 2 ? 2 ?1 2 F b 已知椭圆 C : a ( a ? b ? 0 )的焦距为 2 ,且过点( 1 , 2 ) ,右焦点为 2 .设 A , B 是 C 上的两个

动点,线段

AB 的中点 M 的横坐标为

?

1 2 ,线段 AB 的中垂线交椭圆 C 于 P , Q 两点.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)求

???? ? ???? ? F2 P ? F2Q 的取值范围.

21. (本题满分 14 分) 已知函数

f ( x) ? e x ?m ? ln(2 x) .

(Ⅰ)设 x

? 1 是函数 f ( x) 的极值点,求 m 的值并讨论 f ( x) 的单调性; 2 时,证明: f ( x) > ? ln 2 .

(Ⅱ)当 m ?

数学参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.B 2.D 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D 8.B 9.C 10.D 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

[?2,3] 11. (理)
16. (理科

12. 9

9 13. (理) 2

14. (理)60

15. (理) 2

1006

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。 本题满分 12 分)

解: (Ⅰ)

? ? ? f ( x) ? a ? b ? cos(2 x ? ) ? cos2 x ? sin 2 x 3

? cos(2 x ? ) ? cos 2 x ? cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? cos 2 x 3 3 3
? 3 3 1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 3( sin 2 x ? cos 2 x) ? 3 sin(2 x ? ) 2 2 2 2 3 …………3 分

?

?

?

?


?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k?
(

k ? Z ) ,得

?

5? ? ? k? ? x ? ? k? k ? Z) , 12 12 (

所以,函数

? ? 5? ? ? ? k? , ? k ? ? ( k ? Z ) ? f ( x) 的单调递增区间为 ? 12 12 ? . …………6 分
3 2

f ( A) ?
(Ⅱ)由

sin(2 A ?
,得

?
3

)?

1 2,

2 0? A? ? 3 因为 A 为 ?ABC 的内角,由题意知 2A ?
因此

?
,所以

3

? 2A ?

?

5 ? ? 3 3



?

5 ? ? 3 6 B?

A?
,解得

?
4
, …………………………… 8分

?

又a

? 2,

a b ? 3 ,由正弦定理 sin A sin B ,

得b

? 6 ,……………… 10 分

A?


?
4


B?

?
3
,可得

sin C ? sin(? ? ( A ? B)) ? sin(A ? B)
2 1 2 3 ? ? ? ? 2 2 2 2
6? 2 4

= sin A cos B ? cos A sin B ?

,…………………11 分

所以, ?ABC 的面积 17. (理科

S?

1 6 ? 2 3? 3 1 ab sin C ? ? 2 ? 6 ? 2 2 4 2 =

.…12 分

本题满分 12 分)

解证: (Ⅰ)证明:在 ?ABC 中, 所以

AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos 60? ? 3
……2 分

AB2 ? AC 2 ? BC 2 ,由勾股定理知 ?ACB ? 90? 所以 BC ? AC .

又因为 所以

EC ⊥平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD
………………………4 分 所以

BC ? EC .
AC ? EC ? C

又因为 所以

BC ⊥平面 ACEF ,又 AF ? 平面 ACEF
………………………6 分

BC ? AF . ? AC

(Ⅱ)因为 EC ⊥平面 ABCD ,又由(Ⅰ)知 BC

,以 C 为原点,建立如图所示

的空间直角坐标系

C ? xyz .
C ? 0, 0, 0 ?



CE =h





,

A

?

3, 0, 0

?

,

? 3 ? F? , 0, h ? ? 2 ? ? ?



? 3 1 ? ???? ? 3 1 ? AD ? ? ? ,? ,0? D? , ? , 0 ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? 2 ?, ? ?,

??? ? ? ? 3 AF ? ? ? , 0, h ? ? 2 ? ? ?.

…………………………8 分

? ?? ? ???? ? ? AD ? n ? 0, ? 1 ?? ? ???? ? n ? ( x , y , z ) AF ? n ? 0. ? 1 设平面 DAF 的法向量为 1 ,则 ? 所以 ?
3 n1 ? ( 3, ?3, ) 2h . 令 x ? 3 .所以
又平面

3 1 x ? y ? 0, 2 2 3 x ? hz ? 0. 2

……………………………9 分

AFC 的法向量 n2 ? (0,1, 0)

……………………………10 分

cos 45? ?
所以

n1 ? n2 n1 ? n2
6 4

?

2 2

h?
, 解得

6 4



……………………11 分

所以 CE 的长为 18. (理科



……………………………………12 分

本题满分 12 分)

解: (Ⅰ)设甲队获胜为事件 A ,则甲队获胜包括甲队以 4 : 2 获胜和甲队以 4: 3 获胜两种情况.

? 2 ? 16 P ? A1 ? ? ? ? ? A ? 3 ? 81 设甲队以 4 : 2 获胜为事件 1 ,则
1 4

4

……………………2 分
3

1 ? 2 ? 2 64 P ? A2 ? ? C ? ? ? ? ? ? A 3 ? 3 ? 3 243 设甲队以 4: 3 获胜为事件 2 ,则

………4 分

P ? A? ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ?

16 64 112 ? ? 81 243 243

…………………………… 6 分

5, 6, 7. (Ⅱ)随机变量 X 可能的取值为 4,
?1? 1 P ? X ? 4? ? ? ? ? ?3? 9
2

…………………………… 7 分

1 2 1 4 1 P ? X ? 5? ? C2 ? ? ? ? 3 3 3 27

……………………………… 8 分

1 ?2? 1 ?2? 28 1 P ? X ? 6 ? ? C3 ? ?? ? ? ? ? ? ? 3 ?3? 3 ?3? 81 1 ? 2 ? 32 P ? X ? 7? ? C ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 81
1 4 3 1 4 3

2

4

……………

…………… 9 分

…………………………………… 10 分
3

1 ?2? 1 1 2 32 64 32 3?2? P ? X ? 7 ? ? C ? ? ? ? ? +C4 + = ? ? ? ? ? 3 ?3? 3 ? 3 ? 3 3 243 243 81 ) (或者

X
X

的概率分布为:

4
1 9

5
4 27

6
28 81

7
32 81

P

1 4 28 32 488 EX ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? 9 27 81 81 81
19.(理科 本题满分 12 分)

……………………………12 分

解证:(Ⅰ)由题意得: 则 对

an ?1 ? an 2 ? 2an

,即

an ?1 ? 1 ? (an ? 1) 2



?an ? 1? 是“平方递推数列”.
an ?1 ? 1 ? (an ? 1) 2

……………………………………………2 分

两边取对数得

lg(an?1 ? 1) ? 2lg(an ? 1)



所以数列

?lg(an ? 1)? 是以 ?lg(a1 ? 1)? 为首项, 2 为公比的等比数列.………4 分
lg(an ? 1) ? lg(a1 ? 1) ? 2n?1 ? 2n?1
……………………………5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

lg Tn ? lg(a1 ? 1)(a2 ? 1)?(an ? 1) ? lg(a1 ? 1) ? lg(a2 ? 1) ? ? ? lg(an ? 1)
? 1 ? (1 ? 2n ) ? 2n ? 1 1? 2

……………………………………8 分

bn ?
(Ⅲ)

lg Tn 2n ? 1 1 ? n ?1 ? 2 ? ( ) n ?1 lg(an ? 1) 2 2

………………………………9 分

1 2 n ? 2n ? 2 ? 1 S n ? 2n ? 1 2n ?1 1? 2 1?
Sn ? 4026

……………………………………10 分

2n ? 2 ?
,即



1 1 ? 4026, n ? n ? 2014 n ?1 2 2

…………………11 分

0?


1 ?1 n ? 2014 2n ,所以 min .
本题满分 13 分)

…………………………………12 分

20. (理科

解: (Ⅰ) 因为焦距为 2 ,所以 a

2

? b ? 1.因为椭圆 C 过点( 1 ,
2

2 2

) , y P M A F1 O F2 x B

1 1 ? 2 ?1 2 2 2 2b 所以 a .故 a ? 2 , b ? 1 … 2 分
x2 ? y2 ? 1 所以椭圆 C 的方程为 2
此时

1 x?? 2, …………4 分(Ⅱ) 由题意,当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方程为
Q

P ? 2, 0

?

? 、Q?

2, 0

?

,得

???? ? ???? ? F2 P ? F2Q ? ?1

.……… 5 分

1 M ( ? , m) A ? x1 , y1 ? 2 当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k ( k ? 0 ), ( m ? 0 ),
? x12 ? y12 ? 1, ? ? 2 ? 2 y ?y ? x2 ? y 2 ? 1, ? x1 ? x2 ? ? 2 ? y1 ? y2 ? ? 1 2 ? 0 2 ? x1 ? x2 由 ? 2 得 ,则 ?1 ? 4mk ? 0 ,
故 4mk



B ? x2 , y2 ?

? 1.

………………………………………… 6 分

1? ? y ? m ? ?4m ? x ? ? PQ 斜率为 k1 ? ?4m , PQ 的直线方程为 2?. ? 此时,直线


y ? ?4mx ? m .

? y ? ?4mx ? m ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 联立 ? 2


消去

y

,整理得

(32m2 ? 1) x 2 ? 16m2 x ? 2m2 ? 2 ? 0 .

P ? x3 , y3 ?



Q ? x4 , y4 ?

所以 于是

x3 ? x4 ? ?

16m 2 2m 2 ? 2 x x ? 3 4 32m 2 ? 1 , 32m2 ? 1 .

……………………………9 分

???? ? ???? ? F2 P ? F2Q ? ? x3 ? 1?? x4 ? 1? ? y3 y4 ? x3 x4 ? ? x3 ? x4 ? ? 1 ? ? 4mx3 ? m ?? 4mx4 ? m ?
? ? 4m 2 ? 1? ? x3 ? x4 ? ? ?16m 2 ? 1? x3 x4 ? m 2 ? 1

?

19m 2 ? 1 (1 ? 16m2 )(2m2 ? 2) (4m2 ? 1)(?16m2 ) 2 ? ? ? 1 ? m 32m 2 ? 1 .…… 11 分 32m2 ? 1 32m2 ? 1

1 7 M ( ? , m) 0 ? m2 ? 2 8 由于 在椭圆的内部,故 ???? ? ???? ? 19 51 F P ? F Q ? ? 2 2 2 32 32t . 令 t ? 32m ? 1 , 1 ? t ? 29 ,则 ???? ? ???? ? 125 ?1 ? F2 P ? F2Q ? 232 . 又 1 ? t ? 29 ,所以
? 125 ? ?1, ? ? F P ? F Q 232 ? . ? 2 2 综上, 的取值范围为
21. (理科 本题满分 12 分)

…………… 12 分

…………………… 13 分

f ?( x) ? e x ?m ?
解证: (Ⅰ) 即e
1? m

1 x ,由 x ? 1 是 f ( x) 的极值点得 f ?(1) ? 0 ,
………………………………2分

? 1 ? 0 ,所以 m ? 1.

于是

f ( x) ? e x ?1 ? ln(2 x),(x ? 0) ,

f ?( x) ? e x ?1 ?

1 x,

f ??( x) ? e x ?1 ?
由 所以 x

1 ?0 f ?( x) 在 x ? (0, ??) 上单调递增,且 f ?(1) ? 0 , x2 知
……………………………4分 时,

? 1 是 f ?( x) ? 0 的唯一零点.
x ? (0,1) 时,f ?( x) ? 0 ; x ?1 ( , ? ? ) 当
……………………………6分

因此, 当

f ?( x) ? 0 , f ( x) 所以, 函数



(0,1) 上单调递减, (1, ??) 在

上单调递增.

(Ⅱ)解法一:当 m ?

2 , x ? (0, ??) 时, e x ?m ? e x ?2 ,
f ( x) > ? ln 2 .
………………………………8分

故只需证明当 m ? 2 时,

当 m ? 2 时,函数 又

f ?( x) ? e x ?2 ?

1 x 在 (0, ??) 上单调递增,

f ?(1) ? 0, f ?(2) ? 0 , f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上有唯一实根 x0 ,且 x0 ? (1, 2) .…………………10 分
x ? (0, x0 ) x ? x0
时, 时,

故 当

f ?( x) ? 0 ;当 x ? ( x0 , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 取得最小值且 f ?( x0 ) ? 0 .
1 x0 , ln x0 ? 2 ? x0 .…………………………………12 分

从而当

由 故

f ?( x0 ) ? 0

e x0 ? 2 ?


f ( x) ? f ( x0 )
1 1 ( ? x0 ) 2 x0 ? ln(2 x) x0 ? ln 2 ? 2 ? x0 ? ln 2 ? ? ln 2 . = =
…………………………14 分

f ( x0 ) ? e

x0 ? 2

综上,当 m ?

2 时, f ( x) ? ? ln 2 .

解法二:当 m ?

2 , x ? (0, ??) 时, e x ?m ? e x ?2 ,又 e x ? x ? 1 ,所以
………………………………………8分

e x ?m ? e x ?2 ? x ? 1 .

取函数 当x 分 所以

h( x) ? x ? 1 ? ln(2 x)( x ? 0) ( x ? 0) ,

h' ( x ) ? 1 ?

1 x

,当 0 ?

x ? 1 时, h' ( x) ? 0 , h( x) 单调递减;
……12

h( x) 在 x ? 1时取唯一的极小值即最小值为 h(1) ? ? ln 2 . ? 1时,h' ( x) ? 0 ,h( x) 单调递增, 得函数

f ( x) ? e x ?m ? ln(2 x) ? e x ?2 ? ln(2 x) ? x ? 1 ? ln(2 x) ? ? ln 2 , f ( x) 而上式三个不等号不能同时成立, 故

> ? ln 2 .…………………………………14 分


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